淺談常見(jiàn)計(jì)數(shù)問(wèn)題的解析策略

淺談常見(jiàn)計(jì)數(shù)問(wèn)題的解析策略

鄭有禮【Summary】計(jì)數(shù)問(wèn)題是每年高考命題的熱點(diǎn)，列式的思路是分類(lèi)加法、分步乘法、有序排列、無(wú)序組合.解決此類(lèi)問(wèn)題，首先，要認(rèn)真審題，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理）進(jìn)行分類(lèi)與分步，分類(lèi)與分步是解析計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本的步驟;其次，分類(lèi)與分步之后，要考慮每一類(lèi)、每一步的列式方案，分析是否存在類(lèi)中有類(lèi)、類(lèi)中有步、步中有類(lèi)、步中有步的情況;再次，求種數(shù)時(shí)，如果與順序有關(guān)，那么用排列數(shù)列式;如果與順序無(wú)關(guān)，那么用組合數(shù)列式.【Key】計(jì)數(shù)問(wèn)題;解析策略計(jì)數(shù)問(wèn)題是每年高考命題的熱點(diǎn)，列式的思路是分類(lèi)加法、分步乘法、有序排列、無(wú)序組合.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的特征是分類(lèi)解決問(wèn)題，分類(lèi)必須滿(mǎn)足類(lèi)與類(lèi)互斥，總類(lèi)必須完備;分步乘法計(jì)數(shù)原理的特征是分步解決問(wèn)題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性.求種數(shù)時(shí)，與順序有關(guān)，用排列數(shù)列式;與順序無(wú)關(guān)，用組合數(shù)列式.相鄰、相離、定序、選排、特殊位置、特殊元素、平均分組、相同元素分欄、至多至少等問(wèn)題是一些常見(jiàn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，現(xiàn)將它們的解析策略列舉如下.一、相鄰問(wèn)題捆綁處理求解某幾個(gè)元素必須相鄰的排列問(wèn)題時(shí)可按下面兩個(gè)步驟進(jìn)行：第一步，把相鄰元素進(jìn)行排列后捆綁成一個(gè)捆綁團(tuán);第二步，將捆綁團(tuán)視為一個(gè)元素與其他元素進(jìn)行全排列.例1

某校校慶期間，學(xué)校將8面不同顏色的彩旗并排插在教學(xué)樓的樓頂上，紅色旗與黃色旗必須插在一起，一共有多少種不同的插法？解析

該問(wèn)題中，紅色旗與黃色旗必須插在一起是相鄰問(wèn)題，應(yīng)分兩步解決：第一步，將相鄰的2個(gè)元素進(jìn)行排列，有A22種排法，并將2個(gè)相鄰元素捆綁成一個(gè)捆綁團(tuán);第二步，將捆綁團(tuán)視為1個(gè)元素，連同其他6個(gè)元素一共7個(gè)元素進(jìn)行全排列，有A77種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有A22·A77=10080種不同的插法.二、相離問(wèn)題插空處理相離問(wèn)題是指排列時(shí)某些元素不能相鄰，由其他元素將它們分開(kāi).解析此類(lèi)問(wèn)題可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰元素插入已排好元素的空隙及兩端位置.例2

已知天?？h第二中學(xué)高三年級(jí)組的9名班主任站成一排照相，其中要求永強(qiáng)與志杰兩個(gè)人必須站在一起，而海軍和福學(xué)兩個(gè)人不能站在一起，則有多少種站隊(duì)方法？解析

該問(wèn)題中永強(qiáng)與志杰相鄰，海軍和福學(xué)相離，是相鄰與相離的綜合問(wèn)題，總體分三步解決：第一步，將相鄰的永強(qiáng)與志杰兩個(gè)人進(jìn)行排列，有A22種排法，并將這兩個(gè)人捆綁成一個(gè)捆綁團(tuán);第二步，將捆綁團(tuán)視為1個(gè)元素，連同海軍和福學(xué)除外的其他5個(gè)元素一共6個(gè)元素進(jìn)行全排列，有A66種站法;第三步，將海軍和福學(xué)插入已排好的班主任的空隙及兩端位置，有A27種站法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有A22·A66·A27=60480種不同的站隊(duì)方法.三、定序問(wèn)題分次插空處理限定部分元素保持一定的順序與其他元素進(jìn)行排列的問(wèn)題就是定序問(wèn)題.解析定序問(wèn)題可以先將定序的元素按要求排好，再將其他元素一次插入一個(gè)，分次插入已排好元素的空隙及兩端位置，每插入一個(gè)元素就會(huì)增加一個(gè)插入位置.例3

“六一”兒童節(jié)期間，武威市天祝師范附屬小學(xué)的6名小朋友站隊(duì)，其中有3名男性小朋友，他們分別是強(qiáng)強(qiáng)、軍軍與杰杰，站隊(duì)時(shí)強(qiáng)強(qiáng)必須要站在軍軍與杰杰的后面，則有多少種不同的站法？解析

該問(wèn)題中男性小朋友強(qiáng)強(qiáng)必須要站在軍軍與杰杰的后面屬于定序問(wèn)題，總體分兩步解決：第一步，將3名男性小朋友按規(guī)定順序排好隊(duì)，有A22種排法;第二步，分次插空，先將第一名女性小朋友插入已排好的男性小朋友的空隙及兩端位置，有4種插法，再將第二名女性小朋友插入已排好的4名小朋友的空隙及兩端位置，有5種插法，最后將第三名女性小朋友插入已排好的5名小朋友的空隙及兩端位置，有6種插法，完成第二步根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有4×5×6=120種插法.總體上依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有A22·120=240種不同的站隊(duì)方法.四、選排問(wèn)題先選排后分步處理先選出元素，再把選出的元素排列到位置上的排列組合的綜合性問(wèn)題就是選排問(wèn)題.解析此類(lèi)問(wèn)題可以分步進(jìn)行，先用組合選出元素，再用排列將選出的元素排到位置上.例4

在天?？h第二中學(xué)第十一屆冬季球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，學(xué)校團(tuán)委組織了一個(gè)有7名志愿者參加的服務(wù)小組，其中2名老師擔(dān)任正副組長(zhǎng)，組員由5名學(xué)生組成.現(xiàn)有四項(xiàng)不同的任務(wù)需4名志愿者完成，有且只有1名組長(zhǎng)參加，每名志愿者只完成一項(xiàng)任務(wù)，有多少種不同的安排方法？解析

該問(wèn)題中需先選志愿者，再安排選出的志愿者完成四項(xiàng)不同的任務(wù)，屬于選排問(wèn)題，總體分兩步解決：第一步，選出4名志愿者，先在2名組長(zhǎng)中選出1人，有C12種選法，再在5名學(xué)生志愿者中選出3人，有C35種選法，完成第一步根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有C12·C35=20種不同的選法;第二步，安排4名選出的志愿者完成四項(xiàng)不同的任務(wù)，有A44=24種排法.總體上依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有20×24=480種不同的安排方法.五、特殊元素（位置）優(yōu)先處理在排列中，有時(shí)限定某元素必須排在某位置或某元素不能排在某位置，有時(shí)限定某位置只能排某元素或者某位置不能排某元素，這種問(wèn)題就是特殊元素（位置）問(wèn)題，解析此類(lèi)問(wèn)題可以先將特殊元素（位置）優(yōu)先處理，再將其他元素進(jìn)行排列.例5

安排甘肅省武威市天?？h某醫(yī)院的6名護(hù)士上臺(tái)表演節(jié)目，每人一個(gè)節(jié)目，其中要求麗麗的節(jié)目不能安排在最后位置，嵐嵐的節(jié)目不能安排在最前位置，則有多少種不同的節(jié)目安排方法？解析

該問(wèn)題中要求麗麗的節(jié)目不能安排在最后位置，嵐嵐的節(jié)目不能安排在最前位置.最前與最后是兩個(gè)特殊位置，麗麗和嵐嵐是兩個(gè)特殊的“元素”，可以先將她們優(yōu)先安排.總體上可以分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是將嵐嵐的節(jié)目安排在最后，有A55=120種安排方法;第二類(lèi)是將嵐嵐的節(jié)目不安排在最后，分三步完成，第一步把嵐嵐的節(jié)目安排好有4種方法，第二步把麗麗的節(jié)目安排好有4種方法，第三步將其他的節(jié)目安排好有A44=24種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理完成第二類(lèi)有4×4×24=384種不同的安排方法.總體上依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理一共有120+384=504種不同的安排方法.六、平均分組問(wèn)題做除法處理各組的元素個(gè)數(shù)相等的分組就是平均分組，解析平均分組問(wèn)題時(shí)，先分組（用組合），再做除法.平均分組的種數(shù)與組序無(wú)關(guān)，組序不同但組中元素相同的分組仍是同一分組.做除法是為了避免重復(fù)計(jì)數(shù).若把n個(gè)不同元素平均分成m組，則有Cmn·Cmn-m·Cmn-2m·…·CmmAmm種分法.在有些分組中，有一部分組的元素個(gè)數(shù)相等，這種分組就是部分平均分組，解析部分平均分組問(wèn)題可以分兩個(gè)步驟進(jìn)行，第一步依次用組合把元素個(gè)數(shù)不相等的組中的元素分別取出來(lái)，第二步把剩下的元素進(jìn)行平均分組（此時(shí)也要做除法）.例6

2020年年初，新冠肺炎疫情暴發(fā)，人民生命安全受到嚴(yán)重威脅.疫情既是命令又是試金石，為了更好地防控新冠肺炎疫情，打好疫情防控阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮共產(chǎn)黨員的先鋒模范帶頭作用，甘肅省武威市天?？h某單位的共產(chǎn)黨員們爭(zhēng)先恐后地提交到社區(qū)支援疫情防控工作的申請(qǐng).若該單位決定將6名優(yōu)秀共產(chǎn)黨員平均分成三組安排到三個(gè)不同社區(qū)支援疫情防控，有多少種不同的安排方法？若該單位決定將7名優(yōu)秀共產(chǎn)黨員按3∶2∶2的比分成三組分別安排到三個(gè)不同社區(qū)支援疫情防控，又有多少種不同的安排方法？解析

第一問(wèn)中，完成該工作分兩步進(jìn)行，第一步將6名優(yōu)秀共產(chǎn)黨員平均分成三組，有C26·C24·C22A33=15種分法;第二步將分成的三組優(yōu)秀共產(chǎn)黨員安排到三個(gè)不同社區(qū)有A33=6種安排方法.總體上按照分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有15×6=90種不同的安排方法.第二問(wèn)中，完成該工作也分兩步進(jìn)行，第一步將7名優(yōu)秀共產(chǎn)黨員按3∶2∶2的比分成三組，是部分平均分組，有C37·C24·C22A22=105種分法;第二步將分成的三組優(yōu)秀共產(chǎn)黨員安排到三個(gè)不同社區(qū)有A33=6種安排方法.總體上按照分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有105×6=630種不同的安排方法.七、相同元素分欄問(wèn)題插板處理把相同的n個(gè)元素分入m（m≤n）個(gè)欄中就是相同元素的分欄問(wèn)題，若滿(mǎn)足所要分欄的元素必須完全相同且必須分完，不允許有剩余，參與分元素的每個(gè)欄至少分到1個(gè)元素且不能有分不到元素的欄，則可用插入擋板的方法處理.先將n個(gè)分欄元素排成一行，再在元素間的（n-1）個(gè)空隙中插入（m-1）個(gè)擋板，一個(gè)空隙只能插入一個(gè)擋板，插入的擋板數(shù)等于欄數(shù)減一，有Cm-1n-1種分法.例7

2020年春季，新冠肺炎疫情暴發(fā)，嚴(yán)重影響著人們的生命、生產(chǎn)、生活.在黨中央的領(lǐng)導(dǎo)下，一場(chǎng)轟轟烈烈的抗擊疫情的偉大的人民戰(zhàn)爭(zhēng)在中華大地全面展開(kāi)，疫情防控取得階段性勝利，經(jīng)過(guò)科學(xué)研判論證，各地中小學(xué)先后有序開(kāi)學(xué).甘肅省武威市某中學(xué)自開(kāi)學(xué)以來(lái)，認(rèn)真貫徹執(zhí)行疫情防控命令，為確保全校師生的生命安全和身體健康，學(xué)校的每個(gè)年級(jí)部都安排專(zhuān)人按時(shí)進(jìn)行嚴(yán)格的消毒殺菌工作.現(xiàn)有愛(ài)心人士華某某給學(xué)校捐贈(zèng)了11瓶相同的84消毒液和9條相同的毛巾，要求全部分發(fā)給6個(gè)年級(jí)部，每個(gè)年級(jí)部至少要分得1瓶84消毒液，也至少要分得1條毛巾，則有多少種不同的分法？解析

給年級(jí)部分發(fā)84消毒液和毛巾，分兩步進(jìn)行，第一步按要求將11瓶84消毒液分發(fā)給6個(gè)年級(jí)部，這是相同元素分欄問(wèn)題，把11瓶84消毒液排成一行，在84消毒液間的10個(gè)空隙中插入5個(gè)擋板，有C510=252種分法;第二步按要求將9條毛巾分發(fā)給6個(gè)年級(jí)部，這也是相同元素分欄問(wèn)題，把9條毛巾排成一行，在毛巾間的8個(gè)空隙中插入5個(gè)擋板，有C58=56種分法.總體上按照分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有252×56=14112種不同的分法.八、至多至少問(wèn)題正難則反間接處理從正面解析含“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題是需要分類(lèi)的，正面分類(lèi)處理較煩瑣時(shí)可間接處理.解析此類(lèi)問(wèn)題可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中排除反面的種數(shù).例8

優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)是實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的必由之路，教育興則國(guó)興，教師強(qiáng)則教育強(qiáng).教師是立教之本，建設(shè)一支業(yè)務(wù)素質(zhì)精良的教師隊(duì)伍是時(shí)代發(fā)展的需要.到教育發(fā)達(dá)省份去交流學(xué)習(xí)是提高教師隊(duì)伍綜合素質(zhì)的有效途徑.2019年，甘肅省武威市天?？h第二中學(xué)的高三年級(jí)部有30名教師，其中女教師有16名，高考結(jié)束后，學(xué)校決定從中選派6名教師到天津市薊州區(qū)某學(xué)校交流學(xué)習(xí)，則至少有2名女教師的選派方法有多少種？解析

從30名教師中選派6名教師有C630=593775種方法，至少有2名女教師的選派方法包含恰好選派2名女教師、恰好選派3名女教師、恰好選派4名女教師、恰好選派5名女教師、恰好選派6名女教師等5類(lèi)情況，正面求解運(yùn)算量較大.而其反面至多有1名女教師包含的情況只有2類(lèi)，第一類(lèi)是恰好選派1名女教師，有C116·C514=32032種選派方法;第二類(lèi)是全部選派男教師，有C614=3003種選派方法.依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理至多有1名女教師的選派方法有32032+3003=35035種，故至少有2名女教師的選派方法有593775-35035=558740種.總之，計(jì)數(shù)問(wèn)題的種類(lèi)比較多，分類(lèi)與分步是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本的策略.除了相鄰、相離、定序、選排、特殊元素、特殊位置、平均分組、相同元素分欄及至多至少等問(wèn)題，還有其他計(jì)數(shù)問(wèn)題，是每年高考命題的熱點(diǎn).解決計(jì)數(shù)綜合