D最大值與最小值極值的應(yīng)用問(wèn)題

會(huì)計(jì)學(xué)1D最大值與最小值極值的應(yīng)用問(wèn)題注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如

為極大點(diǎn),

是極大值

是極小值

為極小點(diǎn),

第1頁(yè)/共44頁(yè)特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.

(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)第2頁(yè)/共44頁(yè)例1求函數(shù)上[-2,2]的最值.在[-2,2]上最大值f(-2)=f(2)=11,駐點(diǎn)為x1=-1,x2=0,x3=1令解:由對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f(-1)=2,f(0)=3,f(1)=2端點(diǎn)的函數(shù)值為f(-2)=f(2)=11,最小值f(-1)=f(1)=2.第3頁(yè)/共44頁(yè)(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:第4頁(yè)/共44頁(yè)例2將長(zhǎng)度等于l的鐵絲分成兩端,一段圍成正方形,另一端圍成圓形.問(wèn):兩端鐵絲各為多長(zhǎng)時(shí),正方形面積與圓形面積之和最小?當(dāng)x=(πl(wèi))/(4+π)時(shí),兩者面積之和為令解:由取x

長(zhǎng)圍成圓,其半徑為,面積,解得>0,惟一的極小即最小.余下長(zhǎng)度為l–x

,圍成正方形,其面積為極小,其面積為最小第5頁(yè)/共44頁(yè)例3設(shè)某商品價(jià)格P(q)

=9/2-3q/2萬(wàn)元/單位,q為需求量.生產(chǎn)總成本為C(q)=1

+q3/2萬(wàn)元, 問(wèn)生產(chǎn)多少商品可以獲得最大利潤(rùn)?解: 利潤(rùn)＝總收益－總成本,令極大點(diǎn)q=1,生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品可獲最大利潤(rùn)1萬(wàn)元.

總收益＝產(chǎn)量（生產(chǎn)量）＊價(jià)格設(shè)產(chǎn)量為q時(shí)的利潤(rùn)為L(zhǎng)(q)第6頁(yè)/共44頁(yè)例4.

做一容積為V的圓形罐頭筒, 怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最省?解:

欲材料最省,則罐頭的總表面積最小.筒底圓半徑為r,高為h,側(cè)面積:底面積:體積:令得總表面積:為極小值也是最小值.S在點(diǎn)

這時(shí)相應(yīng)的高為第7頁(yè)/共44頁(yè)例2.求邊長(zhǎng)為a的鐵皮剪去四角折成

一無(wú)蓋方盒.如何作才使體積最大解:

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x,則盒底邊長(zhǎng)為a-2x.因四角小正方形只能在(0,a/2)

內(nèi)取值.故小正方形邊長(zhǎng)為a/6處體積最大.令,得第8頁(yè)/共44頁(yè)例6甲城乙城相距為a,轎車從甲開(kāi)往乙.若車每小時(shí)燃油費(fèi)用與車速的立方成正比,固定費(fèi)用96元/小時(shí).知車速100公里/小時(shí),油費(fèi)為60元/小時(shí),問(wèn)車速為何值可使整個(gè)行程總費(fèi)用最小?解:設(shè)車速x(km/h),燃油+固定費(fèi)用=Kx3+96(元/h)車每小時(shí)總費(fèi)用

=6×10-5

x3+96元車全程用了a/x

小時(shí)全程總費(fèi)用L(x)=(6×10-5

x3+96)×a/x

元求導(dǎo)L’(x)=a(12×10-5

x–96/x2)=0車速每小時(shí)93公里全程總費(fèi)用最省.第9頁(yè)/共44頁(yè)作業(yè)4.5閱讀P106－109

P1091單,2,3

思考題思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在有最小值，但第10頁(yè)/共44頁(yè)點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？例2第11頁(yè)/共44頁(yè)(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)解:第12頁(yè)/共44頁(yè)某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月

元，租出去的房子有

套，每月總收入為例3第13頁(yè)/共44頁(yè)（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為例3續(xù)第14頁(yè)/共44頁(yè)點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例4第15頁(yè)/共44頁(yè)如圖,例4解第16頁(yè)/共44頁(yè)解得例4解續(xù)第17頁(yè)/共44頁(yè)庫(kù)存費(fèi)用:P24例2.某廠每年供應(yīng)市場(chǎng)某型號(hào)車床a臺(tái),分若干批生產(chǎn),解:總費(fèi)用:每年生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為:庫(kù)存量為每年生產(chǎn)批數(shù)為:設(shè)批量為x,庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為P(x).每批次的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元.產(chǎn)品均勻投放市場(chǎng),且上一批費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用完后立即生產(chǎn)下一批,即平均庫(kù)存為批量的一半.設(shè)每年每臺(tái)庫(kù)存費(fèi)為為c元.顯然,生產(chǎn)批量大則庫(kù)存費(fèi)高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)高.問(wèn)如何生產(chǎn)使一年中庫(kù)存費(fèi)的和最小.第18頁(yè)/共44頁(yè)P(yáng)170例4解:又因一年中庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和最小的最優(yōu)批量應(yīng)為:故舍去.每批生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí),P(x)最小?量x的函數(shù)關(guān)系為一年中庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和P(x)與每批產(chǎn)c為每臺(tái)產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi),在不考慮生產(chǎn)能力的條件下a為年產(chǎn)量,b為每批次的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi),第19頁(yè)/共44頁(yè)(k

為某一常數(shù))例5.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條

已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:

設(shè)則令得

又所以為唯一的極小點(diǎn),故

AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問(wèn)Km,公路,

第20頁(yè)/共44頁(yè)例6.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.第21頁(yè)/共44頁(yè)因此也可通過(guò)例6.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.第22頁(yè)/共44頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣

(Th.3)第23頁(yè)/共44頁(yè)最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.P60第24頁(yè)/共44頁(yè)2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.第25頁(yè)/共44頁(yè)3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A第26頁(yè)/共44頁(yè)作業(yè)四P168-171閱讀P195

9(4),(8),(10),(12);P19620,23;26;29.

第27頁(yè)/共44頁(yè)作業(yè)問(wèn)題第28頁(yè)/共44頁(yè)35求下列曲線的漸近線：解:第29頁(yè)/共44頁(yè)36作下列函數(shù)的圖形：解:第30頁(yè)/共44頁(yè)36作下列函數(shù)的圖形：解:第31頁(yè)/共44頁(yè)例4設(shè)某商品每斤成本為C元,需求函數(shù)為

q=a/(x-C)+b(100-x),其中a,b為正常數(shù).

問(wèn)x

等于何值時(shí)可以獲得最大利潤(rùn)?解:售出一斤可獲利x–C元,總利潤(rùn)為令L’(x)=0得惟一駐點(diǎn)x0=50+C/2故L(50+C/2)=a+b(50-C/2)2為最大值.第32頁(yè)/共44頁(yè)44設(shè)某商品需求量Q對(duì)價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為

Q=f(P)=1600(1/4)P求需求Q對(duì)于價(jià)格P的彈性函數(shù)解:46設(shè)某商品的供給函數(shù)Q=2+3P,求供給彈性函數(shù)及P=3時(shí)的供給彈性.解:第33頁(yè)/共44頁(yè)47某商品的需求函數(shù)為Q=Q(P)=75-P2(1)求P=4時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；

(2)求P=4時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；

(3)當(dāng)P=4時(shí)，若價(jià)格P上漲1％,總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？(4)當(dāng)P=6時(shí)，若價(jià)格P上漲1％,總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？(5)P為多少時(shí)，總收益最大？解:第34頁(yè)/共44頁(yè)47解：第35頁(yè)/共44頁(yè)47解：第36頁(yè)/共44頁(yè)47解：第37頁(yè)/共44頁(yè)B9函數(shù)在x=x0處取得極大值則必有[]解:第38頁(yè)/共44頁(yè)B10

是函數(shù)f(x)在x=x0處有極小值的一個(gè)[]解:第39頁(yè)/共44頁(yè)B11函數(shù)在定義域內(nèi)[]解:第40頁(yè)/共44頁(yè)B11函數(shù)