單因素試驗的方差分析

會計學1單因素試驗的方差分析

在工農業(yè)生產和科研活動中，我們經常遇到這樣的問題：影響產品產量、質量的因素很多，例如影響農作物的單位面積產量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結果進行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結果的一種方法。引言第1頁/共25頁基本概念試驗指標——試驗結果。可控因素——在影響試驗結果的眾多因素中，可人為控制的因素。水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗——如果在一項試驗中只有一個因素改變，其它的可控因素不變，則該類試驗稱為單因素試驗。第2頁/共25頁引例例1

（燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下：

燈泡壽命燈絲12345678甲1600161016501680170017201800乙15801640164017001750丙14601550160016201640174016601820丁151015201530157016801600第3頁/共25頁燈泡的使用壽命——試驗指標

燈絲的配料方案——試驗因素（唯一的一個）四種配料方案（甲乙丙丁）——四個水平

因此，本例是一個四水平的單因素試驗。引例用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結為檢驗假設H0：1=2=3=4是否成立

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我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素A的不同水平對試驗指標是否有影響。

設A表示欲考察的因素，它的個不同水平，對應的指標視作個總體每個水平下,我們作若干次重復試驗：（可等重復也可不等重復），同一水平的個結果，就是這個總體的一個樣本：

單因素試驗的方差分析因此，相互獨立，且與同分布。第5頁/共25頁單因素試驗資料表其中諸可以不一樣，水平重復1...ni（水平組內平均值）（總平均值）試驗結果第6頁/共25頁

縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復123例：五個水稻品種單位產量的觀測值——P165第7頁/共25頁

由于同一水平下重復試驗的個體差異是隨機誤差，所以設：其中為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計模型

單因素試驗的方差分析的數(shù)學模型具有方差齊性。相互獨立，從而各子樣也相互獨立。首先，我們作如下假設：即第8頁/共25頁令（其中）稱為一般平均值。稱為因素A的第個水平的效應。則線性統(tǒng)計模型變成于是檢驗假設：等價于檢驗假設：顯然有：整個試驗的均值第9頁/共25頁考察統(tǒng)計量經恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0

成立，則SSA

較小。若H0成立，則總離差平方和見書P168其中第10頁/共25頁組內平方和誤差平方和這里反映的是重復試驗種隨機誤差的大小。表示水平Ai的隨機誤差；表示整個試驗的隨機誤差第11頁/共25頁若假設成立，則由P106定理5.1可推得：將的自由度分別記作則（記，稱作均方和）（各子樣同分布）第12頁/共25頁則（記，稱作均方和）對給定的檢驗水平，由得H0的拒絕域為：F單側檢驗

結論：方差分析實質上是假設檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進行假設檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。思考：為什么此處只做單側檢驗？第13頁/共25頁（1）若，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標記；約定（2）若，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標記；（3）若，則稱因素A有一定影響，作標記（）；（4）若，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。注意：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定：第14頁/共25頁單因素試驗方差分析表方差來源組間組內總和平方和自由度均方和F值F值臨介值簡便計算公式：其中同一水平下觀測值之和所以觀測值之和第15頁/共25頁

例2P1952以A、B、C三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重514043482325262328解：第16頁/共25頁解：第17頁/共25頁不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源組間組內總和平方和自由度均方和F值F值臨介值第18頁/共25頁例2的上機實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列；第19頁/共25頁各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked)第20頁/共2