MBA運籌學基礎(chǔ)講義

運籌學北京理工大學管理與經(jīng)濟學院吳祈宗教授1

1、緒論

2、線性規(guī)劃

3、運輸問題

4、動態(tài)規(guī)劃

5、圖與網(wǎng)絡(luò)分析

6、排隊論

7、教學日歷運籌學——目錄說明本教學課件是與教材緊密配合使用的，教材為：《運籌學》楊民助編著西安交通大學出版社，2000年6月參考書：《運籌學》清華大學出版社或其他的《運籌學》方面本科教材的相關(guān)內(nèi)容下面所標注的頁號，均為本課程教材的頁號。例如：p123表示第123頁p31-34表示從第31頁到第34頁2緒論

運籌學（OperationalResearch)直譯為“運作研究”運籌學是運用科學的方法（如分析、試驗、量化等）來決定如何最佳地運營和設(shè)計各種系統(tǒng)的一門學科。運籌學對經(jīng)濟管理系統(tǒng)中的人力、物力、財力等資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理。

運籌學有廣泛應(yīng)用（可以自己找一些參考書看）運籌學的產(chǎn)生和發(fā)展（可以自己找一些參考書看）3運籌學解決問題的過程1）提出問題：認清問題2）尋求可行方案：建模、求解3）確定評估目標及方案的標準或方法、途徑4）評估各個方案：解的檢驗、靈敏性分析等5）選擇最優(yōu)方案：決策6）方案實施：回到實踐中7）后評估：考察問題是否得到完滿解決1）2）3）：形成問題；4）5）分析問題：定性分析與定量分析。構(gòu)成決策。4運籌學的分支線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃多目標規(guī)劃隨機規(guī)劃模糊規(guī)劃等圖與網(wǎng)絡(luò)理論存儲論排隊論決策論對策論排序與統(tǒng)籌方法可靠性理論等5運籌學在工商管理中的應(yīng)用生產(chǎn)計劃：生產(chǎn)作業(yè)的計劃、日程表的編排、合理下料、配料問題、物料管理等庫存管理：多種物資庫存量的管理，庫存方式、庫存量等運輸問題：確定最小成本的運輸線路、物資的調(diào)撥、運輸工具的調(diào)度以及建廠地址的選擇等人事管理：對人員的需求和使用的預(yù)測，確定人員編制、人員合理分配，建立人才評價體系等市場營銷：廣告預(yù)算、媒介選擇、定價、產(chǎn)品開發(fā)與銷售計劃制定等財務(wù)和會計：預(yù)測、貸款、成本分析、定價、證券管理、現(xiàn)金管理等***設(shè)備維修、更新，項目選擇、評價，工程優(yōu)化設(shè)計與管理等6運籌學方法使用情況(美1983)（%）7運籌學方法在中國使用情況(隨機抽樣)（%）8運籌學的推廣應(yīng)用前景據(jù)美勞工局1992年統(tǒng)計預(yù)測:

運籌學應(yīng)用分析人員需求從1990年到2005年的增長百分比預(yù)測為73%,增長速度排到各項職業(yè)的前三位.結(jié)論:運籌學在國內(nèi)或國外的推廣前景是非常廣闊的工商企業(yè)對運籌學應(yīng)用和需求是很大的在工商企業(yè)推廣運籌學方面有大量的工作要做9學習運籌學要把重點放在分析、理解有關(guān)的概念、思路上。在自學過程中，應(yīng)該多向自己提問，如一個方法的實質(zhì)是什么，為什么這樣做，怎么做等。自學時要掌握三個重要環(huán)節(jié)：1、認真閱讀教材和參考資料，以指定教材為主，同時參考其他有關(guān)書籍。一般每一本運籌學教材都有自己的特點，但是基本原理、概念都是一致的。注意主從，參考資料會幫助你開闊思路，使學習深入。但是，把時間過多放在參考資料上，會導致思路分散，不利于學好。2、要在理解了基本概念和理論的基礎(chǔ)上研究例題，注意例題是為了幫助你理解概念、理論的。作業(yè)練習的主要作用也是這樣，它同時還有讓你自己檢查自己學習的作用。因此，做題要有信心，要獨立完成，不要怕出錯。因為，整個課程是一個整體，各節(jié)內(nèi)容有內(nèi)在聯(lián)系，只要學到一定程度，知識融會貫通起來，你做題的正確性自己就有判斷。3、要學會做學習小結(jié)。每一節(jié)或一章學完后，必須學會用精煉的語言來該書所學內(nèi)容。這樣，你才能夠從較高的角度來看問題，更深刻的理解有關(guān)知識和內(nèi)容。這就稱作“把書讀薄”，若能夠結(jié)合自己參考大量文獻后的深入理解，把相關(guān)知識從更深入、廣泛的角度進行論述，則稱之為“把書讀厚”在建數(shù)學模型時要結(jié)合實際應(yīng)用，要學會用計算機軟件解決問題。如何學習運籌學課程返回目錄10各章節(jié)節(jié)的重重點、、難點點及及注意意事項項111、線線性性規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)規(guī)劃模模型：：目標函函數(shù)：：Maxz=50x1+100x2約束條條件：：s.t.x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1,x2≥0**看看p7--9例例1-1，1-2例1.某工廠廠在計計劃期期內(nèi)要要安排排甲、、乙兩兩種產(chǎn)產(chǎn)品的的生產(chǎn)產(chǎn)，已已知生生產(chǎn)單單位產(chǎn)產(chǎn)品所所需的的設(shè)備備臺時時及A、B兩種種原材材料的的消耗耗以及及資源源的限限制，，如下下表：：問題：：工廠廠應(yīng)分分別生生產(chǎn)多多少單單位甲甲、乙乙產(chǎn)品品才能能使工工廠獲獲利最最多？？121、線線性性規(guī)規(guī)劃劃（（續(xù)續(xù)1.1））1.1線線性規(guī)規(guī)劃的的概念念線性規(guī)規(guī)劃的的組成成：目標函函數(shù)Maxf或或Minf約束條條件s.t.(subjectto)滿滿足足于決策變變量用用符符號來來表示示可控控制的的因素素一般形形式(p10--p11)目標函函數(shù)：：Max（（Min））z=c1x1+c2x2+……+cnxn約束條條件：：s.t.a11x1+a12x2+……+a1nxn≤（（=,≥≥））b1a21x1+a22x2+……+a2nxn≤（（=,≥≥））b2…………………am1x1+am2x2+……+amnxn≤（（=,≥≥））bmx1，x2，……，，xn≥0標準準形形式式(p11--p15，，例例1-3)目標標函函數(shù)數(shù)：：Maxz=c1x1+c2x2+……+cnxn約束束條條件件：：s.t.a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1a21x1+a22x2+……+a2nxn=b2…………………a

x1，x2，…，xn≥0**練習：p68--70習題11-1，1-2131、、線線性性規(guī)規(guī)劃劃（（續(xù)續(xù)1.2））1.2線線性性規(guī)規(guī)劃劃問問題題解解的的概概念念及及性性質(zhì)質(zhì)熟悉悉下下列列一一些些解解的的概概念念（（p15--16））可行行解解、、可可行行解解集集（（可可行行域域）），，最最優(yōu)優(yōu)解解、、最最優(yōu)優(yōu)值值，，基基、、基基變變量量、、非非基基變變量量，，基基本本解解、、基基本本可可行行解解，，可可行行基基、、最最優(yōu)優(yōu)基基。。圖解解方方法法及及各各有有關(guān)關(guān)概概念念的的意意義義（（p16--20））看：：圖圖解解法法步步驟驟，，例例1-4，，1-5，，1-6，，1-7，，1-8，，1-9下一一頁頁是是一一個個圖圖解解法法解解題題的的一一個個例例子子，，右右圖圖中中的的陰陰影影部部分分為為可可行行域域。。單純純形形法法的的理理論論基基礎(chǔ)礎(chǔ)（（p20--30））1.2.3段段要要求求看看懂懂，，了了解解如如何何直直接接通通過過對對約約束束矩矩陣陣的的分分析析求求出出基基本本可可行行解解1.2.4,1.2.5兩兩段應(yīng)注重重結(jié)論的了了解，如單單純形法思思想和關(guān)于于線性規(guī)劃劃解的四個個定理，而對對證明過程程則可根據(jù)據(jù)自己的數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)來來掌握：基礎(chǔ)很好，，可要求掌掌握；否則則，也可略略去不看。。**習題：：p70習習題11-3，1-4141、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.2））例1.目標函數(shù)：：Maxz=50x1+100x2約束條件：：s.t.x1+x2≤300(A)2x1+x2≤400(B)x2≤250(C)x1≥0(D)x2≥0(E)得到最優(yōu)解解：x1=50，，x2=250最優(yōu)目標值值z=27500151、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））1.3單單純形形法利用單純形形表的方法法求解線性性規(guī)劃———重點(p30--451.3.1,1.3.2,1.3.3)此項內(nèi)容是是本章的重重點，學習習中應(yīng)注意意掌握表格格單純形法法求解線性性規(guī)劃問題題的基本過過程。要通通過讀懂教教材內(nèi)容以以及大量練練習來掌握握。161、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））表格單純形形法(p40--p45)考慮：bi>0i=1,……,mMaxz=c1x1+c2x2+…+cnxns.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn≤bmx1，x2，…，xn≥0加入松弛變變量：Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxns.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn+xn+2=b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn+xn+m=bmx1，x2，…，xn，xn+1，…，xn+m≥017顯然，xj=0j=1,……,n;xn+i=bii=1,……,m是基本可行行解對應(yīng)的基是是單位矩陣陣。以下是初始始單純形表表：mm其中：f=-∑cn+ibij=cj-∑cn+iaij為檢驗數(shù)cn+i=0i=1,…,mi=1i=1an+i,i=1,an+i,j=0(j≠i)i,j=1,……,m1、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））181、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3單單純形法解解題例）例1。化標標準形式：：Maxz=50x1+100x2s.t.x1+x2+x3=3002x1+x2+x4=400x2+x5=250x1,x2,x3,x4,x5≥0最優(yōu)解x1=50x2=250x4=50（松弛標標量，表示示原料A有有50個單單位的剩余余）19注意：單純純形法中，，1、每一步步運算只能能用矩陣初初等行變換換；2、表中第第3列的數(shù)數(shù)總應(yīng)保持持非負（≥≥0）；；3、當所有有檢驗數(shù)均均非正（≤≤0）時時，得到最最優(yōu)單純形形表。1、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））201、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））一般情況的的處理及注注意事項的的強調(diào)（p45--55）1.3.4段主要是是討論初始始基本可行行解不明顯顯時，常用用的方法。。要弄清它它的原理，，并通過例例1-14~例例1-17掌握這些些方法，同同時進一步步熟悉用單單純形法解解題?？紤]一般問問題：bi>0i=1,……,mMaxz=c1x1+c2x2+…+cnxns.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmx1，x2，…，xn≥0211、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））大M法：引入人工變變量xn+i≥0i=1,……,m;充充分大大正數(shù)M。得得到，，Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn+Mxn+1+…+Mxn+ms.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn+xn+2=b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn+xn+m=bmx1，x2，…，xn，xn+1，…，xn+m≥0顯然，xj=0j=1,…,n;xn+i=bii=1,…,m是基本可行行解對應(yīng)的基是是單位矩陣陣。結(jié)論：若得得到的最優(yōu)優(yōu)解滿足xn+i=0i=1,……,m則是原問題題的最優(yōu)解解；否則，，原問題無無可行解。。221、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））兩階段法：：引入人工變變量xn+i≥0，i=1,……,m；構(gòu)造，，Maxz=-xn+1-xn+2-…-xn+ms.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn+xn+2=b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn+xn+m=bmx1，x2，…，xn，xn+1，…，xn+m≥0第一階段求求解上述問問題：顯然，xj=0j=1,…,n;xn+i=bii=1,…,m是基本可行行解對應(yīng)的基是是單位矩陣陣。結(jié)論：若得得到的最優(yōu)優(yōu)解滿足xn+i=0i=1,……,m則是原問題題的基本可可行解；否否則，原問問題無可行行解。得到原問題題的基本可可行解后，，第二階段段求解原問問題。231、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））例題例：（LP）Maxz=5x1+2x2+3x3-x4s.t.x1+2x2+3x3=152x1+x2+5x3=20x1+2x2+4x3+x4=26x1,x2,x3,x4≥0大M法問題題（LP-M））Maxz=5x1+2x2+3x3-x4-Mx5-Mx6s.t.x1+2x2+3x3+x5=152x1+x2+5x3+x6=20x1+2x2+4x3+x4=26x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0兩階段法：：第一階階段問題（（LP-1）Maxz=-x5-x6s.t.x1+2x2+3x3+x5=152x1+x2+5x3+x6=20x1+2x2+4x3+x4=26x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0241、線性性規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3））大M法例例大M法（LP-M）得到最優(yōu)解解：(25/3，10/3，，0，11)T最優(yōu)優(yōu)目目標標值值：：112/3251、、線線性性規(guī)規(guī)劃劃（（續(xù)續(xù)1.3））兩兩階階段段法法例例第一一階階段段（LP-1））得到到原原問問題題的的基基本本可可行行解解：：(0，，15/7，，25/7，，52/7)T261、、線線性性規(guī)規(guī)劃劃（（續(xù)續(xù)1.3））兩兩階階段段法法例例第二二階階段段把基基本本可可行行解解填填入入表表中中得到到原原問問題題的的最最優(yōu)優(yōu)解解：：(25/3，，10/3，，0，，11)T最優(yōu)目標標值：112/3271、線線性規(guī)規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.3）1.3.5矩矩陣陣描述———此此段為選選讀，有有困難者者可不看看。1.3.6段段單單純形迭迭代過程程中的幾幾點注意意事項是是對有關(guān)關(guān)內(nèi)容的的強調(diào)和和補充，，要認真真學習、、理解。。**習題題：p70--71習習題題11-5，1-6281.4線線性規(guī)規(guī)劃應(yīng)用用——建建模（（p55--68）本節(jié)介紹紹了些線線性規(guī)劃劃應(yīng)用的的例子，，這些例例子從多多個方面面介紹建建模對未未來是很很有用的的，應(yīng)認認真對待待。除了教材材上的例例子之外外，還有有許多其其它應(yīng)用用：*合理理利用線線材問題題：如何何下料使使用材最最少*配料料問題：：在原料料供應(yīng)量量的限制制下如何何獲取最最大利潤潤*投資資問題：：從投資資項目中中選取方方案，使使投資回回報最大大*產(chǎn)品品生產(chǎn)計計劃：合合理利用用人力、、物力、、財力等等，使獲獲利最大大*勞動動力安排排：用最最少的勞勞動力來來滿足工工作的需需要*運輸輸問題：：如何制制定調(diào)運運方案，，使總運運費最小小**下面面是一些些建模的的例子，，有興趣趣者，可可作為練練習。這這些例子子有一定定的難度度，做起起來會有有一些困困難。**習題題：p72--73習習題題11-7，1-8，，1-9，1-101、線線性規(guī)規(guī)劃劃（續(xù)續(xù)1.4）返回目錄錄29例．某晝晝夜服務(wù)務(wù)的公交交線路每每天各時時間段內(nèi)內(nèi)所需司司機和乘乘務(wù)人員員數(shù)如下下：設(shè)司機和和乘務(wù)人人員分別別在各時時間段一一開始時時上班，，并連續(xù)續(xù)工作八八小時，，問該公公交線路路怎樣安安排司機機和乘務(wù)務(wù)人員，，既能滿滿足工作作需要，，又配備備最少司司機和乘乘務(wù)人員員?例：人力力資源分分配的問問題30解：設(shè)xi表示第i班次時時開始上上班的司司機和乘乘務(wù)人員員數(shù),這這樣我們們建立如如下的數(shù)數(shù)學模型型。目標函數(shù)數(shù)：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6約束條件件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0例：人力力資源分分配的問問題（續(xù)續(xù)）31例、明明興公司生生產(chǎn)甲、乙乙、丙三種種產(chǎn)品，都都需要經(jīng)過過鑄造、機機加工和裝裝配三個車車間。甲、、乙兩種產(chǎn)產(chǎn)品的鑄件件可以外包包協(xié)作，亦亦可以自行行生產(chǎn)，但但產(chǎn)品丙必必須本廠鑄鑄造才能保保證質(zhì)量。。數(shù)據(jù)如下下表。問：：公司為了了獲得最大大利潤，甲甲、乙、丙丙三種產(chǎn)品品各生產(chǎn)多多少件？甲甲、乙兩種種產(chǎn)品的鑄鑄造中，由由本公司鑄鑄造和由外外包協(xié)作各各應(yīng)多少件件？例：生產(chǎn)計計劃的問題題32解：設(shè)x1,x2,x3分別為三道道工序都由由本公司加加工的甲、、乙、丙三三種產(chǎn)品的的件數(shù)，x4,x5分別為由外外協(xié)鑄造再再由本公司司機加工和和裝配的甲甲、乙兩種種產(chǎn)品的件件數(shù)。求xi的利潤：利利潤=售售價-各成本本之和可得到xi（i=1,2,3,4,5））的利潤分分別為15、10、、7、13、9元。。這樣我們建建立如下的的數(shù)學模型型。目標函數(shù)：：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5約束條件：：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0例：生產(chǎn)計計劃的問題題（續(xù)）33例、永久久機械廠生生產(chǎn)Ⅰ、ⅡⅡ、Ⅲ三種種產(chǎn)品，均均要經(jīng)過A、B兩兩道工序加加工。假設(shè)設(shè)有兩種規(guī)規(guī)格的設(shè)備備A1、A2能完成A工序；；有三種規(guī)規(guī)格的設(shè)備備B1、B2、B3能完成B工序。。Ⅰ可在A、B的任任何規(guī)格的的設(shè)備上加加工；Ⅱ可可在任意意規(guī)格的A設(shè)備上加加工，但對對B工序，，只能在B1設(shè)備上加工工；Ⅲ只能能在A2與B2設(shè)備上加工工；數(shù)據(jù)如如下表。問問：為使該該廠獲得最最大利潤，，應(yīng)如何制制定產(chǎn)品加加工方案？？例：生產(chǎn)計計劃的問題題（續(xù)）34解：設(shè)xijk表示第i種產(chǎn)品品，在第j種工工序上的第第k種種設(shè)備上加加工的數(shù)量量。利潤=[（銷售售單價-原料單單價）*產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)數(shù)]之和-（每每臺時的設(shè)設(shè)備費用*設(shè)備實際際使用的總總臺時數(shù)））之和。這樣我們建建立如下的的數(shù)學模型型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t.5x111+10x211≤6000（（設(shè)設(shè)備A1）7x112+9x212+12x312≤10000（（設(shè)設(shè)備A2）6x121+8x221≤4000（（設(shè)設(shè)備B1）4x122+11x322≤7000（（設(shè)設(shè)備B2）7x123≤4000（（設(shè)設(shè)備B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（（Ⅰ產(chǎn)品在在A、B工工序加工的的數(shù)量相等等）x211+x212-x221=0（（Ⅱ產(chǎn)品在在A、B工工序加工的的數(shù)量相等等）x312-x322=0（（Ⅲ產(chǎn)品在在A、B工工序加工的的數(shù)量相等等）xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3例：生產(chǎn)計計劃的問題題（續(xù)）35例、某工廠廠要做100套鋼架架，每套用用長為2.9m,2.1m,1.5m的的圓鋼各一一根。已知知原料每根根長7.4m，問問：應(yīng)如何何下料，可可使所用原原料最?。?？解：設(shè)設(shè)計下列5種下下料方案假設(shè)x1,x2,x3,x4,x5分別為上面面前5種種方案下下料的原材材料根數(shù)。。這樣我們們建立如下下的數(shù)學模模型。目標函數(shù)：：Minx1+x2+x3+x4+x5約束條件：：s.t.x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0例：套裁裁下料問問題36例6．某某工廠要要用三種種原料1、2、、3混合合調(diào)配出出三種不不同規(guī)格格的產(chǎn)品品甲、乙乙、丙，，數(shù)據(jù)如如下表。。問：該該廠應(yīng)如如何安排排生產(chǎn)，，使利潤潤收入為為最大？？例：配料料問題37例：配料料問題（（續(xù)）解：設(shè)設(shè)xij表示第i種種（甲、、乙、丙丙）產(chǎn)品品中原料料j的的含量量。這樣樣我們建建立數(shù)學學模型時時，要考考慮：對于甲：：x11，x12，x13；對于乙：：x21，x22，x23；對于丙：：x31，x32，x33；對于原料料1：x11，x21，x31；對于原料料2：x12，x22，x32；對于原料料3：x13，x23，x33；目標函數(shù)數(shù)：利利潤最大大，利潤潤=收收入-原原料支出出約束條件件：規(guī)規(guī)格要求求4個個；供應(yīng)量限限制3個。。38Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（（原材材料1不不少于50%））-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（（原材材料2不不超過25%））0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（（原材材料1不不少于25%））-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（（原材材料2不不超過50%））x11+x21+x31≤100(供供應(yīng)量限限制）x12+x22+x32≤100(供供應(yīng)量限限制）x13+x23+x33≤60(供供應(yīng)量限限制）xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3例：配料料問題（（續(xù)）39例8．某某部門現(xiàn)現(xiàn)有資金金200萬元，，今后五五年內(nèi)考考慮給以以下的項項目投資資。已知知：項目A：從從第一年年到第五五年每年年年初都都可投資資，當年年末能收收回本利利110%；項項目B：：從第一年到第第四年每每年年初初都可投投資，次次年末能能收回本本利125%，，但規(guī)定定每年最最大投資資額不能超過過30萬萬元；項項目C：：需在第第三年年年初投資資，第五五年末能能收回本本利140%，，但規(guī)定最大投投資額不不能超過過80萬萬元；項項目D：：需在第第二年年年初投資資，第五五年末能能收回本本利155%，但但規(guī)定最最大投資資額不能能超過100萬萬元；據(jù)測定每每萬元每每次投資資的風險險指數(shù)如如右表：：問：a）應(yīng)如如何確定定這些項項目的每每年投資資額，使使得第五五年年末末擁有資資金的本本利金額額為最大大？b）應(yīng)如如何確定定這些項項目的每每年投資資額，使使得第五五年年末末擁有資資金的本本利在330萬萬元的基基礎(chǔ)上使使得其投投資總的的風險系系數(shù)為最最??？解：1））確定決策策變量：：連續(xù)投投資問題題設(shè)xij(i=1-5，j=1、2、3、、4)表表示第i年年初投資資于A(j=1)、B(j=2)、、C(j=3)、D(j=4)項目目的金額額。這樣樣我們建建立如下下的決策策變量：：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24例：投資資問題402）約束束條件：：第一年：：A當年年末可收收回投資資，故第第一年年年初應(yīng)把把全部資資金投出出去，于于是x11+x12=200；第二年：：B次當當年末才才可收回回投資故故第二年年年初的的資金為為x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：：年初的的資金為為x21+x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：：年初的的資金為為x31+x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：：年初的的資金為為x41+x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；B、C、、D的投投資限制制：xi2≤30(I=1、2、3、、4)，x33≤80，x24≤1003）目標標函數(shù)及及模型：：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi2≤30(I=1、2、3、4)，x33≤80，，x24≤100x

b)Minf=(x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11；

x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；

x41+x42=1.1x31+1.25x22；

x51=1.1x41+1.25x32；

xi2≤30(I=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330

xij≥0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）例：投資問問題（續(xù)））412、線性規(guī)規(guī)劃問題的的進一步研研究（2.1）2.1對對偶原原理1、對偶問問題：考慮前文例例1若設(shè)備和原原料都用于于外協(xié)加工工，工廠收收取加工費費。試問：：設(shè)備工時時和原料A、B各各如何收費費才最有競競爭力？設(shè)y1，y2，y3分別為每設(shè)設(shè)備工時、、原料A、、B每單位位的收取費費用Maxz=50x1+100x2Minf=300y1+400y2+250y3s.t.x1+x2≤300s.t.y1+2y2+≥502x1+x2≤400（不少于甲甲產(chǎn)品的利利潤）x2≤250y1+y2+y3≥100x1,x2≥0y1,y2,y3≥0422、對偶定定義對稱形式：：互互為對對偶(LP)Maxz=cTx(DP)Minf=bTys.t.Ax≤bs.t.ATy≥cx≥0y≥≥0“Max--≤≤”““Min--≥”一般形式：：若一個問題題的某約束束為等式，，那么對應(yīng)應(yīng)的對偶問問題的相應(yīng)應(yīng)變量無非非負限制；；反之，若若一個問問題的某變變量無非負負限制，那那么對應(yīng)的的對偶問題題的相應(yīng)約約束為等式式。2、線性433、對偶定定理（原原問題與對對偶問題解解的關(guān)系））考慮（LP）和（DP）定理2-1（弱對對偶定理））若x,y分分別為（LP）和（（DP）的的可行解，，那么cTx≤bTy。推論論若若（（LP））可可行行，，那那么么（（LP））無無有有限限最最優(yōu)優(yōu)解解的的充充分分必必要要條條件件是是（（LD））無無可可行行解解。。定理理2-2（（最最優(yōu)優(yōu)性性準準則則定定理理））若若x,y分分別別為為（（LP））和和（（DP））的的可可行行解解，，且且cTx=bTy，，那那么么x,y分分別別為為（（LP））和和（（DP））的的最最優(yōu)優(yōu)解解。。定理理2-3（（主主對對偶偶定定理理））若若（（LP））和和（（DP））均均可可行行，，那那么么（（LP））和和（（DP））均均有有最最優(yōu)優(yōu)解解，，且且最最優(yōu)優(yōu)值值相相等等。。以上上定定理理、、推推論論對對任任意意形形式式的的相相應(yīng)應(yīng)線線性性規(guī)規(guī)劃劃的的對對偶偶均均有有效效**習習題題：：p99習習題題22-12、、線線性性規(guī)規(guī)444、、影影子子價價格格———是是一一個個向向量量，，它它的的分分量量表表示示最最優(yōu)優(yōu)目目標標值值隨隨相相應(yīng)應(yīng)資資源源數(shù)數(shù)量量變變化化的的變變化化率率。。若x*,y*分別別為為（（LP））和和（（DP））的的最最優(yōu)優(yōu)解解，，那么么，，cTx*=bTy*。根據(jù)據(jù)f=bTy*=b1y1*+b2y2*++bmym*可知知f/bi=yi*yi*表示示bi變化化1個個單單位位對對目目標標f產(chǎn)產(chǎn)生生的的影影響響，，稱稱yi*為bi的影影子子價價格格。。注意：若若B是是最優(yōu)優(yōu)基，y*=(BT)-1cB為影子價價格向量量。2、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.1））455、由最最優(yōu)單純純形表求求對偶問問題最優(yōu)優(yōu)解第1章例例1?；瘶藴市涡问剑篗axz=50x1+100x2s.t.x1+x2+x3=300，，2x1+x2+x4=400x2+x5=250，，x1,x2,x3,x4,x5≥0IOB=(p1,p4,p2)(BT)-1cBB-1最優(yōu)解x1=50x2=250x4=50（松松弛標量量，表示示原料A有50個單位位的剩余余）影子價格格y1=50y2=0y3=50,B-1對應(yīng)的檢檢驗數(shù)(BT)-1cB。2、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.1））462.2對偶偶單純形形法對偶單純純形法在在什么情情況下使使用：：應(yīng)用前提提：有一一個基，，其對應(yīng)應(yīng)的基本本解滿足足①單純純形表的的檢驗數(shù)數(shù)行全部部非正（（對偶可可行）；；②變量量取值可可有負數(shù)數(shù)（非可可行解））。**注：：通過矩矩陣行變變換運算算，使所所有相應(yīng)應(yīng)變量取取值均為為非負數(shù)數(shù)即得到到最優(yōu)單單純性表表。2、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.2））472、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.2））對偶單純純形法求求解線性性規(guī)劃問問題過程程：1、建立立初始對對偶單純純形表，，對應(yīng)一一個基本本解，所所有檢驗驗數(shù)均非非正，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2；2、若b’’≥0，，則得到到最優(yōu)解解，停止止；否則則，若有有bk<0則則選k行行的基變變量為出出基變量量，轉(zhuǎn)3；3、若所所有akj’≥0(j=1,2,…,n)，，則原問問題無可可行解，，停止；；否則，，若有akj’<0則則選=min{j’/akj’┃akj’<0}=r’/akr’那么r為為進基變變量，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)4；4、以akr’為轉(zhuǎn)軸軸元，作作矩陣行行變換使使其變?yōu)闉?，，該列其其他元變變?yōu)?，轉(zhuǎn)2。48例：求解線性性規(guī)劃問問題：Minf=2x1+3x2+4x3S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4x1,x2,x3≥0標準準化化：：MaxZ=-2x1-3x2-4x3S.t.-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥02、、線線性性規(guī)規(guī)劃劃問問題題的的進進一一步步研研究究（（2.2））49表格格對對偶偶單單純純形形法法**習習題題：：p100習習題題22-2，，2-32、、線線性性規(guī)規(guī)劃劃問問題題的的進進一一步步研研究究（（2.2））502.3靈靈敏敏度度分分析析進一一步步理理解解最最優(yōu)優(yōu)單單純純形形表表中中各各元元素素的的含含義義考慮慮問問題題Maxz=c1x1+c2x2+……+cnxns.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2………………am1x1+am2x2+…+amnxn≤bmx1，x2，…，xn≥0引入m個個松弛變變量后，通通過計算得得到最優(yōu)單單純形表。。應(yīng)-1-1能夠找到最最優(yōu)基B的逆矩陣陣B，，以及BN，檢驗數(shù)數(shù)等。2、線性規(guī)規(guī)劃問題的的進一步研研究（2.3）512、線性規(guī)規(guī)劃問題的的進一步研研究（2.3）最優(yōu)單純形形表B-1(BT)-1cBIO52價值系數(shù)C發(fā)生變化化：m考慮慮檢檢驗驗數(shù)數(shù)j=cj-∑∑criarijj=1,2,…………,ni=11、、若若ck是非非基基變變量量的的系系數(shù)數(shù)：：設(shè)ck變化化為為ck+ckk’=ck+ck-∑∑criarik=k+ck只要要k’≤0，，即即ck≤-k，，則最最優(yōu)優(yōu)解解不不變變；；否否則則，，將將最最優(yōu)優(yōu)單單純純形形表表中中的的檢檢驗驗數(shù)數(shù)k用k’取代代，，繼繼續(xù)續(xù)單單純純形形法法的的表表格格計計算算。例:MaxZ=-2x1-3x2-4x3S.t.-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥02、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））53例：最最優(yōu)單單純形形表從表中中看到到σσ3=C3+ΔC3-（（C2*a13+C1*a23）可得到到ΔΔC3≤9/5時時，原原最優(yōu)優(yōu)解不不變。。2、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））542、若若cs是基變變量的的系數(shù)數(shù)：設(shè)設(shè)cs變化為為cs+cs，那么么j’=cj-∑criarij-(cs+cs)asj=j-csasj，對所有有非基變變量i≠s只要對所所有非基基變量j’≤0，，即j≤csasj，則最優(yōu)解解不變；；否則，，將最優(yōu)優(yōu)單純形形表中的的檢驗數(shù)數(shù)j用j’取代，繼繼續(xù)單純純形法的的表格計計算。Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}例:MaxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5S.t.x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=12x1,x2,x3,x4,x5≥02、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.3））55例、下下表為為最優(yōu)優(yōu)單純純形表表，考考慮基基變量量系數(shù)數(shù)c2發(fā)生變變化從表中中看到到σσj=Cj-（（C1*a1j+C5*a5j+（（C2+ΔC2）*a2j）j=3、、4可得到到-3≤≤ΔΔC2≤1時時，原原最優(yōu)優(yōu)解不不變。。2、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））56右端項項b發(fā)發(fā)生變變化設(shè)分量量br變化為為br+br，根據(jù)據(jù)第1章的的討論論，最最優(yōu)解解的基基變量量xB=B-1b，那那么只只要保保持B-1(b+b)≥≥0，，則最最優(yōu)基基不變變，即即基變變量保保持，，只有有值的的變化化；否否則，，需要要利用用對偶偶單純純形法法繼續(xù)續(xù)計算算。對于問問題(LP)Maxz=cTxs.t.Ax≤≤bx≥≥0最優(yōu)單單純形形表中中含有有B-1=（（aij）i=1,……,m;j=n+1,……,n+m那么，，新的的xi=(B-1b)i+brairi=1,……,m。。由此此可得得，最最優(yōu)基基不變變的條條件是是Max{-bi/airair>0}≤br≤Min{-bi/airair<0}2、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））57例、上上例最最優(yōu)單單純形形表如如下00.250這里B-1=-20.51各各列列分別別對應(yīng)應(yīng)b1、b2、b3的單一一0.5-0.1250變化。。因此此，設(shè)設(shè)b1增加4，，則x1,x5,x2分別變變?yōu)椋海?+0*4=4，4+(-2)*4=-4<0，，2+0.5*4=4用對偶偶單純純形法法進一一步求求解，，可得得：x*=(4,3,2,0,0)Tf*=172、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））58增加一一個變變量增加變變量xn+1則有相相應(yīng)的的pn+1，cn+1。那么么，計計算出出B-1pn+1n+1=cn+1-∑criarin+1填入最最優(yōu)單單純形形表，，若n+1≤0則最優(yōu)優(yōu)解不不變；；否則則，進進一步步用單單純形形法求求解。。例、前前例增增加x6，p6=(2,6,3)T，c6=5。。計算算得到到2、線線性規(guī)規(guī)劃問問題的的進一一步研研究（（2.3））用單純純形法法進一一步求求解，，可得得：x*=(1,1.5,0,0,0,2)Tf*=16.559增加加一一個個約約束束增加加約約束束一一個個之之后后，，應(yīng)應(yīng)把把最最優(yōu)優(yōu)解解帶帶入入新新的的約約束束，，若若滿滿足足則則最最優(yōu)優(yōu)解解不不變變，，否否則則填填入入最最優(yōu)優(yōu)單單純純形形表表作作為為新新的的一一行行，，引引入入1個個新新的的非非負負變變量量（（原原約約束束若若是是小小于于等等于于形形式式可可引引入入非非負負松松弛弛變變量量，，否否則則引引入入非非負負人人工工變變量量）），，并并通通過過矩矩陣陣行行變變換換把把對對應(yīng)應(yīng)基基變變量量的的元元素素變變?yōu)闉?，，進進一一步步用用單單純純形形法法或或?qū)ε寂紗螁渭兗冃涡畏ǚㄇ笄蠼饨?。。例、前例例增?x1+2x2≤15，，原最優(yōu)優(yōu)解不滿滿足這個個約束。。于是2、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.3））60A中元素素發(fā)生變變化（只討論論N中中某一一列變化化情況））與增加變變量xn+1的情況類類似，假假設(shè)pj變化。。那么，，重新計計算出B-1pjj=cj-∑criarij填入最優(yōu)優(yōu)單純形形表，若若j≤0則最優(yōu)解解不變；；否則，，進一步步用單純純形法求求解。2、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.3））可得最優(yōu)優(yōu)解：x*=(3.2,0.8,0,0,2.4)Tf*=15.2612、線性性規(guī)劃問問題的進進一步研研究（2.32.3靈敏敏度分析析(內(nèi)容，，為重點點)2.3.1Ci發(fā)生變化化2.3.2Bj發(fā)生變化化2.3.3增增加加一個變變量2.3.4增增加加一個約約束2.3.5A中中元素發(fā)發(fā)生變化化**習題題：p100習習題22-4返回目錄錄623.1運運輸問題題模型與與性質(zhì)運輸模型型例、某公司從從兩個產(chǎn)產(chǎn)地A1、A2將物品運運往三個個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地地的產(chǎn)量量、各銷銷地的銷銷量和各各產(chǎn)地運運往個銷銷地每件件物品的的運費如如下表所所示，問問：應(yīng)如如何調(diào)運運可使總總運輸費費用最小?。?、運輸輸問問題（（3.1）63解：產(chǎn)銷平衡衡問題：：總產(chǎn)產(chǎn)量=總銷銷量設(shè)xij為從產(chǎn)地地Ai運往銷地地Bj的運輸量量，得到到下列運運輸量表表：Minf=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200x21+x22+x23=300x11+x21=150x12+x22=150x13+x23=200xij≥0(i=1、、2；j=1、2、3））3、運輸輸問問題（（3.1）64系數(shù)矩陣陣111000000111100100010010001001特點：1、共有有m+n行，分分別表示示產(chǎn)地和和銷地；；mn列列分別表表示各變變量；2、每列列只有兩兩個1，其余余為0，分別別表示只只有一個個產(chǎn)地和和一個銷銷地被使使用；3、運輸輸問問題（（3.1）65設(shè)xij為從產(chǎn)地地Ai運往銷地地Bj的運輸量量，得到到下列一一般運輸輸量問題題的模型型：mnMinf=cijxiji=1j=ins.t.xij=sii=1,2,…,mj=1mxij=djj=1,2,…,ni=1xij≥0(i=1,2,……,m;j=1,2,…,n)一般運輸輸模型：：產(chǎn)銷平衡衡A1、A2、…、Am表示某物物資的m個產(chǎn)地地；B1、B2、…、Bn表示某物物質(zhì)的n個銷地地；si表示產(chǎn)地地Ai的產(chǎn)量；；dj表示銷地地Bj的銷量；；cij表示把物物資為從從產(chǎn)地Ai運往銷地地Bj的單位運運價。3、運輸輸問問題（（3.1續(xù)）663、運輸輸問問題（（3.1續(xù)）變化：1）有時時目標函函數(shù)求最最大，如如求利潤潤最大或或營業(yè)額額最大等等；2）當某某些運輸輸線路上上的能力力有限制制時，模模型中可可直接加加入（等等式或不不等式））約束；；3）產(chǎn)銷銷不平衡衡時，可可加入虛虛設(shè)的產(chǎn)產(chǎn)地（產(chǎn)產(chǎn)大于銷銷時）或或銷地（（銷大于于產(chǎn)時））。673、運輸輸問問題（（3.1續(xù)）求解思路路是基本可行行解最優(yōu)否結(jié)束否換基運輸問題題基變量量的特點點*運運輸問題題的基變變量共有有m+n-1個，，A的秩秩為m+n-1。*運運輸問題題的m+n-1個個變量構(gòu)構(gòu)成基變變量的充充分必要要條件是是不含閉閉回路。。要弄清下下列概念念：閉閉回路、、閉回路路的頂點點。683.2運輸輸問題的的表上作作業(yè)法——本本章重點點1、初始始基本可可行解的的確定：：（1）西西北角法法：從西北角角（左上上角）格格開始，，在格內(nèi)內(nèi)的右下下角標上上允許取得得的最大數(shù)數(shù)。然后后按行（（列）標標下一格格的數(shù)。。若某行行（列））的產(chǎn)量量（銷量量）已滿滿足，則則把該行行（列））的其他他格劃去去。如此此進行下下去，直直至得到到一個基基本可行行解。（2）最最小元素素法：從運價最最小的格格開始，，在格內(nèi)內(nèi)的右下下角標上上允許取得得的最大數(shù)數(shù)。然后后按運價價從小到到大順序序填數(shù)。。若某行行（列））的產(chǎn)量量（銷量量）已滿滿足，則則把該行行（列））的其他他格劃去去。如此此進行下下去，直直至得到到一個基基本可行行解。注：應(yīng)用西北北角法和和最小元元素法，，每次填填完數(shù)，，都只劃劃去一行行或一列列，只有有最后一一個元例例外（同同時劃去去一行和和一列））。當填填上一個個數(shù)后行行、列同同時飽和和時，也也應(yīng)任意意劃去一一行（列列）在保保留的列列（行））任意沒沒被劃去去的格內(nèi)內(nèi)標一個個0。3、運輸輸問問題（（3.2）69*3、運輸輸問問題（（3.2）70*3、運輸輸問問題（（3.2）712、最優(yōu)優(yōu)性檢驗驗：因為求最最小，當當所有檢檢驗數(shù)均均大于等等于0時時為最優(yōu)優(yōu)解（1）位位勢法求求檢驗數(shù)數(shù)：位勢：設(shè)對應(yīng)基基變量xij的m+n-1個個ij，存存在ui,vj滿足ui+vj=cij，i=1,…,m;j=1,…,n.稱稱這些些ui,vj為該基本本可行解解對應(yīng)的的位勢。。由于有m+n個個變量量（ui,vj），m+n-1個個方程（（基變量量個數(shù)）），故有有一個自自由變量量，位勢勢不唯一一。利用位勢勢求檢驗驗數(shù)：ij=cij-ui-vji=1,……,m;j=1,…,n3、運輸輸問問題（（3.2）72前例，位位勢法求求檢驗數(shù)數(shù)：step1從任意基基變量對對應(yīng)的cij開始，任任取ui或vj，然后利用用公式cij=ui+vj依次找出m+n個ui,vj；從c14=10開開始step2計算非基變變量的檢驗驗數(shù)ij=cij-ui-vj；填入圓圈內(nèi)內(nèi)3、運輸輸問題題（3.2）733、主元變變換：（1）選負負檢驗數(shù)中中最小者rk，那么xrk為主元，作作為進基變變量；（上頁圖中中x24）（2）以為為xrk起點找一條條閉回路，，除xrk外其余頂點點必須為基基變量格；；（上頁圖中中藍色回回路）（3）為閉閉回路的每每一個頂點點標號，xrk為1，沿沿一個方向向依次給各各頂點標號號；（4）求=min{xijxij對應(yīng)閉回路路上的偶數(shù)數(shù)標號格}=xpq那么確定xpq為出基變量量，為調(diào)整量；；（5）對閉閉回路的各各奇標號頂頂點xij+，對各偶標標號頂點xij-，特別xpq-=0，變?yōu)榉腔兞浚?、運輸輸問題題（3.2）重復2、3步，直到到所有檢驗驗數(shù)均非負負，得到最最優(yōu)解。74主元變換：：由前面得到到=1，于是3、運輸輸問題題（3.2）ij≥0，得得到最優(yōu)解解x13=5,x14=2,x21=3,x24=1,x32=6,x34=3,其其余xij=0;最優(yōu)費用：：f*=3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3=85**習題：：p123習習題33-1,3-2753.3產(chǎn)產(chǎn)銷不平平衡的運輸輸問題1、產(chǎn)量大大于銷量例例、某公司從兩兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往往三個銷地地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的的產(chǎn)量、各各銷地的銷銷量和各產(chǎn)產(chǎn)地運往個個銷地每件件物品的運運費如下表表所示，問問：應(yīng)如何何調(diào)運可使使總運輸費費用最??？？解：增加一個個虛設(shè)的銷銷地運輸費費用為03、運輸輸問題題（3.3）762、銷量大大于產(chǎn)量例、某公司從兩兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往往三個銷地地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的的產(chǎn)量、各各銷地的銷銷量和各產(chǎn)產(chǎn)地運往個個銷地每件件物品的運運費如下表表所示，問問：應(yīng)如何何調(diào)運可使使總運輸費費用最??？？解：增加一個個虛設(shè)的產(chǎn)產(chǎn)地運輸費費用為03、運輸輸問題題（3.3）77下面給出一一些例題，，可作為建建模的練習習：例、石家莊北方方研究院有有一、二、、三，三個個區(qū)。每年年分別需要要用煤3000、1000、、2000噸，由河河北臨城、、山西盂縣縣兩處煤礦礦負責供應(yīng)應(yīng)，價格、、質(zhì)量相同同。供應(yīng)能能力分別為為1500、4000噸，運運價如下表表。由于需需大于供，，經(jīng)院研究究決定一區(qū)區(qū)供應(yīng)量可可減少0--200噸，二區(qū)區(qū)必須滿足足需求量，，三區(qū)供應(yīng)應(yīng)量不少于于1700噸，試求求總費用為為最低的調(diào)調(diào)運方案。。3、運輸輸問題題（例題））78解：根據(jù)題意，，作出產(chǎn)銷銷平衡與運運價表：取M代代表一個很很大的正數(shù)數(shù)，其作用用是強迫相相應(yīng)的x31、x33、x34取值為0。。3、運輸輸問題題（例題））79例、設(shè)有A、B、C三個個化肥廠供供應(yīng)1、2、3、4四個地區(qū)區(qū)的農(nóng)用化化肥。假設(shè)設(shè)效果相同