等差數(shù)列第2課時

會計學(xué)1等差數(shù)列第2課時(1)證明：因為等差數(shù)列{an}的公差是d(常數(shù))，所以所以{bn}是等差數(shù)列.第1頁/共27頁(2)若a1d≠0，問數(shù)列{an}中的任一項an是否一定在(1)中數(shù)列{bn}中？如果是，設(shè)此項為bm，探求此時n與m的關(guān)系式；如果不是，請說明理由.由(1)知，bn=b1+(n-1)，且b1=a1，即bn=a1+(n-1)，an=a1+d(n-1).假設(shè)存在符合題意的項，則由an=bm，第2頁/共27頁可得a1+d(n-1)=a1+(m-1)，所以(m-1)=n-1，即m=2n-1.由m，n都是正整數(shù)可得此式成立.故數(shù)列{an}中的任一項an一定在數(shù)列{bn}中.

第3頁/共27頁【點評:】一個數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件可以是：①an+1-an=d；②an=an+b；③Sn=an2+bn(Sn是前n項和)；④an+2+an=2an+1.判斷一項a是否為某數(shù)列{an}的項，就是方程an=a是否有對應(yīng)的正整數(shù)解.第4頁/共27頁已知首項不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的r、t∈N*，都有判斷{an}是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.{an}是等差數(shù)列，證明如下：因為a1=S1≠0，令t=1，r=n，由得即Sn=a1n2第5頁/共27頁所以，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=a1(2n-1)，且n=1時此式也成立.所以an+1-an=2a1(n∈N*)，即{an}是以a1為首項,2a1為公差的等差數(shù)列.第6頁/共27頁

題型4：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用2.在等差數(shù)列{an}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，求2a9-a10的值．

分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列性質(zhì)的運用．運用等差數(shù)列的通項公式把任意項轉(zhuǎn)化到首項與公差上來是解決數(shù)列問題的通性通法．第7頁/共27頁1：因為2a9-a10=a9+(a9-a10)=a9-d=a8，而a4+a12=a6+a10=2a8，即5a8=120，故a8=24，所以2a9-a10=24.2：由a4+a6+a8+a10+a12=120，得5a1+(3+5+7+9+11)d=120，即a1+7d=a8=24，所以2a9-a10=a9-d=a8=24.第8頁/共27頁

點評：根據(jù)等差數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，可以簡化思維過程，優(yōu)化解題步驟．第9頁/共27頁若{an}是等差數(shù)列，根據(jù)條件解下列各題．(1)已知a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8；(2)已知a5=11，a8=5，求an；(3)已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求an.

第10頁/共27頁（1）解1：a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8，所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450，所以a5=90，所以a2+a8=2a5=180.解2：因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d，所以a3+a4+a5+a6+a7=a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=5a1+20d，即5a1+20d=450，所以a1+4d=90，所以a2+a8=a1+d+a1+7d=2a+8d=180.第11頁/共27頁(2)因為a8=a5+3d，所以d==-2，an=a8+(n-8)d=5+(n-8)′(-2)=21-2n.(3)因為a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，又因為a2+a8=a3+a7=2a5，所以3a5=9，故a5=3.所以a3+a7=2a5=6

①，a3a7=-7

②，由①②解得a3=-1，a7=7或a3=7，a7=-1，所以a3=-1，d=2或a3=7，d=-2，由an=a3+(n-3)d，得an=2n-7或an=-2n+13.第12頁/共27頁

題型5：等差數(shù)列與函數(shù)交匯3.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=6x-2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n,Sn)(n∈N)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.第13頁/共27頁(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),則f′(x)=2ax+b.由f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因為點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上，第14頁/共27頁所以Sn=3n2-2n.當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12-2=6×1-5.所以an=6n-5(n∈N*).第15頁/共27頁(2)由(1)知故第16頁/共27頁因此，要使都成立,必須且僅須滿足即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.第17頁/共27頁【點評:】數(shù)列是特殊的函數(shù)，有關(guān)數(shù)列中的一些問題，可以利用函數(shù)的方法來解決，如求數(shù)列中的最值項，先把定義域看為正整數(shù)集，然后利用求函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解.第18頁/共27頁已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，Sn為其前n項和，且滿足a2·a3=45，a1+a4=14.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；第19頁/共27頁

由于a1+a4=a2+a3=14，故a2，a3是方程x2-14x+45=0的兩根，且a2＜a3，所以a2=5，a3=9，故d=4，a1=1，所以an=4n-3(n∈N*).第20頁/共27頁(2)通過構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn},使{bn}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c；由(1)可知,Sn=n(2n-1),因為{bn}也是等差數(shù)列，第21頁/共27頁所以2b2=b1+b3，所以化簡得2c2+c=0，解得或c=0(舍去).所以第22頁/共27頁(3)求

的最大值.由(2)可知,所以當(dāng)且僅當(dāng)n=5時取等號.故當(dāng)n=5時，f(n)的最大值為第23頁/共27頁設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，若對任意n∈N，都有則數(shù)列{an}的第11項與數(shù)列{bn}的第11項的比是()A.4∶3B.3∶2C.7∶4