專題圓周運(yùn)動(dòng)臨界

第四章專題：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題通常有兩類(lèi)，一類(lèi)是與摩擦力有關(guān)的臨界問(wèn)題，一類(lèi)是與彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題。與摩擦力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力，如果只是摩擦mv2力提供向心力，則有Fm=―廠，靜摩擦力的方向一定指向圓心；如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連物體，其中一個(gè)在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。例題1、如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤(pán)上放有質(zhì)量為m的物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為零).物塊和轉(zhuǎn)盤(pán)間最大靜摩擦力是其正壓力的n倍.求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度氣":號(hào)時(shí)，細(xì)繩的拉力F1；當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度""萼時(shí)，細(xì)繩的拉力匕?3’【鞏固訓(xùn)練】1如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)上，沿半徑方向放置以細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩個(gè)小物塊，A離軸心r1=20cm,B離軸心匕=30cm,A、B與盤(pán)面間相互作用的最大靜摩擦力為其重力的0.4倍.求：若細(xì)線上沒(méi)有張力，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度刃應(yīng)滿足什么條件？欲使A、B與盤(pán)面間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的 |I-最大角速度多大？當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速達(dá)到A、B剛好不滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)繩， ，一一一/則A、B將怎樣運(yùn)動(dòng)？(g取10m/s2)與彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。例題2、如圖所示，在光滑的圓錐體頂端用長(zhǎng)為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球.圓錐體固定在水平面上不動(dòng)，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30.小球以速度v繞圓錐體軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)七二上(?時(shí)，求線對(duì)小球的拉力；當(dāng)匕二\考時(shí)，求線對(duì)小球的拉力.【鞏固訓(xùn)練】2.鐵軌轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的.彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車(chē)在彎道上的行駛速率.下表是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之對(duì)應(yīng)的軌道的高度差h.已知h?二33。鐵路建成后，火車(chē)通過(guò)彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)、外軌道均不向車(chē)輪施加側(cè)向壓力，又已知我國(guó)鐵路內(nèi)、外軌的間距設(shè)計(jì)值為l=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國(guó)火車(chē)的轉(zhuǎn)彎速率v(以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時(shí)，正弦值按正切值處理)；(2)隨著人們生活節(jié)奏加快，對(duì)交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁叩囊?為了提高運(yùn)輸能力，國(guó)家對(duì)鐵路不斷進(jìn)行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高.請(qǐng)根據(jù)上述計(jì)算原理和上述表格分析提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施.二豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的“輕繩、輕桿”模型1.“輕繩”模型和“輕桿”模型不同的原因在于“輕繩”只能對(duì)小球產(chǎn)生拉力，而“輕桿”既可對(duì)小球產(chǎn)生拉力也可對(duì)小球產(chǎn)生支持力。2有關(guān)臨界問(wèn)題出現(xiàn)在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，一般情況下，只討論最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況。見(jiàn)資料。例題3、現(xiàn)有一根長(zhǎng)L=1m的輕繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m=0.5kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無(wú)張力，如圖所示.不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，則：(1)為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度？⑵在小球以速度v1=4m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？在小球以速度v2=1m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大小；若無(wú)張力，試求繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間.

【鞏固訓(xùn)練】3如圖所示，橋面為圓弧形的立交橋AB,橫跨在水平路面上，橋高h(yuǎn),長(zhǎng)為L(zhǎng)=10h.可以認(rèn)為橋的兩端A、B與水平路面的連接處是平滑的.一輛質(zhì)量為m的小汽車(chē)沖上圓弧形的立交橋，到達(dá)橋頂時(shí)的速度為十導(dǎo).重力加速度為g。試計(jì)算：小汽車(chē)在橋頂處對(duì)橋面的壓力的大??；_若小車(chē)在橋頂處的速度為*'頑<v公商時(shí)，小車(chē)過(guò)項(xiàng)后將如何運(yùn)動(dòng)？訓(xùn)練題1.(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A和B,它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA=r,RB=2r，與盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)《相同，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是()A此時(shí)繩子張力為3?mgB.此時(shí)圓盤(pán)的角速度為C.此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外

D.此時(shí)燒斷繩子，A仍相對(duì)盤(pán)靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)2.如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度刃轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤(pán)始終保持相對(duì)靜止。物體［二?..與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為乎（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），盤(pán)面/3站與水平面的夾角為30°,g取10m/s2。則刃的最大值是（）A.-、'5rad/s Ba;3rad/sC.1.0rad/s D.0.5rad/s.如圖所示，兩個(gè)半徑均為R的甲、乙大環(huán)，都在豎直平面內(nèi)，甲環(huán)是粗糙的，乙環(huán)是光滑的，兩個(gè)大環(huán)上套有相同的小環(huán)，讓甲環(huán)繞圓心0在豎直平面內(nèi)做沿逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，甲環(huán)與小環(huán)的動(dòng)摩擦因數(shù)為心小環(huán)相對(duì)大環(huán)靜止的位置與大環(huán)圓心的連線與過(guò)圓心豎直線成一定角度；現(xiàn)讓乙環(huán)繞過(guò)圓心的豎直軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)果小環(huán)相對(duì)大環(huán)靜止的位置與圓心的連線與豎直軸所成角度與甲環(huán)中小環(huán)的情況相同，則乙環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 （）.用一根細(xì)線一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示,設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為啊線的張力為F,則F隨⑦2變化的圖象是下圖中的（）V2BV2B?大于《2gD.等于2R第四章專題：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)

題.（多選）半徑為R的圓桶固定在小車(chē)上，有一光滑小球靜止在圓桶的最低點(diǎn)，如圖所示，小車(chē)以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車(chē)遇到障礙物突然停止時(shí)，小球在圓桶中上升的高度可能是（）V2A.等于廠2g例題1、解析：設(shè)角速度為饑時(shí)，物塊所受靜摩擦力為最大靜摩擦力，有?mg二m/2「得偵*祟外故繩未拉緊，此時(shí)靜摩擦力未達(dá)到最大值，F(xiàn)得偵*祟外故繩未拉緊，此時(shí)靜摩擦力未達(dá)到最大值，F(xiàn)1=0.⑵由于氣二\y~2T>%故繩被拉緊，由F2+?mg=m嚀1得F2=2?mg.【鞏固訓(xùn)練】1解析：(1)當(dāng)物塊B所需向心力九瓦時(shí)，細(xì)線上張力為零，隨著角速度的增大，當(dāng)F=f時(shí)，有kmg二m/2匚，得kg 0.4x10 40氣二匚頑二^=3.6(rad/s).當(dāng)rn<rnQ=3.6rad/s時(shí)，細(xì)線上不會(huì)有張力.當(dāng)A、B所受靜摩擦力均達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，圓盤(pán)的角速度達(dá)到最大值刃皿，超過(guò)氣時(shí)，A、B將相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng).(設(shè)細(xì)線中張力為FAB.) '對(duì)A有kmg-FAB次m?r1，解得刃m對(duì)B有kmg+F=m^m-r2解得刃m2kg ，2x0.4x10r1+r^ 0.20+0.30=4'0(rad/s)'燒斷細(xì)線時(shí)，A做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力FA=m^2r1=3.2m，最大靜摩擦力為4m，A物體隨盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng).B此時(shí)所需向心力為FB=m/2[=4.8m，大于它的最大靜摩擦力4m，因此B物體將沿一條曲線運(yùn)動(dòng)，離圓心越來(lái)越遠(yuǎn).例題2、解析:如圖甲所示，小球在錐面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)支持力Fn=0時(shí)，小球只受重力mg和線的拉力Ft的作用，其合力F應(yīng)沿水平面指向軸線，由幾何關(guān)系知TOC\o"1-5"\h\zF二mgtan30° ①\o"CurrentDocument"V2 V2⑴因?yàn)関1<v0,所以小球與錐面接觸并產(chǎn)生支持力Fn，mv⑴因?yàn)関1<v0,所以小球與錐面接觸并產(chǎn)生支持力Fn，mv2 1—lsin30°此時(shí)小球受力如圖乙所示.根據(jù)③牛頓第二定律有FTsin30°-FNcos30°=④mg~1.03mgFTcos30°+FNsin30④mg~1.03mg1+3、.;'3由③④兩式解得F= 廠T 6⑵因?yàn)関2>v。，所以小球與錐面脫離并不接觸，設(shè)此時(shí)線與豎直方向的夾角為a，小球mv2 _受力如圖丙所示.則FTsina=j—"a ⑤Fcosa-mg=0 ⑥由⑤⑥兩式解得FT=2mg【鞏固訓(xùn)練】2.【解析】(1) ■.轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)、外軌對(duì)車(chē)輪沒(méi)有側(cè)向壓力時(shí)，火車(chē)的受力情.Li

V2況如圖所示.由牛頓第二定律得mgtanO=mr因?yàn)?彳艮小，有tan%sin9=j得v=W半代入數(shù)據(jù)得v=15m/s=54km/h.（2）有效措施有：①適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h;②適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r.例題3、解析（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件為重力剛好提供最高點(diǎn)時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即mg二mf，解得V。二寸頁(yè)二寸10m/s. 洛蘆弋.一TOC\o"1-5"\h\z_. V2 \⑵因?yàn)関i>vo，故繩中有張力.根據(jù)牛頓第二定律有FT+mg=m[， \代入數(shù)據(jù)得繩中張力Ft=3N. X--\-（3）因?yàn)関2<vo，故繩中無(wú)張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖 ‘_ 1中實(shí)線所示，有L2=（y-L）2+x2，x=v2t，y^gt2，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解 ..一二…:得t=0.6s.【鞏固訓(xùn)練】3解析：⑴設(shè)圓弧半徑為R，由幾何關(guān)系得R2=[-12+（R-h）2......（2分）12）解得R=】3h（1分）小汽車(chē)通過(guò)橋頂時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，豎直方向受重力mg，支持力N的作用，V2根據(jù)牛頓第二定律，有mg―N=m—......（2分）R,,8mg,,8mg解得N=~Tf（1