高中數(shù)學(xué) 2.2.1平面向量基本定理 新人教B必修4

平面向量基本定理.當(dāng)時(shí)，與同向，且是的倍;當(dāng)時(shí)，與反向，且是的倍;當(dāng)時(shí)，，且.⑴向量共線充要條件學(xué)情回顧:.⑵向量的加法：OBCAOAB平行四邊形法則三角形法則共起點(diǎn)首尾相接..問(wèn)題情境1.火箭飛行

火箭在飛行過(guò)程中的某一時(shí)刻,助推器分離時(shí)前進(jìn)的合速度可以分解為幾個(gè)速度.從這個(gè)例子當(dāng)中，我們看到一個(gè)速度可以用兩個(gè)不共線方向的速度來(lái)表示.2.力的合成與分解實(shí)驗(yàn)

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平面內(nèi)給定兩個(gè)不共線的向量,對(duì)于平面內(nèi)的任一向量,是否都可以用這兩個(gè)向量表示?二、課內(nèi)探究(1)平面內(nèi)的任一向量可用兩個(gè)不共線的向量表示.(2)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量的和總可以表示一個(gè)向量.結(jié)論:.

設(shè),是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,

是這一平面內(nèi)的任一向量,問(wèn)能否用,來(lái)表示?.則有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)NMcoAB在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,作過(guò)點(diǎn)C作平行于OB的直線,交直線OA于M過(guò)點(diǎn)C作平行于OA的直線,交直線OB于N

因?yàn)槭沟么嬖谛?存在性證明要點(diǎn)：2.根據(jù)平行向量基本定理轉(zhuǎn)化，得結(jié)論。1.作平行線，構(gòu)造.a1e1+a2e2=xe1+ye2,(x－a1)e1+(y－a2)e2=0(唯一性)唯一性證明要點(diǎn)：反證法推矛盾。.平面向量基本定理一向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任

如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不a=+

示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。我們把不共線的向量、叫做表.（1）一組平面向量的基底有多少對(duì)？（有無(wú)數(shù)對(duì)）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE.思考(2)若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)、是否相同？（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE.特別的，若a=0，則有且只有：

可使0=+.==0？若與中只有一個(gè)為零，情況會(huì)是怎樣？特別的，若a與（）共線，則有

=0（=0），使得:a=+.平面向量基本定理可以看作是平行向量定理的拓展，平行向量基本定理可以看作是平面向量基本定理的特例。.定理的應(yīng)用例1如圖的對(duì)角線和交于點(diǎn)，試用基底表示和.ADCBM思考:解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是什么?.變式:在△ABC中點(diǎn)G是△ABC的重心，試用，表示．.例2.

已知A,B是l上任意兩點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，求證：對(duì)直線l上任一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使關(guān)于基底{}的分解式為.

根據(jù)平面向量基本定理，同一平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示，再由已知可得特殊地，令t=,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則

.共線向量