導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義1/20/20231/20/2023函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即1/20/2023下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.斜率!1/20/2023PQoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.1/20/2023

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念提供了①求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點處的切線斜率。1/20/2023例1

已知,求曲線在處的切線的斜率.

分析:為求得過點(2,4)的切線的斜率,可從經(jīng)過點(2,4)的任意一條直線(割線)入手.解:

設(shè),則割線PQ的斜率當(dāng)無限趨近于0時,無限趨近于常數(shù)4,即從而曲線在點P(2,4)處的切線斜率為4.1/20/2023練習(xí)1:如圖已知曲線,求:(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.1/20/2023練習(xí)2：1/20/2023A.1條B.2條C.多于2條D.不能確定1/20/2023例2

如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象,請描述、比較曲線在附近的變化情況.

解:可用曲線h(t)

在

t0,t1,t2

處的切線刻畫曲線h(t)

在上述三個時刻附近的變化情況.(1)當(dāng)t=t0

時,曲線h(t)

在t0

處的切線l0

平行于x軸.故在t=t0

附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.(2)當(dāng)t=t1

時,曲線h(t)

在t1

處的切線l1的斜率h’(t1)<0.故在t=t1

附近曲線下降,即函數(shù)h(t)

在t=t1

附近單調(diào)遞減.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)當(dāng)t=t2

時,曲線h(t)

在t2處的切線l2的斜率h’(t2)<0.故在t=t2

附近曲線下降,即函數(shù)h(t)

在t=t2

附近也單調(diào)遞減.

從圖可以看出，直線

l1

的傾斜程度小于直線l2

的傾斜程度，這說明h(t)曲線在l1

附近比在l2

附近下降得緩慢1/20/2023在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時,f’(x0)