人口增長模型

人口增長模型：問題下表列出了中國1982—1998年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1982年為起始年（t=0）,…人口自然增長率14%，以36億作為我國的人口容納量，是建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型并給出相應(yīng)的算法和程序，并與實(shí)際人口相比較：時(shí)間（年）198219831984198519861987人口（萬人）101654103008104357105851107507109300時(shí)間198819891990199119921993人口111026112704114333115823117171118517時(shí)間19941995199619971998人口119850121121122389123626124810從圖中我們可以看到人口數(shù)在1982—1998年是呈增長趨勢的，而且我們很容易發(fā)現(xiàn)上述圖像和我們學(xué)過指數(shù)函數(shù)的圖像有很大的相似性，所以我們很自然想到建立指數(shù)模型，但是指數(shù)模型有個(gè)不妥之處就是沒有考慮社會(huì)因素的，即資源的有限性，也就是人口不可能無限制的增長，所以有必要改進(jìn)模型，這里我們假設(shè)人口增長率隨人口增加而呈線性遞減，從而建立起比較優(yōu)越阻滯增長模型模型一：指數(shù)增長模型（馬爾薩斯模型）.假設(shè)：人口增長率r是常數(shù)..建立模型：記時(shí)刻t=0時(shí)人口數(shù)為X0,時(shí)刻t的人口為X（t），由于量大，X（t）可以視為連續(xù)、可微函數(shù)，t到t+At時(shí)間段人口的增量為：X（t+At）-X（t） =rX（t）At'dx _—=rX于是X（t）滿足微分方程：Jdt卜）X（0）=X0.模型求解：解得微分方程（1）得：X（t）=Xer（t-t0） （2）0表明：t >8時(shí)，X >8（r.>0）.t.模型的參數(shù)估計(jì)要用模型2對人口進(jìn)行預(yù)報(bào)，必須對其中的參數(shù)r進(jìn)行估計(jì)，這可以用表1通過Matlab擬合：程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998]';X=[ones(17,l),x]Y=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);%回歸分析b,bint,stats%輸出這些值rcoplot(r,rint);%畫出殘差及其置信區(qū)間z=b(l)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r'),%預(yù)測及作圖運(yùn)行結(jié)果：b二1.0e+006*-2.84470.0015bint=1.0e+006*-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats=1.0e+005*0.0000 0.0455 0 1.9800

圖1各數(shù)據(jù)點(diǎn)及回歸方程的圖形即回歸模型為：y=-2844700+1500x從上圖可用看出擬和得效果比較好。從擬和的結(jié)果我們得到在上圖的擬和效果下：丫=0.014,X=101654，進(jìn)而把它們代入式(2)我們計(jì)算得出如下表：這里用程序計(jì)算0程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998];y=101654.000*exp(0.014*(x-1982));digits(7);y1=vpa(y)%定義所求的值y1精確到小數(shù)點(diǎn)后7位；;表2：人口數(shù)\模型一(萬人) \年份實(shí)際人口馬薩爾模型Logistic模型1982101654101654.0101694.91983103008103087.2102719.61984104357104540.5103750.41985105851106014.4104787.31986107507107509.0105830.41987109300109024.7106879.51988111026110561.8107934.51989112704112120.6108995.51990114333113701.3110062.41991115823115304.3111135.11992117171116929.9112213.51993118517118578.5113297.71994119850120250.2114387.41995121121121945.6115482.81996122389123664.8116583.71997123626125408.3117690.01998124810127176.4118801.7模型結(jié)果分析：指數(shù)增長模型在一定的社會(huì)發(fā)展下反映了人口的發(fā)展情況，馬爾薩斯模型很好反映了人口變化發(fā)展，人口增長趨勢呈指數(shù)增長；但是由于資源及其其他因素的影響，人口增長不會(huì)一直按指數(shù)增長，所以人口的增長應(yīng)該還受到其他因素的影響，這是指數(shù)模型無法反映和處理的,所以要更準(zhǔn)確地預(yù)測1998的人口就必須對馬爾薩斯模型進(jìn)行改進(jìn)。因此我們在馬爾薩斯模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改得到了模型二：阻滯增長模型(10亞5比模型)模型二：阻滯增長模型(10審51配模型)1、模型假設(shè)：人口的增長率不是常數(shù)，而是關(guān)于人口數(shù)量的線性遞減函數(shù)2、模型變量和函數(shù)的定義:人口增長率r為人口X(t)的函數(shù)r(x)(減函數(shù))，最簡單假定：r(x)=r一5X,s>0，r叫做固有增長率;環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量Xm3、模型建立：rTOC\o"1-5"\h\z當(dāng)X=X時(shí)，增長率應(yīng)為0，即r(X)=0，于是s=-—，代入r(x)=r一sx，得:m mXmX(3)r(x)=r(1(3)Xm(dx X1一二r(1-——)X將(3)代入(1)式得：＜dtX卜(4)mX(0)=X04、模型的求解：X解方程(4)得：X(t)=一廠— (5)1+(--1)e-r(t-10)X0dx根據(jù)方程(4)作出應(yīng)-x曲線圖，如圖2,有該圖可以看出人口增長率隨人口增長的變化規(guī)律，根據(jù)結(jié)果(5)作出x-t曲線，如圖3，由此圖可以看出人口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律:

dxdtdX- ,圖2,竺-x曲線圖dtX2mXdxdtdX- ,圖2,竺-x曲線圖dtX2mXX2mXm/2xXmXmxXXo0圖3圖3t.曲線圖線t5、模型的參數(shù)估計(jì)：將r=0.014,Xm=360000(萬)代入公式(5),求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1982—1998的人口見表2：這里用程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998];y=360000./(1+2.54*exp(-0.014*(x-1982)));digits(7)y1=vpa(y)運(yùn)行結(jié)果：y1=[101694.9,102719.6,103750.4,104787.3,105830.4,106879.5,107934.5,108995.5,110062.4,111135.1,112213.5,113297.7,114387.4,115482.8,116583.7,117690.0,118801.7]6、模型結(jié)果分析：阻滯增長模型在某種程度上較好地反映了人口的增長規(guī)律，特別是在預(yù)測現(xiàn)代社會(huì)人口發(fā)展趨勢有較高的科學(xué)性。因?yàn)楝F(xiàn)代社會(huì)人口已經(jīng)達(dá)到一定的飽和程度，社會(huì)因素對人口的發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響，比如糧食資源，水資源，環(huán)境問題已經(jīng)對人類的可持續(xù)發(fā)展構(gòu)成了約束作用。因此，作為中長期預(yù)測，阻滯增長模型比馬爾薩斯模型要合理一些。配料問題：摘要：根據(jù)原料配比，對已給參數(shù)進(jìn)行分析處理，求最優(yōu)解。針對問題一，在總成本最低的情況下，根據(jù)配比需求，建立線性規(guī)劃模型，用求解線性規(guī)劃的基本方法單純形法，求解。即根據(jù)決策變量，在給定的約束條件下求解使成本最低的最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。一、問題的提出：為了適應(yīng)市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展，降低成本，追求最大利益。設(shè)用n種B1,B2……二、問題的假設(shè)、符號的約定：1問題的假設(shè)(1)原料的單價(jià)是不變的。(2)各種原料含有元素的百分含量標(biāo)準(zhǔn)并且是可靠準(zhǔn)確的。(3)對于各種原料之間的反應(yīng)及整體質(zhì)量的變化忽略不計(jì)。(4)不考慮其他隨機(jī)因素的影響。2.符號的約定：B:生產(chǎn)此產(chǎn)品所需的n種原料(n=1,2……n)；nA:此產(chǎn)品所含有的m種成分(m=1,2.……m)；ma:產(chǎn)品所含各個(gè)成分的量(m=1,2,……m)；mb:原料B的單價(jià)(j=1,2, n);jjc：B中含有A的數(shù)量；ijj ix:生產(chǎn)此產(chǎn)品中所需的B的量；nnS：生產(chǎn)此產(chǎn)品的總成本。三、問題的分析“根據(jù)假設(shè)原料在一定時(shí)期內(nèi)單價(jià)是固定的,則以生產(chǎn)此產(chǎn)品的最低成本為最優(yōu)目標(biāo),以各種原料的選取量為決策變量,此產(chǎn)品對各種原料所需要的百分含量和對各原料的需求范圍以及國家對產(chǎn)品的規(guī)定為約束條件,建立議案性規(guī)劃模型。模型的建立及求解：模型的建立我們的目標(biāo)是成本最低,即使得在滿足約束條件的前提下,使不同價(jià)格的原料得到充分利用并合理搭配達(dá)到成本最低,以使最后的各單價(jià)與原料選取數(shù)量乘積最小。在此問題中,產(chǎn)品所需原料的單價(jià)在一定時(shí)期內(nèi)是穩(wěn)定的,為：B=[b1,b2,b3,bn];各種原料的選取量為： X=(X,x,…x)n12n目標(biāo)函數(shù)為：minS=xb+xb+xb+ +xb11 22 33 nn問題的數(shù)學(xué)模型為：⑴確立問題的決策變量：即x1,x2,…..xn.分別為第一到第n種原材料所需的質(zhì)量。(2)確定問題的約束條件:xc+xc+xc+ + xc>a111 212 313 n1n1xc+xc+xc+ + xc>a121 222 323 n2n2xc+xc+xc+ + xc>a1m1 2m2 3m3 nmnm.用Matlab求解可得到最優(yōu)解程序如下：TOC\o"1-5"\h\zc=[b,b,b, b];123nA=[c11,c12,c13, c1n;c21,c22,c23, c2n;cm1,cm2.cm3, cmn];b=[a1;a2;a3;a4; ;am];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;……;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub).模型的評價(jià)和改進(jìn)1模型的評價(jià)：我們的模型完全建立在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，由于時(shí)間緊迫，來不及去更多的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來減少數(shù)據(jù)