年高中數(shù)學(xué)新人教A版基本初等函數(shù)Ⅰ對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算對數(shù)

2.2對數(shù)函數(shù)2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算第一課時對數(shù)[目標(biāo)導(dǎo)航]課標(biāo)要求1.理解對數(shù)概念,會進(jìn)行對數(shù)式與指數(shù)式的互化.2.掌握對數(shù)的基本性質(zhì),并能應(yīng)用性質(zhì)解決相關(guān)問題.3.了解對數(shù)在化簡中的作用.素養(yǎng)達(dá)成1.通過對對數(shù)概念的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).3.通過利用對數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作

,其中a叫做對數(shù)的

,N叫做

.思考1:任意式子ax=N都可以直接化為對數(shù)式嗎?答案:不一定.只有a>0且a≠1,N>0時才可以化為對數(shù)式.新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)養(yǎng)成1.對數(shù)的概念x=logaN底數(shù)真數(shù)思考2:為什么對數(shù)式中規(guī)定a>0且a≠1?答案:(1)若a<0,則N取某些數(shù)值時,logaN不存在,因此規(guī)定a不能小于0.(2)若a=0,則當(dāng)N≠0時,logaN不存在,當(dāng)N=0時,則logaN有無數(shù)個值,與函數(shù)定義不符,因此規(guī)定a≠0.(3)若a=1,當(dāng)N≠1時,則logaN不存在,當(dāng)N=1時,則logaN有無數(shù)個值,與函數(shù)定義不符,因此規(guī)定a≠1.2.常用對數(shù)與自然對數(shù)(1)常用對數(shù):通常我們將以

為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記作

.(2)自然對數(shù):以

為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),記作

.10lgNelnN3.對數(shù)logaN(a>0,且a≠1)具有下列簡單性質(zhì)(1)

沒有對數(shù),即N

;(2)1的對數(shù)為

,即loga1=

;(3)底數(shù)的對數(shù)等于

,即logaa=

;思考3:為什么零和負(fù)數(shù)無對數(shù)?答案:由對數(shù)的定義:ax=N(a>0,且a≠1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在N≤0的情況.負(fù)數(shù)和零>0零011N名師點(diǎn)津(1)對數(shù)式意義的理解①對數(shù)式logaN可看作一種記號,只有在a>0,a≠1,且N>0時才有意義.②對數(shù)式logaN也可以看作一種運(yùn)算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.③logaN是一個數(shù),是一種取對數(shù)的運(yùn)算,結(jié)果仍是一個數(shù),不可分開書寫,也不可認(rèn)為是loga與N的乘積.(2)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系式子名稱abN指數(shù)式ab=N(a>0且a≠1)底數(shù)指數(shù)冪對數(shù)式b=logaN(a>0且a≠1,N>0)底數(shù)對數(shù)真數(shù)課堂探究·素養(yǎng)提升解:(1)因?yàn)閘og2x=3,所以x=23=8. 方法技巧求解對數(shù)式中的未知數(shù)時,應(yīng)將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,利用指數(shù)式的特征求出未知數(shù).在利用ax=N(a>0,且a≠1)?x=logaN(a>0,且a≠1)進(jìn)行互化時,要分清各字母或數(shù)字分別在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置.即時訓(xùn)練1-1:(1)若loga2=m,loga3=n,則a2m+n=

.

(1)解析:因?yàn)閘oga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.答案:12(2)解:①log5625=4.③e2.303=10.④10-2=0.01.(3)log2x=0;(4)logx64=-2.解:(3)因?yàn)閘og2x=0,所以x=20=1.題型二對數(shù)的簡單性質(zhì)[例2]

求下列各式中的x.(1)log3(x2-1)=0;(2)log(x+3)(x2+3x)=1.方法技巧求解對數(shù)的底數(shù)或真數(shù)中含未知數(shù),且對數(shù)值為0或1的問題,應(yīng)抓住對數(shù)的兩條性質(zhì)loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),這是將對數(shù)式化簡,求簡單對數(shù)值的基礎(chǔ).若已知對數(shù)值求真數(shù),則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算求解.即時訓(xùn)練2-1:求下列各式中的x.(1)log2(log3x)=1;(2)log3(log5x)=0.解:(1)因?yàn)閘og2(log3x)=1,所以log3x=2,所以x=32=9.(2)因?yàn)閘og3(log5x)=0,所以log5x=1,所以x=5.解:(1)因?yàn)閘og(3x2+2x-1)=1,所以3x2+2x-1=2x2-1,解得x=-2或x=0,又當(dāng)x=0時,3x2+2x-1<0,故x=0舍去,所以x=-2.[備用例2]

求下列各式中的x.(1)log(3x2+2x-1)=1;(2)log2[log3(log4x)]=0.解:(2)因?yàn)閘og2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.方法技巧學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)分享區(qū)(1)指數(shù)式與對數(shù)式互化時的技巧及應(yīng)注意的問題①技巧:若是指數(shù)式化為對數(shù)式,只要將冪作為真數(shù),指數(shù)當(dāng)成對數(shù)值,而底數(shù)不變即可;若是對數(shù)式化為指數(shù)式,則正好相反.②注意問題:利用對數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時,要注意字母的位置改變;對數(shù)式的書寫要規(guī)范:底數(shù)a要寫在符號“l(fā)og”的右下角,真數(shù)正常表示.(2)對數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用技巧logaa=1及l(fā)oga1=0是對數(shù)計(jì)算的兩個常用量,可以實(shí)現(xiàn)數(shù)1,0與對數(shù)logaa及l(fā)oga1的互化.②對于指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進(jìn)行化簡,應(yīng)充分考慮對數(shù)恒等式的應(yīng)用.課堂達(dá)標(biāo)A1.把對數(shù)式x=lg2化成指數(shù)式為(

)(A)1