充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量

會(huì)計(jì)學(xué)1充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量

為了推斷總體分布的未知參數(shù)，需要把樣本中關(guān)于未知參數(shù)的信息“提煉“出來(lái)，即構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量——樣本的函數(shù)f(X1,X2,…,Xn)

例

為研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測(cè)試，觀測(cè)其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測(cè)結(jié)果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次打靶上。

第二種信息對(duì)了解該運(yùn)動(dòng)員的命中率是沒(méi)有什么幫助的。第1頁(yè)/共27頁(yè)

一般地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行n次觀測(cè)，得到x1,x2,…,xn，每個(gè)xj

取值非0即1，命中1，不命中為0。

令T=x1+…+xn

，T為觀測(cè)到的命中次數(shù)。在這種場(chǎng)合僅僅記錄使用T不會(huì)丟失任何與命中率有關(guān)的信息。

顯然，一個(gè)“好”的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該能夠?qū)颖局兴年P(guān)于未知參數(shù)的信息全部提煉出來(lái)，而不沒(méi)有任何有用信息損失，這就是英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher于1922年提出的一個(gè)重要的概念-----充分統(tǒng)計(jì)量。第2頁(yè)/共27頁(yè)

樣本X1,X2,…,Xn有一個(gè)樣本分布F(x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。統(tǒng)計(jì)量T=T(X1,X2,…,Xn)也有一個(gè)抽樣分布FT(t)。

當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量T代替原始樣本并且不損失任何有關(guān)的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布FT(t)像F(x)一樣概括了有關(guān)的一切信息。

這即是說(shuō)在統(tǒng)計(jì)量T的取值為t的情況下樣本x的條件分布F(x|T=t)已不含的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。第3頁(yè)/共27頁(yè)第4頁(yè)/共27頁(yè)第5頁(yè)/共27頁(yè)第6頁(yè)/共27頁(yè)第7頁(yè)/共27頁(yè)二、

因子分解定理

根據(jù)充分統(tǒng)計(jì)量的含義，在對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行推斷時(shí)，應(yīng)在可能的情況下盡量找出關(guān)于未知參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。

但從定義出發(fā)來(lái)判別一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否是充分統(tǒng)計(jì)量是很麻煩的。

為此，需要一個(gè)簡(jiǎn)單的判別準(zhǔn)則。下面給出一個(gè)定理——因子分解定理，運(yùn)用這個(gè)定理，判別甚至尋找一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量有時(shí)會(huì)很方便。第8頁(yè)/共27頁(yè)第9頁(yè)/共27頁(yè)第10頁(yè)/共27頁(yè)例1.4根據(jù)因子分解定理證明例1.3。

證明樣本的聯(lián)合分布律為

若取

則有

第11頁(yè)/共27頁(yè)若取

則第12頁(yè)/共27頁(yè)第13頁(yè)/共27頁(yè)第14頁(yè)/共27頁(yè)三、完備統(tǒng)計(jì)量

為了介紹完備統(tǒng)計(jì)量的概念，首先需要引入完備分布函數(shù)族的概念。

第15頁(yè)/共27頁(yè)

完備統(tǒng)計(jì)量的含義不如充分統(tǒng)計(jì)量那么明確，但由定義可見(jiàn)它有如下特征：

第16頁(yè)/共27頁(yè)但反之不成立，

第17頁(yè)/共27頁(yè)第18頁(yè)/共27頁(yè)第19頁(yè)/共27頁(yè)

如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量既是充分的，又是完備的，則稱為充分完備統(tǒng)計(jì)量。在尋求總體分布中未知參數(shù)的優(yōu)良估計(jì)中，充分完備統(tǒng)計(jì)量扮演著重要的角色。

第20頁(yè)/共27頁(yè)四、指數(shù)型