10313平面向量的概念與幾何運算(題目)

第13講：平面向量的概念與向量的幾何運算一、基礎概念：1、向量的的概念向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意標量與向量的區(qū)別：標量只有大小，是個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向和大小的雙重性，兩個向量不能比較大?。旱笮『头较蚴窍蛄康膬蓚€要素，向量的大小稱為向量的模。零向量：模為零的向量叫做零向量(始、終點重合)，記作0。注意：0的方向是任意的；0與0的區(qū)別。單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量。相等的向量：長度相等且方向相同的兩個量叫做相等的向量。若向量相等，記作：ab.任意兩相等的向量都可以用一有向線段表示，與起點無關。負向量：大小相同且方向相反的兩個向量稱它們互為負向量。2、平行向量—*■—*■兩個方向相同或相反的向量，記作：a//b。任意一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量。規(guī)定：0與任意向量平行。3．向量的表示方法始終點法(幾何表示法)：如圖向量AB；單個字母表示法(代數(shù)表示法)：小寫字母加上箭頭，如a從向量的表示我們可以看到，可以由幾何與代數(shù)兩方面來刻劃畫向量，使數(shù)與形統(tǒng)一于向量之中，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。二、向量的加、減法運算1、 向量的加法求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。注意：兩個向量的和仍是向量(簡稱和向量)。向量加法的平行四邊形法則；向量加法的三角形法則：將第二個向量的始點與第一個向量的終點相重合，則第一個向量的始點為始點，第二個向量的終點為終點所組成的向量，即為兩向量的和對于共線的向量，分別為同向或反向的兩種情況。2、 向量加法的性質2）向量加法的結合律：C(a+b)+c=a+(b+c)；2）向量加法的結合律：C（3）a+0=0+a=a。3、向量的減法向量的減法是向量加法的逆運算（用加法的逆運算定義向量的減法）。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 丄 —fc- —■ f —■ f若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a—b。4、求作差向量MB * n —已知向量a與b，求作向量a—b。R作法：在平面內取一點O，作OA=b,OB=aj則AB=a—b;可以表示R為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。三、實數(shù)與向量的乘積1、實數(shù)與向量的積―b- —w定義：實數(shù)九與非零向量a的積是一個向量，記作k?a。它的模與方向規(guī)定如下：⑵k〉0時,k?a與a方向相同;k<0時,k?a與a方向相反;k=0時,k-a=0.特點：當九北o時,k?a與a平行實數(shù)與向量積的運算—b- —kr（1）結合律：k（Va）=（k^）a；(2)分配律：(k+p)a=k?a+p?a,k(a+b)=k?a+k?b.2、單位向量定義：長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量設a是非零向量a同方向的單位向量,3、向量平行的充要條件b與非向量a平行（共線）的充要條件是有且只有一個實數(shù)九使得b=九?a.推論：a//b的充要條件是存在實數(shù)九，九,使九-a=九-b.1212四、應用舉例：例1、如圖，正六邊形ABCDEF的中心為O，則與AB相等的向量相等的向量是 ，OD的負向量是是 。OD的平行向量是 。例2、化簡AB+DF+CD+BC+FA。例3、已知a,b為非零向量，試判斷下列各命題的真假？（1） 九二0是九?a=0的充要條件；————2（2） —2a與3a的方向相反，且—2a的模是3a的模的-倍。（3） （a―b）與—（b―a）互為負向量；——— 2a（4） 因為2的方向與a相同，且大小為a的2倍，所以二=2.a例4、（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（）(A)AB(A)AB=DC(C)AB—AD=BD(B)AD+AB=AC(D)AD+CB=0（2）如圖所示，D是△（2）如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點，則向量CD=（）A.-BC+2BAB.-BC-2BAD.BC+2BAC(A)若a//b,則a=b(A)若a//b,則a=b00(C)若a=i,貝ya=a0(B)若a//b,則a-b=i00(D)若la=b=1,則a=b或a=-bI 0 0 0 0例5、（1）已知a=b=1,且a與b的夾角為60。,求a+b,a一b的值.(2)在□ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,點，則MN= 。（用a、b表示）M為BC的組中M設t為實數(shù)，如果例6.如圖，AD,BE,CF分別是AABC的中線，G為重心，且ad=m,Be=a,試用m,a表示。（i）ab,（2）ca,（3）be,（4）cF.f H例7、已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e3a=c,2b=d,e=t(a+b)，那么t為何值時，C,D,E三點在同一條直線上。例8、 （1）已知OA不平行OB，設OM=XOA+卩商且九+卩=1,求證:A,M,B三點共線。

（2）在AABC中（如圖），若BD=九DC（九〉（2）在AABC中（如圖），若BD=九DC（九〉0）求證：AD=AB+九AC1+九例9、（2003年江蘇高考題）O是平面上一點，A,B,C是平面上不共線的三點，動點P滿足OP=OA+九竺+竺

岡|AC,九w[0,+s）則P的軌跡定通過AABC的（（A）外心（B）內心 （C）重心 （D）垂心例10、如圖,OM〃AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）運動，且OP=xOA+yOB，則x的取值范圍是 ;當x當x=-*時,y的取值范圍是 ―?―? ―?―?―?―?例11:證明不等式：a—b<a—b<a+b,并應用此結論求函數(shù)y=Px2—12x+52—、：x2—4x+5的最大值。

例12某人騎摩托車以20km/h的速度向東行駛，感到風從正南方向吹來，而當速度為40km/h時，感到風從東南方向吹來，求實際風向和風速的大小。cc課后測試題：TOC\o"1-5"\h\z—? —? —? ? A —? —? —? —? ? —? —?1.設平面向量匕、a2、a3的和a+a+a3=0。如果向量億、bb，滿足b.二2a.1 2 3 1 2 3 123 ii且a.順時針旋轉30o后與b.同向，其中i=1,2,3，則()a.—b+b+b二0 b.b—b+b二01 2 3 1 2 3c.b+b—b二0 db+b+b二01 2 3 1 2 32.已知O是AABC所在平面內一點，D為BC邊中點，且2OA+OB+OC=0,那么（AO二AO二ODAO二2ODAO二AO二3OD2AO二OD在平行四邊形ABCD中AC與BD交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與CDTOC\o"1-5"\h\z交于點F.若AC=a，BD=b，則AF二（ ）1-1丈 2-1茫 1-1云 1-2丈A.—a+—b b.a+-b C.—a+—b D.—a+—b42 33 24 33設a，是非零向量，若函數(shù)f（x）=（xa+初丈-xb）的圖象是一條直線，則必有（ ）且DC=2BD,CE