D凹凸性與曲率

會計學(xué)1D凹凸性與曲率定理.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢第1頁/共24頁例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,第2頁/共24頁例2.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸第3頁/共24頁對應(yīng)例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得3)列表判別故該曲線在及上是凹的,是凸的,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸第4頁/共24頁三、曲率及其計算公式在光滑弧上自點M

開始取弧段,其長為對應(yīng)切線定義弧段上的平均曲率點

M

處的曲率注意:

直線上任意點處的曲率為0!轉(zhuǎn)角為第5頁/共24頁例4.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第6頁/共24頁有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由第7頁/共24頁說明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則第8頁/共24頁例5.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點擊圖片任意處播放\暫停說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個端點且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.第9頁/共24頁例5.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,求此緩和曲線在其兩個端點解:顯然第10頁/共24頁例6.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小求駐點:第11頁/共24頁設(shè)從而

K

取最大值.這說明橢圓在點處曲率計算駐點處的函數(shù)值:最大.K

最大最小第12頁/共24頁四、曲率圓與曲率半徑設(shè)M

為曲線C

上任一點,在點在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點M

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點D

使第13頁/共24頁設(shè)曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標公式.第14頁/共24頁滿足方程組由此可得曲率中心公式(注意與異號)當(dāng)點M(x,y)沿曲線移動時,的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點擊圖中任意點動畫開始或暫停第15頁/共24頁例7.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過才不會產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.例3第16頁/共24頁內(nèi)容小結(jié)1.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點曲線在I

上是凹的曲線在I

上是凸的第17頁/共24頁2.弧長微分或3.曲率公式4.曲率圓曲率半徑曲率中心第18頁/共24頁

.1.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;

;第五節(jié)思考與練習(xí)第19頁/共24頁2.曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答:

有公切線;凹向一致;曲率相同.3.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則利用第20頁/共24頁有位于一直線的三個拐點.1.求