信息論與編碼第六章

信息論與編碼第六章第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼最優(yōu)譯碼與最大似然譯碼最優(yōu)譯碼：最大似然譯碼：漢明距離、碼字重量第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼一、線性分組碼的基本概念分組碼是建立在碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，所以對分組碼的討論和分析需要一定的代數(shù)基礎(chǔ)。在這里我們不準備系統(tǒng)地學習代數(shù)知識，只介紹一些相關(guān)的內(nèi)容。第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼域（Field）的概念域是定義了兩種代數(shù)運算的系統(tǒng)。所謂代數(shù)系統(tǒng)，是指滿足一定規(guī)律或定律的系統(tǒng)，系統(tǒng)中有一群元素構(gòu)成的集合、定義了一些運算等。在域中定義的兩種算術(shù)運算是：第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼（i）加法：集合F在加法運算下是封閉的，即如果必有。滿足加法結(jié)合率，即集合中一定包含一個零元素，滿足集合中每個元素都有其逆元素，元素a的逆記為-a，有a+(-a)=a-a=0第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼（ii）乘法：集合F在乘法運算下是封閉的，即如果，則必有滿足乘法結(jié)合率，即滿足乘法交換率，即滿足乘法分配率，即集合中一定有一個單位元I，對任何有除零元素外，集合中每一個元素都有逆元素。第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼當域由有限個元素組成時，叫做有限域，也稱為伽羅華（GaloisField）域，記為GF(q)，其中q是域中元素的個數(shù)。例如，集合｛0，1｝對加法和乘法（不包含零元）都是模2的運算構(gòu)成一個域GF（2）。集合｛0，1，2，3，4｝對加法和乘法（不包含零元）都是模5的運算構(gòu)成一個域GF（5）。第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼（2）矢量空間由初等數(shù)學可知，平面上的二維矢量的全體構(gòu)成一個二維的矢量空間，空間的三維矢量全體構(gòu)成三維矢量空間。推廣可以得到一般的n維矢量空間。第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼在線性空間中，能張成該空間的線性獨立矢量的集合稱為該空間的基底。n個n重線性無關(guān)的矢量可以構(gòu)成一個n維矢量空間。取其中的k個可以張成n維空間的一個子空間。例如：由（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）為基底可以張成一個三維三重空間，取其中的兩個為基底可以構(gòu)成一個二維三重空間。以互相正交的基底張成的兩個空間也正交，并互稱為另一個空間的零空間。這兩個空間對偶。第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼線性分組碼一個[n，k]分組碼，是把信息劃成k個為一段（稱為信息組），通過編碼器變成長為n個碼元的一組，作為[n，k]分組碼的一個碼字。則共可能有個碼字。如果這些碼字集合組成一個k維線性空間，則稱它是一個[n，k]線性分組碼。第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼

對于線性分組碼，如果是碼字，則必定也是碼字。其中是碼元字符集里的任意兩個元素。因為一個定義了加法的域一定有零元素，如果取，則得到的碼字一定是全零碼。因此，線性分組碼一定包含全零碼。因此：第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼也就是說：（i）兩個碼字之間的距離必定等于另一個碼字的重量，所以線性分組碼的最小碼距等于碼集中非零碼字的最小重量：（ii）研究兩兩碼字之間的距離，可用碼字與全零碼的距離，或各碼字自身的重量來代替。第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼對于[n，k]二進制分組碼，共有個碼字，可以看成是n維n重空間S的一個子空間。這個子空間是由k個基底張成的，記作碼空間C，它是一個k維n重空間。n維n重空間的另外n-k個基底則張成一個n-k維的子空間，稱為校驗空間H。分組編碼器的工作，就是要把k維k重的信息組空間的個矢量一一對應(yīng)到k維n重碼空間C。因此，編碼算法就要研究兩個問題：（i）如何確定碼空間C，和（ii）如何映射。第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼二、生成矩陣和校驗矩陣[n，k]分組碼的編碼問題就是要在n維線性空間中，找出滿足一定要求的由個矢量組成的k維n重線性子空間，或者說，要由k個信息碼元得到n-k個冗余碼元。設(shè)是一組k個信息組，可以寫成矢量形式。編碼器輸出的是k維n重碼空間C的一個矢量，記為。因此有第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼對二進制分組碼來說，。上式也可以寫成矩陣形式：其中，均為一個含有n個元素的行向量。所以有第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼G是一個k行n列的矩陣，給定任何k碼元的信息比特，都可以由G利用公式求出對應(yīng)的碼字，因此，G被稱為碼的生成矩陣?？梢钥闯觯魏未a子都是G的行矢量的線性組合，即從矢量空間的角度來說，G的k個行矢量相當于k維n重碼字矢量空間的一組基底，該空間的任何矢量（碼字）都可以由這組基底的線性組合得到。并且這組基底本身也是一組碼字。第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼一般形式的G，得到的碼字前k位的信息位也發(fā)生了變化，而一般來說，我們只是希望在信息位后加上冗余比特，所以，可以對生成矩陣通過行運算（以及列置換）作適當?shù)淖儞Q，變成“系統(tǒng)形式”，即這樣生成的（n，k）碼是系統(tǒng)碼。第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼與碼空間C相對應(yīng)，一定存在一個對偶空間H。對偶空間H的基底，是n維n重矢量空間的基底中，除去張成k維碼字空間C的k個基底，而剩下的n-k個基底。因此，H空間和C空間一定正交。即生成矩陣的每一行，都是一個碼字，所以有第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼因此H叫做碼字空間C的校驗矩陣，可以利用是否等于零矢量，來判斷一個是不是碼字。例題：對一個（7，4）碼，其生成矩陣為第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼（1）對于信息組(1011)，對應(yīng)碼字是什么？（2）設(shè)計一個（7，4）分組編碼器原理圖。（3）若接收到一個7位碼r=（1001101），判斷它是否是碼字。解：（1）由生成矩陣可知，得到的一定是系統(tǒng)碼。由得第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼將信息位的值代入，得：，因此，編得的碼字為。注意加法是模2加。（2）由編碼后冗余位與信息位的關(guān)系，可得編碼器的原理圖如圖所示：輸入輸出第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼（3）要檢驗一個碼序列R是否是碼字，可以使用校驗矩陣H，如果，則一定是碼字，否則一定不是碼字。因此，就產(chǎn)生三個方程，只有第一個為零，另兩個不為零，所以R不是碼字。系統(tǒng)碼的前k位為信息位，后n-k位為校驗位。第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼校驗矩陣H除了可以用來檢驗碼字外，還與碼的最小距離（也就和碼的檢錯糾錯能力）有關(guān)。因為其中，是H矩陣的列向量。第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼因此，也就是說，n個矢量一定是線性相關(guān)的。如果分組碼的最小距離為，則根據(jù)線性碼的特點，碼集里面一定有一個碼字其重量最小為，即有個非零元素。將其代入校驗矩陣的方程，左邊就有個項，而右邊為零。也就是說，個是線性相關(guān)的。而第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼

個一定是線性無關(guān)的（反證法：如果個列矢量是線性相關(guān)的，則可以把其對應(yīng)的系數(shù)當成碼字，而該碼字的重量為，這與碼字的最小重量為相矛盾）。由于H是的矩陣，其秩最大為n-k，也就是說，最多有n-k個列矢量線性無關(guān)。所以第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼在編碼的時候，我們希望越大越好。二進制（n，k）線性碼的最小碼距的上界是n-k+1。稱這樣的碼為極大最小距離碼（MDC:MaximizedminimumDistanceCode）。第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼本節(jié)討論如何用伴隨式譯碼伴隨式設(shè)發(fā)送的碼字為

通過有擾信道傳輸，信道產(chǎn)生的錯誤圖樣為收端譯碼器收到的n重矢量為第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼R=C+E，譯碼器的任務(wù)就是要從收到的R中得出，或者由R中解出錯誤圖樣，從而得到，并使譯碼錯誤概率最小。對于二進制碼字，模2減與模2加等同。對于[n，k]分組碼C，滿足，因此若E=0，則，若，并且僅與錯誤圖樣E有關(guān)，而與發(fā)送什么碼字無關(guān)。第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼令S稱為接收矢量R的伴隨式（校正子）。伴隨式完全由E決定，它充分反映了信道的干擾情況。譯碼器的主要任務(wù)就是如何從S中得到最象E的錯誤圖樣，從而譯出。S與E是否有一一對應(yīng)的關(guān)系？如果一個[n，k]譯碼器要糾正t個錯誤，則要求對于錯誤個數(shù)的所有可能組合的錯誤圖樣，都應(yīng)該有不同的伴隨式與之對應(yīng)。第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼2.標準陣列由前面的討論可知，[n，k]分組碼的譯碼步驟可歸結(jié)為以下三步：（1）由接收到的R，計算伴隨式；（2）若S=0，則認為接收無誤。若，則由

S找出錯誤圖樣；（3）由和R找出。這里最關(guān)鍵的是由S找出E，只要找出的E是正確的，譯出的碼也是正確的。第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼由S的定義式，，即共有n-k個方程，但有n個未知量，所以解不唯一。對于二進制，少一個方程導致兩個解，少兩個方程導致四個解，少k個方程導致有個解，也就是說，可以解出個不同的錯誤圖樣，從而對應(yīng)了個碼字（碼字的全部可能）。根據(jù)最大似然譯碼規(guī)則，應(yīng)該譯成可能性最大的那個碼字。第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼對于二進制對稱信道，若差錯概率為p，則錯一個比特的概率（）大于錯兩個比特的概率（），…。所以，應(yīng)該譯成所有個差錯圖樣中重量最小的那一個。但如果每接收一個R就要解一次方程組，顯然太麻煩了?？梢灶A先把不同S下的方程組解出來，并得到最大概率的那個錯誤圖樣，和錯誤圖樣對應(yīng)的R，存成一個表格，譯碼的時候，只要根據(jù)不同的R查表，就可以得到對應(yīng)的最大可能的碼字。第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼下表就是一個這樣的表，叫做標準陣列譯碼表。表中有列，每一列的頭一個元素對應(yīng)的是一個碼字，所以共對應(yīng)個不同的碼字；每一列的列首元素下，是個禁用碼字（即n維空間點中不是碼字的那些點），代表該列首元素（碼字）在不同差錯圖樣下偏移后所對應(yīng)的空間點，正好對應(yīng)了個不同的伴隨式。全部的元素個數(shù)是，正好是n維矢量空間中總的點數(shù)，也就是說，每一個空間點第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼都有其所對應(yīng)的碼字，這樣，在譯碼的時候，當接收到一個R后，只要在標準陣列表中找到該R的位置，這一列的列首元素就是它應(yīng)該譯成的碼字。第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼

標準陣列譯碼表第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼表中第一行對應(yīng)的是個碼字，相當于差錯為零；第二行到第n+1行分別對應(yīng)n個差錯為1的差錯圖樣；…。每一行的行首元素叫做陪集首，是該行所對應(yīng)的錯誤圖樣。但是，錯誤圖樣數(shù)有個，標準陣列譯碼表只有行，代表個伴隨式和錯誤圖樣。那么，怎么從個錯誤圖樣中選擇個，作為陪集首？第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼原則當然是要使得譯碼的錯誤概率最小。前面已經(jīng)說過，對BSC信道，當錯誤概率p<0.5時，產(chǎn)生一個錯誤的概率比產(chǎn)生兩個錯誤的概率要大，產(chǎn)生兩個錯誤的概率比產(chǎn)生3個錯誤的概率要大，…?？傊?，錯誤圖樣重量越小，產(chǎn)生的可能性就越大。因此，譯碼器必須首先保證能正確糾正這些出現(xiàn)可能性比較大的錯誤圖樣，這相當于構(gòu)造標準陣列譯碼表時，要求按照錯誤圖樣重量從輕到重的順序挑選為陪首集。第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼例題：某（5，2）系統(tǒng)線性碼的生成矩陣是設(shè)收到的碼是R=(10101)，請先構(gòu)造該碼的標準陣列譯碼表，然后譯出發(fā)碼的估值C。第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日H=[PT┆I3]==s1＝e1h11+e2h12+e3h13+e4h14+e5h15=e1+e2+e3

s2=e1h21+e2h22+e3h23+e4h24+e5h25=e1+e4s3=e1h31+e3h32+e3h33+e4h34+e5h35=e1+e2+e5解：對應(yīng)（s1,s2,s3）=(111),e=(10000),(01010),(00111)和(11101)四種錯誤圖樣信息論與編碼-線性分組碼第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼標準陣列譯碼表

n-k=3，，即標準陣列譯碼表共有8行，每行代表一種錯誤圖樣。按照錯誤圖樣重量從輕到重的順序，無差錯（錯誤圖樣重量為0）的有一種，重量為1的有種，重量為2的有種。我們挑選的陪首集是1種無錯誤（重量為0），5種有一個錯誤（重量為1）和重量為2的10種里面的2種。第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼碼字共有種，將信息組的可能組合(00)、(01)、(10)、(11)代入生成矩陣，得到四個碼字為：(00000)、(10111)、(01101)、(11010)。得到的標準陣列譯碼表如下圖所示：第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼標準陣列譯碼表S1=000E1=00000C2=10111C3=01101C4=11010S2=111E2=10000001111110101010S3=101E3=01000111110010110010S4=100E4=00100100110100111110S5=010E5=00010101010111111000S6=001E6=00001101100110011011S7=011E7=00011101000111011001S8=110E8=00110100010101111100第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼當然，上述的標準陣列譯碼表不是唯一的，因為從10種重量為2的錯誤圖樣中選擇兩種，可以是任意選的。標準陣列譯碼表需要把個n重存儲在譯碼器中。其復雜性隨n的增大指數(shù)增長，當n比較大時很不實用。第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼可以把標準陣列譯碼表進行簡化，即只存儲伴隨式和錯誤圖樣的對應(yīng)關(guān)系，譯碼時先計算得到伴隨式，再查表得到錯誤圖樣，從而得到譯碼碼字。這樣碼表可以簡化，但譯碼時的計算量增加了。并且當n和k都比較大時，即使采用這種簡化的碼表，譯碼器的復雜性還是很高。因此在線性分組碼理論中，如何簡化譯碼器是最中心的研究課題之一。第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼

完備碼對于糾錯能力為t的（n，k）分組碼，重量小于等于t的錯誤圖樣共有因此，要想糾正t個錯誤，必須有第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼如果伴隨式的數(shù)目剛好等于重量小于等于t的錯誤圖樣的數(shù)目，即則稱這樣的（n，k）分組碼為完備碼。這樣每一個錯誤圖樣，都有一個不同的伴隨式與之對應(yīng)，每一個伴隨式都對應(yīng)一個不同的錯誤圖樣。第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼從多維矢量空間的角度來看完備碼假定我們圍繞每一個碼字ci放置一個半徑為t的球，每個球內(nèi)包含了與該碼字漢明距離小于、等于t的所有收碼R的集合，這樣在半徑為t＝[(dmin-1)/2]的球內(nèi)的收碼數(shù)是。

第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼因為有2k個可能發(fā)送的碼字，也就有2k個不相重疊的半徑為t的球。包含在2k個球中的碼字總數(shù)不會超過2n個可能的接收碼字。于是一個糾t差錯的碼必然滿足不等式

2k?≤2n即2n-k≥第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日信息論與編碼-線性分組碼如果等號成立，表示所有的收碼都落在2k個球內(nèi)，而球外沒有一個碼，這就是完備碼。完備碼具有下述特性：圍繞個碼字、漢明距離為t=└（dmin-1）/2┘的所有球都是不相交的，每一個接收碼字都落在這些球中之一，因此接收碼離發(fā)碼的距離至多為t，這時所有的重量≤t的差錯圖案都能用最佳（最小距離）譯碼器得到糾正，而所有重量≥t+1的差錯圖案都不能糾正。第四十九頁，共五