測量誤差及數(shù)據(jù)處理

會計學1測量誤差及數(shù)據(jù)處理教學目標掌握研究測量誤差的目的。熟悉測量誤差的來源及分類。掌握誤差的表示方法、儀表的等級確定和測量儀表選用。掌握隨機誤差、粗大誤差和系統(tǒng)誤差的估算、判斷和減小方法掌握測量數(shù)據(jù)的處理過程掌握常見的誤差合成和分解掌握如何確定最佳測量條件第1頁/共121頁2.1誤差來源及其分類

在科學實驗和工程實踐中，任何測量結果都含有誤差。由于誤差存在的必然性和普通性，人們只能將它控制到盡量低的程度而無法消除它。因此我們根據(jù)需要對誤差的來源和測量誤差的性質(zhì)進行類，便于研究。2.1.1誤差的來源

2.1.2誤差的分類第2頁/共121頁2.1.1

誤差的來源誤差的來源是多方面的，概括起來主要有如下幾個方面：儀器、儀表誤差

儀器儀表本身及其附件引起的誤差稱為儀器儀表誤差。例如，儀器儀表本身的電氣或機械性能不完善、零點和增益漂移、非線性、刻度不準確以及標準量不穩(wěn)定等所引起的誤差均屬于儀器儀表誤差。

影響誤差

由于各種環(huán)境因素與儀器儀表所要求的使用條件不一致而造成的誤差稱為影響誤差。例如，由于溫度、濕度、大氣壓、電磁場、電源電壓及頻率等波動所造成的誤差均屬于影響誤差。

方法誤差

由于測量方法不合理所造成的誤差。例如用低輸入電阻的儀表測量高內(nèi)阻回路的輸出電壓所引起的誤差屬于方法誤差。

第3頁/共121頁理論誤差由于儀器儀表所依據(jù)的理論或公式本身不完善或者是近似的所起的誤差稱為理論誤差。例如，用均值表測量非正弦信號電壓，須進行波形換算，其定度系數(shù)為：

由于和均是無理數(shù)所取得的1.11是個近似值所造成的誤差屬于理論誤差人身誤差

由于測量者的分辨力、視覺疲勞、習慣或缺乏責任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。人身誤差是由于人為因素造成的，欲減小人身誤差必須加強責任心。

第4頁/共121頁2.1.2誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，可將誤差分為三類：系統(tǒng)誤差（簡稱系差）定義：在相同條件下多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者改變測量條件時，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前述儀器儀表誤差、方法誤差和理論誤差均屬于系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的誤差。通過仔細分析和研究，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的規(guī)律是可以掌握的。因此，可設法減小或消除系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差表征了測量結果的準確度，系統(tǒng)誤差愈小，準確度念高，反之亦然。第5頁/共121頁隨機誤差

在相同條件下多次重復測量同一被測量，其誤差的大小和符號均是無規(guī)律變化的誤差稱為隨機誤差。產(chǎn)生隨機誤差的原因是由于許多復雜的因素微小變化的總和引起的。例如，儀表內(nèi)部某些元件的熱噪聲和散粒噪聲、機械部件的間隙和摩擦、電源電壓、頻率和環(huán)境因素的頻繁而無規(guī)律的變化等引起的誤差均屬隨機誤差。隨機誤差表征了測量結果的精密度，隨機誤差小，精密度高，反之，精密度低。第6頁/共121頁服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差當測量次數(shù)足夠多時，大多數(shù)隨機誤差是服從正態(tài)分布的。服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差具有下列特點（如圖所示）：

單峰性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大，在誤差處，出現(xiàn)的概率最大。有界性絕對值大于某一數(shù)值的誤差幾乎不出現(xiàn)，故可認為隨機誤差有一定的界限。

對稱性大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率大致相同。抵償性正、負誤差是相互抵消的，因此隨機誤差的代數(shù)和趨于或者等于零。第7頁/共121頁粗大誤差粗大誤差（簡稱粗差）定義：在相同條件下多次測量同一被測量時，可能有某些測量值明顯偏離了被測量的真正值所形成的誤差稱為粗大誤差。前述的人身誤差是產(chǎn)生粗差的原因之一。此外，由于測量條件的突然變化，例如電源電壓突變、雷電、機械沖擊等是造成粗差的客觀原因。凡是被確認含有粗差的測量結果稱為壞值。在測量數(shù)據(jù)處理時，所有壞值都必須剔除。第8頁/共121頁思考題1、下列幾種誤差中，屬于系統(tǒng)誤差的有_____、_____，屬于隨機誤差的有_____，屬于粗大誤差的有_____。（1）儀表未校零所引起的誤差；（2）測頻時的量化誤差；（3）測頻時的標準頻率誤差；（4）讀數(shù)錯誤。2.隨機誤差的特點有

、

、

、

。3．根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點，可將它們分為________、________、________。

第9頁/共121頁2.2誤差的表示方法2.2.1測量誤差的表示方法由于誤差是客觀存在的，因此在計量學上認為被測量的真正值是無法得到的。討論被測量示值與真值的誤差是沒有應用意義的。實際值絕對誤差、修正值被測量實際值取得的方法實際值相對誤差第10頁/共121頁實際值絕對誤差定義：由測量所得之被測量的值與被測量實際值之差稱為實際值絕對誤差，記為。

（2-1）由此可見，為可正可負和有量綱的數(shù)值，其大小和符號分別表示測量值偏離被測量實際值的程度和方向。被測量實際值可用下列兩種方法取得：用比所用儀表的精度等級高一級或數(shù)級的儀表的指示值作為被測量的實際值。在測量此數(shù)足夠多時，儀表示值的算術平均值作為被測量的實際值?？碢15例題2-1第11頁/共121頁修正值定義：與絕對誤差的數(shù)值相等而符號相反的量值稱為修正值，用來表示，則： p15例2-2修正值是通過檢定（或校準）由上一級標準（或基準）以表格、曲線、公式或數(shù)字等形式給出的。因此，用修正值與儀表的示值相加，可算出被測量的實際值，即：

可見，用修正值可以減小測量誤差，得到更接近于被測量真值的實際值。應該指出，使用修正值必須在儀表檢定的有效期內(nèi)。修正值本身也有誤差。

第12頁/共121頁實際值相對誤差例題2-3測量兩個電壓，實際值，，儀表的示值分別為，。其絕對誤差分別為：

很顯然，雖然二者的絕對誤差相同，但是二者測量的精確度卻相差甚遠，因此有必要引入相對誤差的概念。定義：實際值絕對誤差與被測量實際值之比的百分數(shù)稱為實際值相對誤差，即：第13頁/共121頁例題2-4利用例題2-3

，計算兩電壓的相對誤差，并分析哪一個測量的電壓精確度高。解：根據(jù)題意及相對誤差公式，儀表的相對誤差分別為由此可知，測量第14頁/共121頁2.2.2儀器儀表誤差的表示方法

誤差是儀器儀表的重要質(zhì)量指標。按有關規(guī)定，可用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差來表征儀器儀表的性能；也可以用基本誤差和附加誤差來表征儀器儀表的性能，本書采用后面一種表示方法。

1.基本誤差它是儀器儀表在標準條件下使用時所具有的誤差。2.附加誤差當儀表在使用中偏離了標準工作條件，除了基本誤差外，還會產(chǎn)生附加誤差。

第15頁/共121頁基本誤差定義：它是儀器儀表在標準條件下使用時所具有的誤差。標準條件一般是指儀器儀表在標定刻度時所保持的工作條件。例如電源電壓交流(220±5%)V，環(huán)境溫度(20±5)℃；相對濕度(70±15)％；大氣壓(98.1±4.0)kPa等。對于相同的絕對誤差，相對誤差隨被測量的增加而減小，相反，隨的減小而增加，在整個測量范圍內(nèi)相對誤差不是一個定值。因此，相對誤差不能用于評價儀器儀表的精確度，也不便于用來劃分儀器儀表的精度等級。為此提出最大滿度相對誤差稱為最大引用誤差的概念（在標準工作條件下）。第16頁/共121頁滿度相對誤差與引用誤差最大滿度相對誤差是儀表基本誤差最大值與儀器儀表量程之比的百分數(shù)，即：最大引用誤差是儀表的絕對誤差最大值與儀器儀表量程之比的百分數(shù)，即：當儀表是在標準條件下使用的，則：第17頁/共121頁儀表精度等級的確定儀表的精度等級（精確度等級）是指儀表在規(guī)定的工作條件下允許的最大相對百分誤差。按國家標準規(guī)定，用最大引用誤差來定義和劃分儀器儀表的精度等級，將儀器儀表的精度等級分為：……

，

0.05，

0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前只有七種）當計算所得的與儀表精度等級的分檔不等時，應取比稍大的精度等級值。儀表的精度等級通常以S來表示。例如，S=1.0，說明該表的最大引用誤差不超過±1.0%。第18頁/共121頁儀表的精確度等級儀表的精確度等級：指儀表在規(guī)定的工作條件下允許的最大相對百分誤差。（把儀表允許的最大相對百分誤差去掉“±”號和“％”號，便可用來確定其精度等級）所謂的0.5級儀表，表示該儀表允許的最大相對百分誤差為±0.5％，以此類推。精度等級一般用一定的符號形式表示在儀表面板上（如圖所示）：也有以±0.2％FS

等形式寫出精度等級數(shù)值小于等于0.05的儀表通常用來作為標準表，而工業(yè)用表的精度等級數(shù)值一般大于等于0.5。1.51.0第19頁/共121頁例題2-5檢定一臺處其，問此電流表精確度是否合格？解：根據(jù)題意，最大滿刻度誤差為由于選用的1.5級電流表，最大滿刻度誤差應小于儀表精確度等級。所以該表不合格，可以做2.5級表使用。第20頁/共121頁☆☆儀表的精確度等級☆☆例：某壓力變送器測量范圍為0～400kPa，在校驗該變送器時測得的最大絕對誤差為—5kPa，請確定該儀表的精度等級。解：先求最大相對百分誤差去掉和%為1.25，因此該變送器精度等級為1.5級

結論：工藝要求的允許誤差≥儀表的允許誤差≥

校驗所得到的相對百分誤差

第21頁/共121頁例：某被測溫度信號在70～80℃范圍內(nèi)變化，工藝要求測量誤差不超過±1％，現(xiàn)有兩臺溫度測量儀表，精度等級均為0.5級，其中一臺儀表的測量范圍是0～100℃，另一臺儀表的測量范圍是0～200℃，試問這兩臺儀表能否滿足上述測量要求。解：由題意可知，被測溫度的允許最大絕對誤差為：|△max|＝80×1％＝0.8℃

測量范圍為0～100℃的儀表的最大允許絕對誤差為：|△max|1＝100×0.5％＝0.5℃

測量范圍為0～200℃的儀表的最大允許絕對誤差為：|△max|2＝200×0.5％＝1.0℃

根據(jù)上述計算，雖然兩臺儀表的精度等級均為0.5級，但只有測量范圍是0～100℃的溫度測量儀表才滿足本題的測量要求。

第22頁/共121頁附加誤差當儀表在使用中偏離了標準工作條件，除了基本誤差外，還會產(chǎn)生附加誤差。附加誤差也用百分數(shù)表示。例如，儀表使用時溫度超出(20±5)℃，則會產(chǎn)生溫度附加誤差；使用時電源電壓超出(220±5%)V，則會產(chǎn)生電壓附加誤差。此外，還有頻率附加誤差，濕度附加誤差，振動附加誤差等等。在使用儀表時，附加誤差和基本誤差要合理綜合，再估計出測量的總誤差。第23頁/共121頁2.2.3數(shù)字儀表誤差的表示方法數(shù)字儀表的基本誤差用下列兩種方式表示：式中，為絕對誤差；為誤差的相對項系數(shù)；為被測量的指示值；為誤差固定項的系數(shù)；為儀表的滿度值。上述兩種方式實質(zhì)上是一致的，常用后一種，因較為方便。是用示值相對誤差表示的，它與讀數(shù)成正比，稱為讀數(shù)誤差。它與儀表各單元電路的不穩(wěn)定性有關。不隨讀數(shù)變化，一定時，它是個固定值，稱為滿度誤差。它包括量化誤差和零點誤差等。第24頁/共121頁例題2-6有五位數(shù)字電壓表一臺，基本量程5v檔的基本誤差為求滿刻度誤差相當于幾個字解：滿刻度誤差用公式2-7中的第二中表示方法第25頁/共121頁2.2.4一次直接測量時最大誤差的估計在工程測量中，通常只做一次直接測量而取得測量結果，此時如何從儀器儀表的精度等級來確定測量誤差呢？設只有基本誤差的情況下，儀器儀表的最大絕對誤差為：

與示值之比，即為最大示值相對誤差第26頁/共121頁一次直接測量時最大誤差的估計可見，不僅與儀器儀表的精度有關，而且與滿度值和示值之比值有關。示值大時，相對誤差小。當時，?？梢姡瑑x器儀表給出的精度是相對誤差的最小值。離開滿度愈遠，愈大。因此，當儀器儀表的精度等級已知時，示值愈接近滿度值，測量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模擬式儀表時，應盡量使指示值靠近滿度值，至少應在左右反之選擇儀表量程時，應該使其滿度值盡量接近被測量的數(shù)值，至少不應比被測值大得太多。第27頁/共121頁例2-7

測量一個約80V的電壓。現(xiàn)有二塊電壓表，一塊量程為300V，0.5級，另一塊量程100V，1.0級，問選擇哪一塊為好？解：根據(jù)式（2-9），求其最大相對誤差。1）使用300V，0.5級電壓表時2）使用100V，1.0級電壓表時可見，用100V，1.0級電壓表測量該電壓時，精度比較高，故選用100V，1.0級電壓表較好。第28頁/共121頁例2-8自己看

例2-9

用一臺4位的數(shù)字電壓表的5V量程分別測量5V和0.1V電壓，已知該儀表的基本誤差為個字，求由于該表的基本誤差引起的測量誤差。解 ：①測量5V電壓時的絕對誤差。因為該表是4位，用5V量程時，±1個字相當于±0.001V，所以絕對誤差為：

=±0.01%×5V±1個字=(±0.0005±0.001)V=±0.0015V

因此其示值相對誤差為：

②測量0.1V電壓時的絕對誤差。

=±0.01%×0.1V±1個字

=(±0.00001±0.001)V≈±0.001V其示值相對誤差為：第29頁/共121頁可見，當不在接近滿量程顯示時，誤差是很大的。因此，當測量小電壓時，應當用較小的量程。同時還可看出，“±1個字”的誤差對測量結果的影響也是比較大的，不可忽視。第30頁/共121頁練習1．被測量真值是____

。都是可以準確測定的；(b)在某一時空條件下是客觀存在的，但很多情況下不能準確確定；(c)全部不能準確測定；(d)客觀上均不存在，因而無法測量。2．在使用連續(xù)刻度的儀表進行測量時，一般應使被測量的數(shù)值盡可能在儀表滿刻度值的____

以上。3．被測電壓真值為100v，用電壓表測試時，指示值為80v，則示值相對誤差為（）。(a)+25%(b)-25%(c)+20%(d)-20%第31頁/共121頁4.修正值是與絕對誤差的絕對值

的值。(a)相等但符號相反；(b)不相等且符號相反；(c)相等且符號相同；(d)不相等但符號相同。5.通常在相同的條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定或在條件改變時，按某種規(guī)律而變化的誤差稱為（）。(a)隨機誤差；(b)系統(tǒng)誤差；(c)影響誤差；(d)固有誤差。6、相對誤差定義為

與

的比值，通常用百分數(shù)表示。7、用一只0.5級50V的電壓表測量直流電壓，產(chǎn)生的絕對誤差≤__伏。第32頁/共121頁判斷題：1、為了減少測量誤差，應使被測量的數(shù)值盡可能地在儀表滿量程的2/3以上。2、通過多次測量取平均值的方法可減弱隨機誤差對測量結果的影響。3、被測量的真值是客觀存在的，然而卻是無法獲得的4、系統(tǒng)誤差的絕對值和符號在任何測量條件下都保持恒定，即不隨測量條件的改變而改變。第33頁/共121頁四、簡答題1．檢定量程為100μA的2級電流表，在50μA刻度上標準表讀數(shù)為49μA，問此電流表是否合格？第34頁/共121頁2.3隨機誤差的估算2.3.1測量值的算術平均值與數(shù)學期望2.3.2標準差2.3.3隨機誤差的正態(tài)分布2.3.4貝塞爾公式2.3.5算術平均值標準差第35頁/共121頁2.3.1測量值的算術平均值與數(shù)學期望由同一測量者用同一儀器和方法，以同樣的精細程度在短時間內(nèi)對同一被測量進行多次重復測量，稱為等精密度測量。設對被測量進行次等精密度測量，得測量值數(shù)列為：這里為隨機變量，測量值的算術平均值為：

也稱為樣本平均值。當測量次數(shù)時，樣本平均值的極限稱為測量值的數(shù)學期望：

也稱為總體平均值。第36頁/共121頁隨機誤差是精密度的反映，表征了各次測量值的分散程度，故隨機誤差為： ，即而系統(tǒng)誤差是準確度的反映，則系統(tǒng)誤差為： ，即式中，是被測量真值。真值絕對誤差是測量示值與真值之差：由上式可見，絕對誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。若系差和粗差等于零，故則：

第37頁/共121頁隨機誤差的算術平均值為：由上式可知，當時，則

由此可見，當時，隨機誤差的算術平均值為零。對于有限次等精密度測量，當足夠多時，可近似認為。由上式得：

由此可見，若僅存在隨機誤差，可用多次測量的算術平均值作為最后測量結果。（常在實驗里用到）

第38頁/共121頁2.3.2標準差測量值的算術平均值是被測量的最可信賴值。但是僅知道測量值的算術平均值仍無法知道測量值的分散程度。被測量的分散程度可以用測量值數(shù)列的標準差來表示。其定義為：當時，隨機誤差的平方的算術平均值再開平方后，只取正值，即標準差是表征精密度的重要參數(shù)。小表示測量值集中；大，表示測量分散。取平方的目的是，不論是正是負，其平方總是正的，其平方和不會等于零，給計算帶來方便。第39頁/共121頁2.3.3隨機誤差的正態(tài)分布

由概述論中的討論可知，測量中隨機誤差的分布和在影響下的測量數(shù)據(jù)的分布大多數(shù)是服從正態(tài)分布的。服從正態(tài)分布的隨機誤差，其概率密度函數(shù)為：

式中，為隨機誤差；為標準差。與的曲線見圖2-1。由圖可見，標準差一經(jīng)確定，就是的單值函數(shù)。

圖2-1隨機誤差的正態(tài)分布曲線第40頁/共121頁圖2-2示出了三個不同的對應的三條正態(tài)分布曲線。由圖可見，愈小，曲線愈高愈陡，小誤差出現(xiàn)的概率愈大，表示測量值集中，精密度高；反之，愈大，曲線平坦，測量值分散，精密度低。圖2-2標準差的意義第41頁/共121頁2.3.4貝塞爾公式

在實際測量中，測量次數(shù)不可能無窮大。當測量次數(shù)為有限次時，可用剩余誤差來計算標準差，同時用標準差的估計值代替。在有限次測量中，標準差估計值可用貝塞爾公式計算，即：

式中，（）稱為自由度，常用表示，。

由上式可見，當時，值不定，故僅做一次測量的數(shù)據(jù)是不可靠的。

第42頁/共121頁2.3.5算術平均值標準差在有限次等精密度測量中，以測量值的算術平均值作為測量結果。如果在相同條件下對同一量值作組，每一組作次測量，通過計算可得到個算術平均值。由于隨機誤差的存在，這個算術平均值并不相同，而圍繞著真值有一定的分散性。這說明了算術平均值還存在著誤差。當需要更精密考慮時，可用算術平均值的標準差來評定測量結果的分散程度。算術平均值標準差與標準差估計值的關系為：

第43頁/共121頁算術平均值標準差由上式可見，隨的增加而減小，測量次數(shù)愈多，測量結果的精密度愈高。但由于與成反比，精密度的提高隨的增加而越來越慢。一般取次即可。不能單靠增加來減小，而應該在增加的同時，設法減小。這就意味著要改善測量方法，采用精確度等級較高的儀器儀表，才能進一步提高測量的精密度。第44頁/共121頁2.4粗大誤差的判斷準則2.4.1置信概率與置信區(qū)間2.4.2有限次測量的置信度2.4.3隨機不確定度與壞值剔除第45頁/共121頁2.4.1置信概率與置信區(qū)間由概率積分可知，隨機誤差的正態(tài)分布曲線所包含的全部面積相當于全部誤差出現(xiàn)的概率，對式（2-25）從-∞到+∞積分，并令其等于1，即：對式（2-18）從到積分，便可得誤差出現(xiàn)的概率：將積分變換成，設，則，故上式變?yōu)椋菏街?，稱為概率積分，與的關系見表2-1。

第46頁/共121頁由寫出隨機誤差的表達式，并取絕對值，即：

可得出超出的概率為：

由表2-1查出不同的對應的值，便可由式算出，見表2-2，表2-2中，為測量次數(shù)。圖2-3置信概率與置信區(qū)間的關系第47頁/共121頁表2-1正態(tài)分布下的置信概率數(shù)值表0.500.600.700.800.901.001.101.201.301.400.19150.22570.25800.28810.31590.34130.36430.38490.40320.41921.501.601.701.801.902.002.102.202.302.400.43320.44520.45540.46410.47130.47720.48210.48610.48930.49182.502.602.702.802.903.003.203.403.804.000.49380.49530.49650.49740.49810.498650.499310.499660.4999280.499968第48頁/共121頁1.001.962.002.583.001.001.962.002.583.000.34130.47500.47720.49500.498650.31740.05000.04560.01000.002732022100370表2-2正態(tài)分布的置信系數(shù)反而言之，不超出的概率為，可由下式求得：

第49頁/共121頁置信區(qū)間

取不同值時，隨機誤差出現(xiàn)的概率為：當時， 時， 時，上述結果表明，對于正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差，不超出的隨機誤差出現(xiàn)的概率為95.44%；不超出的隨機誤差出現(xiàn)的概率為99.73%。上述用于描述測量結果的誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度的量稱為置信程度或者置信概率。所選擇的極限誤差范圍稱為置信區(qū)間。第50頁/共121頁2.4.3隨機不確定度與壞值剔除由表2-2可見，若取置信系數(shù)，在22個隨機誤差中，至多僅有一個的誤差大于；若取，在370個誤差中，至多僅有一個誤差大于。在實際測量中，可以認為大于的誤差出現(xiàn)的可能性極小，所以通常把大于的誤差稱為極限誤差或隨機不確定度，用表示

或用估計值這個數(shù)值說明測量結果在數(shù)學期望附近某一確定范圍內(nèi)的可能性有多大，由測量值的分散程度來決定，所以用標準差的若干倍來表示。第51頁/共121頁萊特準則根據(jù)上述理由，在測量數(shù)據(jù)中，如果出現(xiàn)大于的剩余誤差，可以認為該次測量值為壞值，應予剔除，即：

上式稱為萊特準則（亦稱為準則）。在測量次數(shù)足夠多（）時，按萊特準則剔除壞值是客觀的和合理的。但是，若測量次數(shù)較少（），按萊特準則剔除壞值就不一定可靠，這時應采用格拉布斯（Grubss）準則。第52頁/共121頁2.5系統(tǒng)誤差及其減小方法如前所述絕對誤差是系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和，即。此式說明測量結果的精確度不僅取決于隨機誤差，也取決于系統(tǒng)誤差。由于系差不具有抵償性，不能用求算術平均值的方法加以消除。但是，系差是有規(guī)律性的誤差，經(jīng)過仔細的分析和研究，其產(chǎn)生的規(guī)律是可以掌握的，因此可以采取一些技術措施削弱或消除其對測量結果的精確度的影響。2.5.1系統(tǒng)誤差的分類2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷2.5.3減小系統(tǒng)誤差的方法第53頁/共121頁2.5.1系統(tǒng)誤差的分類按照系差變化的征性，可將系差分為兩種類型。恒值系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差的大小和符號是不變的誤差稱為恒值系差。例如，儀器儀表的基本誤差、儀表的零點偏高或低、標尺刻度不準確等均屬于恒值系差，見圖2-5曲線a。第54頁/共121頁變值系統(tǒng)誤差：誤差的絕對值和符號按照一定規(guī)律變化的誤差稱為變值系差。線性系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差的數(shù)值隨差時間線性增加或者減小的誤差稱為線性系差。例如由于晶體管老化過程引起放大倍數(shù)下降引起的誤差；標準電池的電動勢隨時間而減小引起的誤差等均屬此類系誤。見圖2-5曲線b。周期性變化的系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差值作周期性變化，見圖2-5曲線c。復雜變化的系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差的變化規(guī)律很復雜，見圖2-5曲線d。通常它是由幾個影響因素同時變化引起的。第55頁/共121頁2.5.1系統(tǒng)誤差的分類圖2-5系統(tǒng)誤差的特征第56頁/共121頁2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷

由于產(chǎn)生系差的原因很多，所以發(fā)現(xiàn)它或判斷它的方法也很多，這里僅介紹幾種常用的判斷方法。實驗對比法改變測量條件、測量儀器儀表或測量方法進行重復測量，然后將測量結果進行對比，從而發(fā)現(xiàn)系差。剩余誤差觀察法用儀器儀表對某一被測量進行一系列等精密度測量，得示值，然后求算術平均值，并求出各示值的剩余誤差，最后將剩余誤差數(shù)列按測量先后制成表格或畫成曲線進行觀察，從而判斷是否存在系差。

第57頁/共121頁馬利科夫判據(jù)馬利科夫判據(jù)該判據(jù)用于判斷是否存在線性系差。首先將測量數(shù)據(jù)按測量先后排列起來，分別求剩余誤差。把剩余誤差數(shù)列分為前后兩組，分別求前后兩組的代數(shù)和，然后求前后兩組代數(shù)和之差：當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，

如果滿足：則認為不存在線性系差。如果滿足：則認為存在線性系差。式中是最大剩余誤差。第58頁/共121頁阿卑—赫梅特判據(jù)阿卑—赫梅特判據(jù)該判據(jù)用于判斷是否存在周期性系差。首先按測量數(shù)據(jù)的測量先后求剩余誤差列。然后用下式判斷：若上式成立，則認為存在周期性系差，否則不存在周期性系差。對于存在變值系差的測量數(shù)據(jù)，原則上應舍去不用。但是，若明顯小于測量允許的誤差范圍或者儀器儀表的基本誤差，也可以考慮使用。第59頁/共121頁2.5.3減小系統(tǒng)誤差的方法對于測量者，善于找出產(chǎn)生系差的原因并采取有效措施以減小誤差是極為重要的。它與被測對象、測量方法、儀器儀表的選擇以及測量人員的實踐經(jīng)驗密切有關。下面介紹幾種常用的減小系差的方法。從產(chǎn)生系差的原因采取措施定期校正減小緩變系差用加修正值方法減小系差零位測量法微差法替代法第60頁/共121頁從產(chǎn)生系差的原因采取措施接受一項測量任務后，首先要研究被測對象的特性，選擇適當?shù)臏y量方法和測量儀表、所用儀表的精度等級和量程上限；測量工作環(huán)境（如溫度、濕度、大氣壓、交流電源電壓、頻率、振動、電磁場干擾等）是否符合儀表的標準工作條件。必要時可采用穩(wěn)壓、穩(wěn)頻、恒溫、散熱、防振和屏蔽接地措施。測量者應提高測量技術水平，增強責任心，克服主觀原因所造成的誤差。為避免讀數(shù)或記錄出錯，可用數(shù)字儀表代替指針式儀表，用自動打印代替人工抄寫等?？傊?，在測量工作開始前，盡量消除產(chǎn)生誤差的根源，從而減小系差的影響。

第61頁/共121頁定期校正減小緩變系差緩變系差的特點是隨時間平穩(wěn)變化。例如，儀表的零點和靈敏度過一段時間后可能會發(fā)生變化，見圖2-6。原來儀表的輸入輸出特性見圖2-6直線1，經(jīng)過一段時間后可能變成直線2。顯然儀表的零點和靈敏度（或滿度值）已發(fā)生變化、產(chǎn)生了系差。應調(diào)整儀表的零點和滿度值機構使直線2回復至直線1，恢復儀表原來的輸入輸出特性，從而減小系差。為了不斷消除儀表的緩變（或線性變化）的誤差，應定期對儀表進行校正，校正周期愈短，緩變誤差愈小。第62頁/共121頁定期校正減小緩變系差圖2-6校正儀表零點和靈敏度第63頁/共121頁微差法設標準量為，被測量為，微差為，則微差法的絕對誤差為： 式中，為標準量的絕對誤差；為測量的絕對誤差。相對誤差為：

因為。故，并令，得：

式中，為標準量的相對誤差，即為標準量的精度等級；為測量微差的示值相對誤差。由于標準量的精度等級很高，故上式第一項誤差很??；第二項是兩個小于1的數(shù)之乘積也很小。所以用微差法可以減小系差。第64頁/共121頁

設標準電壓，級。已知微差，用，級電壓表測量。求測量的相對誤差。解測量的相對誤差為：

測量的相對誤差為：

可見，測量誤差主要取決于標準量的精確度，而儀表引起的測量誤差僅為0.06%。在測量微差時誤差達±3.0%，但它在總誤差中僅占0.06%。用級儀表，可達到0.06%的精度。

例題2-10第65頁/共121頁替代法替代法是在測量過程中將被測量以等值的標準量來替換。替換時，要使儀器的工作狀態(tài)前后不變，這樣就能消除由儀器產(chǎn)生的恒值系差。可見，測量的誤差與橋路參數(shù)的精度無關，僅取決于標準電阻的精度，因此可減小系差。

圖2-7替代法減小系差第66頁/共121頁一、填空題在測量數(shù)據(jù)為正態(tài)分布時，如果測量次數(shù)足夠多，習慣上取

作為判別異常數(shù)據(jù)的界限，這稱為萊特準則。2.隨機誤差的大小，可以用測量值的

來衡量，其值越小，測量值越集中，測量的

_越高。4.測量值的數(shù)學期望M(Ⅹ)，就是當測量次數(shù)n趨近無窮時，它的各次測量值的

。5.在變值系差的判別中，馬利科夫判別常用于判定____性系差，阿卑一赫梅特判別常用于判定____性系差。6．對于大量獨立的無系統(tǒng)誤差的等精度測量，測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其測量隨機誤差也服從正態(tài)分布，它們有__

__的標準偏差。第67頁/共121頁二、判斷題：1．粗大誤差具有隨機性，可采用多次測量，求平均的方法來消除或減少。2．通過多次測量取平均值的方法可減弱隨機誤差對測量結果的影響。3．不論隨機誤差服從何種分布規(guī)律，均可用萊特準則判定粗大誤差。第68頁/共121頁2.6測量數(shù)據(jù)的處理

測量數(shù)據(jù)的處理是指從原始的測量數(shù)據(jù)中經(jīng)過加工、整理求出被測量的最佳估計值，并計算其精確度。2.6.1測量數(shù)據(jù)的舍入法則2.6.2有效數(shù)字的位數(shù)2.6.3有效數(shù)字的運算規(guī)則2.6.4有效數(shù)字位數(shù)的確定2.6.5等精密度測量結果的處理步驟第69頁/共121頁2.6.1測量數(shù)據(jù)的舍入法則由于測量數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，…，9十個數(shù)組成的近似數(shù)，因此在進行數(shù)據(jù)處理時會遇到數(shù)據(jù)的舍入問題。通常的“四舍五入”規(guī)則中，對5只入不舍是不合理的，它也應當有舍有入。所以在測量技術中規(guī)定：“小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則”。也就是說，保留數(shù)字末位為n位，第n+1位大于5，第n位數(shù)字加1；第n+1位小于5，第n位數(shù)字不變；若第n+1位恰好是5，則將第n位湊成偶數(shù)，即第n位為奇數(shù)時，第n位加1，第位為偶數(shù)時，則第n位不變。第70頁/共121頁2.6.1測量數(shù)據(jù)的舍入法則例2-10將下列數(shù)字保留三位：

12.34→12.3（4<5）

12.36→12.4（6>5）

12.35→12.4（因第三位是3為奇數(shù)，5入）

12.45→12.4（因第三位是4為偶數(shù)，5舍）當舍入足夠多時，舍和入的概率相同，從而舍入誤差基本抵消，又考慮到末位是偶數(shù)容易被除盡，減小計算誤差。由此可見，每個數(shù)據(jù)經(jīng)舍入后，末位是欠準數(shù)字，末位以前的數(shù)字是準確數(shù)字。其舍入誤差不會大于末位單位的一半，這是最大舍入誤差，故稱該舍入法則為“0.5”誤差法則。第71頁/共121頁2.6.2有效數(shù)字的位數(shù)所謂有效數(shù)字的位數(shù)，是指在一個數(shù)值中，從第一個非零的數(shù)算起，到最末一位數(shù)為止，都叫有效數(shù)字的位數(shù)。例如，0.27是兩位有效數(shù)字；10.30和2.102都是四位有效數(shù)字?？梢?，數(shù)字“0”在一個數(shù)值中，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。

第72頁/共121頁2.6.3有效數(shù)字的運算規(guī)則在數(shù)據(jù)處理中，常需要對一些精度不相等的數(shù)進行四則運算。為了使計算簡單準確，可首先將參加運算的各個數(shù)，以精度最差的一個為基準進行舍入處理（也可多保留一位欠準數(shù)字），計算結果也按精度最差的那個數(shù)為基準作舍入處理（也可以多保留一位或兩位欠準數(shù)字）。這樣使計算簡便準確。第73頁/共121頁2.6.4有效數(shù)字位數(shù)的確定確定有效數(shù)字位數(shù)的標準是誤差。并非寫得越多越好，多寫位數(shù)，就夸大了測量的精確度，少寫位數(shù)就會帶來附加誤差。測量結果有效數(shù)字處理原則是：由測量精確度來確定有效數(shù)據(jù)的位數(shù)，但允許多保留一位欠準數(shù)字，與誤差的大小相對應，再根據(jù)舍入法則將有效位以后的數(shù)字舍去。第74頁/共121頁例2.12

用一塊=100V，s＝0.5級電壓表進行測量，其示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。解：該量程的最大誤差為：可見示值范圍為84.85~85.85V，因為誤差是±0.5V，根據(jù)“0.5”誤差法則，此數(shù)據(jù)的末位應是整數(shù)，所以測量結果應寫成兩位有效數(shù)字，根據(jù)舍入法則，示值末尾的0.35<0.5，因此，不標注誤差的報告應寫成85V。由上可見，測量結果的有效數(shù)字反映了測量的精確度。第75頁/共121頁例2.12

用一塊=100V，s＝0.5級電壓表進行測量，其示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。解：該量程的最大誤差為：可見示值范圍為84.85~85.85V，因為誤差是±0.5V，根據(jù)“0.5”誤差法則，此數(shù)據(jù)的末位應是整數(shù)，所以測量結果應寫成兩位有效數(shù)字，根據(jù)舍入法則，示值末尾的0.35<0.5，因此，不標注誤差的報告應寫成85V。由上可見，測量結果的有效數(shù)字反映了測量的精確度。

有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置和所用單位都無關，而只由誤差的大小所決定，這是應該十分明確的。第76頁/共121頁2.6.5等精密度測量結果的處理步驟對某一被測量進行等密度測量時，其測量值可能同時含有隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。為了合理估算其測量結果，寫出正確的測量報告，必須對測量數(shù)據(jù)進行分析和處理。數(shù)據(jù)處理的基本步驟如下：用修正值等方法，減小恒值系統(tǒng)誤差的影響。求算術平均值式中，是指可能含有粗差在內(nèi)的平均值。第77頁/共121頁等精密度測量結果的處理步驟求剩余誤差，并驗算的代數(shù)和是否等于零，從而驗算計算平均值的正確性。若的代數(shù)和約等于零，說明的計算是正確的；否則說明計算時有錯，要重新計算。求標準差的估計值。利用貝賽爾公式第78頁/共121頁等精密度測量結果的處理步驟判斷粗差，剔除壞值。當足夠大時，隨機不確定度為：當較少時，利用格拉布斯準則 若有，則認為對應的測量值是壞值，應予剔除。剔除壞值后，利用剩下的數(shù)據(jù)再來求，剩余誤差，標準差和隨機不確定度，并再次判斷粗差和剔除壞值，知道測量數(shù)據(jù)沒有壞值為止，然后繼續(xù)往下計算。第79頁/共121頁判斷有無變值系統(tǒng)誤差馬利科夫判據(jù)當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，上兩式中的必須是無壞值時所計算得到的剩余誤差。若，則認為存在線性系差。含有線性系差的數(shù)據(jù)原則上不能使用應重新作等精密度測量）利用阿卑－赫梅特判據(jù)判斷有無周期性系差。若上式成立則認為存在周期性系差。是無壞值時的標準差估計值。含有周期性系差的數(shù)據(jù)也不能使用。

第80頁/共121頁求算術平均值標準差估計值求算術平均值的不確定度當較小時或 當較大時 給出測量結果的表達式或報告值。對于技術測量，需要指明不確定度時，可表示為：若不指明不確定度，可用代表。

必須指出，上述計算所用數(shù)據(jù)和計算所得各個值均是在無壞值情況下的計算結果。在上述計算過程中，也應當考慮有效數(shù)字的位數(shù)，可先化整然后再計算，使計算簡化。為避免累積誤差，在化整和結果中可保留兩位欠準數(shù)字。但最后結果要與誤差相對應。第81頁/共121頁例2.13對某一電壓進行16次等精密度測量。測量數(shù)據(jù)中已計入修正值，具體數(shù)值見表（單位為V）。要求給出包括誤差（即不確定度）在內(nèi)的測量結果表達式。1205.300.000.099205.01-0.29-0.202204.94-0.36-0.2710204.70-0.60-0.513205.63+0.330.4211205.560.260.354205.24-0.060.0312205.350.050.145206.65+1.35－13205.21-0.090.006204.97-0.33-0.2414205.19-0.11-0.027205.36+0.060.1515205.21-0.090.008205.16-0.14-0.0516205.320.020.11第82頁/共121頁解：1）計算算術平均值2）計算剩余誤差各列于表2-5中第三列。然后求的代數(shù)和說明計算算術平均值是正確的。3）計算標準差估計值。利用貝賽爾公式第83頁/共121頁4）判斷粗差。求隨機不確定度，因為次，比較少，采用格拉布斯準則。取，查表2-4，得格拉布斯系數(shù)，則 查表2-5，可知為最大，大于，所以測量值是壞值，予以剔除。此外沒有大于的，暫定壞值只有一個，剩下數(shù)據(jù)只有15個。5）重新計算，和值

計算剩余誤差，列于表2-5的第四列。計算標準差估計值，再查表2-4，得，算出

再判斷壞值。查表2-5知。說明所剩數(shù)據(jù)中沒有壞值。第84頁/共121頁6）判斷有無變值系差①馬利科夫判據(jù)判斷是否有線性系差

查表2-5知，可見，不存在線性系統(tǒng)誤差。②利用阿卑－赫梅特判據(jù)判斷有無周期性系差。

而 可見，故不存在周期性系差。第85頁/共121頁7）利用計算算術平均值標準差的估計值

8）計算不確定度。較少，，取，查表2-3，得，則 9）給出測量結果的表達式（報告值）。由值可以看出，測量結果只能精確到十分位，從而得出被測量

這一結果表明，雖然被測電壓的真值不知道，但可以用經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的算術平均值代表它。在這個數(shù)值中含有隨機誤差，其標準差為0.06V，但無論如何不可能超過0.1V。第86頁/共121頁2.7誤差的合成與分配2.7.1概述2.7.2常用函數(shù)的合成誤差2.7.3系統(tǒng)誤差的合成2.7.4系統(tǒng)誤差的分配第87頁/共121頁2.7.1概述測量方法分為:直接測量、間接測量和組合測量；前面課程涉及的誤差計算都是在直接測量的基礎上討論的。對間接測量的誤差又應該如何計算？第88頁/共121頁間接測量的誤差計算問題？又如測量標準電阻的電阻率:需測量標準電阻的電阻值、橫截面積和長度。如果已知、和，如何計算？110米跨欄12秒88S1–S2劉翔已知如何求?第89頁/共121頁誤差的合成與分配誤差的合成

已知被測量與各個參數(shù)的函數(shù)關系以及各個參數(shù)測量值的分項誤差，求被測量的總誤差稱為誤差的合成。例如研究一臺儀表各局部環(huán)節(jié)的系統(tǒng)誤差與整臺儀表系統(tǒng)誤差之間的關系；間接測量時，被測量誤差與各測量值誤差之間的關系（劉翔的跨欄時間測量）等。誤差的分配

已知總誤差及其與各測量值之間的函數(shù)關系，將總誤差合理地分配給各測量值稱為誤差分配。例如在設計一臺測量儀表時，應當怎樣合理分配各環(huán)節(jié)和各元件的系統(tǒng)誤差。第90頁/共121頁誤差傳遞公式若要進行誤差的合成與誤差的分配，首先必須知道誤差的傳遞公式。那么誤差傳遞公式又是如何得出的？設被測量與各測量值之間的函數(shù)關系為，測量值各自有獨立的絕對誤差，則有絕對誤差。與之間的關系為：上式是絕對誤差的傳遞公式。是誤差傳遞系數(shù)。第91頁/共121頁絕對誤差與相對誤差前式表明，總誤差是各分項誤差與其傳遞系數(shù)的代數(shù)和。即對函數(shù)表達式求全微分，然后求其代數(shù)和便可得到的絕對誤差。前式兩邊也分別除以，便過得相對誤差的傳遞公式：由上式可見，對函數(shù)兩邊分別取自然對數(shù)，再求全微分，然后求代數(shù)和便可得到的合成相對誤差。第92頁/共121頁2.7.2常用函數(shù)的合成誤差積函數(shù)的合成誤差（功率測量）設，是積函數(shù)。對求全微分得其絕對誤差為：

若要求其相對誤差，可對取對數(shù)再求全微分，即

上式說明，由積函數(shù)的合成相對誤差等于各分項誤差之和。當和分別有“±”號時，從最大誤差出發(fā)，總誤差應等于各分項誤差之絕對值和。即

第93頁/共121頁已知電阻上的電壓和電流的誤差分別為±2.0%和±1.5%，求電阻耗散功率的相對誤差。 解：電阻耗散功率，此為積函數(shù)。根據(jù)式（2-41）得：如果已知電阻和電流的誤差為±2.0%和±1.5%，則

第94頁/共121頁2.7.2常用函數(shù)的合成誤差2.商函數(shù)的合成誤差已知為商函數(shù)。對求全微分可得其絕對誤差為：對取對數(shù)得，然后微分得的相對誤差為：

可見，商函數(shù)的合成相對誤差是各分項相對誤差之差。但由于和往往前面有“±”號，從最大誤差出發(fā)，仍取各分項誤差的絕對值相加，即：與積函數(shù)一樣第95頁/共121頁已知放大電路晶體管集電極電阻，利用測量上的壓降,然后間接測得集電極電。已知測量電壓的誤差是±1.5%，電阻的誤差是±2.0%，求測量電流的誤差。解：已知是商函數(shù)。根據(jù)式（2-44）可得測量電流的誤差為：

第96頁/共121頁2.7.2常用函數(shù)的合成誤差3.冪函數(shù)的合成誤差設，可見是冪函數(shù)。對取對數(shù)得：

然后微分，得的合成誤差

式中，、和為影響系數(shù)。第97頁/共121頁電流流過電阻，發(fā)熱量。已知，，，求是多少？解：由于，和的前面均有“±”號，從最大誤差出發(fā)，仍取各項誤差的絕對值相加。 由式（2-66）可得

由此例說明，因為測量電流的影響系數(shù)為2，而的誤差占了總合成誤差的近80%，因此，選擇合成函數(shù)時應盡量避免影響系數(shù)大的函數(shù)。第98頁/共121頁2.7.2常用函數(shù)的合成誤差4.和差函數(shù)的合成誤差設，左式求全微分得絕對誤差

若各分項誤差的符號不能預先確定時，從最大誤差出發(fā)，仍取絕對值相加，即

相對誤差

第99頁/共121頁4.和差函數(shù)的合成誤差①設是和函數(shù)，則

②設是差函數(shù)。同理得：

當和的符號為未知時，上兩式仍需取絕對值相加。 由式（2-70）可見，當和比較接近時，其合成誤差比較大，所以盡量不選擇差函數(shù)。第100頁/共121頁

用三瓦特表法測量三相交流電路中的功率，各儀表的示值分別為、和，設三儀表的相對誤差相等為。求總功率的相對誤差為多少？ 解：三相交流電路的總功率等于

由式（2-69）可知，總功率的誤差為：

可見，若測量三相功率的各功率表相對誤差相同，三相電路總功率的相對誤差等于任一相功率的誤差。第101頁/共121頁

用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的級。測量值，。求頻帶寬度的合成誤差。 解：測量的相對誤差為：

測量的相對誤差為：

已知頻帶寬度 由于和的符號均為未知，代入式（2-49），并取絕對值相加，得：

第102頁/共121頁5.和差積商函數(shù)的誤差例2-19兩只電阻和聯(lián)，求并聯(lián)后電阻的總誤差。解：并聯(lián)后總電阻是和差積商函數(shù)。根據(jù)誤差傳遞公式（2-58）可以得出：

則

即

當時，則。表明相對誤差相同的電阻并聯(lián)后總電阻的相對誤差與單個電阻的相對誤差相同。其相對誤差為：第103頁/共121頁2.7.3系統(tǒng)誤差的合成1.已定系統(tǒng)誤差的合成

對于已定系差，由于誤差的大小、符號和函數(shù)關系均為已知，故可直接由誤差傳遞公式（2-37）進行合成。因為，如果則可對各分項誤差采用代數(shù)和法進行合成。即：

而相對誤差為：

第104頁/共121頁

有五個1000Ω電阻串聯(lián)，若各電阻的系統(tǒng)誤差分別為：，，，，。求總電阻的絕對誤差和相對誤差。解：

其相對誤差為：

第105頁/共121頁2.系統(tǒng)不確定度的合成

對于未定系統(tǒng)誤差，由于往往只知道其誤差極限而不知道其確切的大小和符號，因此對它的合成方法視具體情況而定。通?？捎孟铝袃煞N方法。（1）絕對值和法各分項誤差取絕對值，然后求和。用式子表示為：①絕對系統(tǒng)不確定度

②相對系統(tǒng)不確定度

一般情況下，第106頁/共121頁

用二功率表法測量三相三線制電路中的總功率。設兩功率表的級，，。它們的讀數(shù)分別為，。求測量總功率的系統(tǒng)不確定度。解：總功率為。根據(jù)式（2-73）和儀表精度等級的定義，可求出測量和的局部系統(tǒng)不確定度

由此可得測量總功率的系統(tǒng)不確定度

其相對系統(tǒng)不確定度為

第107頁/共121頁例2-21

用晶體管毫伏表，級測量，