2023年全國數(shù)學(xué)中考試題尺規(guī)作圖

2023年全國數(shù)學(xué)中考試題尺規(guī)作圖一、選擇題1.〔2023,湖北宜昌，12，3分〕任意一條線段EF，其垂直平分線的尺規(guī)作圖痕跡如下列圖．假設(shè)連接EH、HF、FG，GE，那么以下結(jié)論中，不一定正確的是〔〕A．△EGH為等腰三角形B．△EGF為等邊三角形C．四邊形EGFH為菱形D．△EHF為等腰三角形【考點】作圖—根本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的定義、菱形的定義、等邊三角形的定義一一判斷即可．【解答】解：A、正確．∵EG=EH，∴△EGH是等邊三角形．B、錯誤．∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，假設(shè)△EFG是等邊三角形，那么EF=EG，顯然不可能．C、正確．∵EG=EH=HF=FG，∴四邊形EHFG是菱形．D、正確．∵EH=FH，∴△EFH是等邊三角形．應(yīng)選B．【點評】此題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、作圖﹣根本作圖、等腰三角形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活一一這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．2.(2023年浙江省麗水市)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個作圖中，作法錯誤的是〔〕A．B．C．D．【考點】作圖—復(fù)雜作圖．【分析】根據(jù)過直線外一點作直線的垂線作圖即可求解．【解答】解：A、根據(jù)垂徑定理作圖的方法可知，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，不符合題意；B、根據(jù)直徑所對的圓周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，不符合題意；C、根據(jù)相交兩圓的公共弦的性質(zhì)可知，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，不符合題意；D、無法證明CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，符合題意．應(yīng)選：D．二、填空題1.〔2023吉林長春，11，3分〕如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點B和點C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D；連結(jié)CD．假設(shè)AB=6，AC=4，那么△ACD的周長為10．【考點】作圖—根本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意可知直線MN是線段BC的垂直平分線，推出DC=DB，可以證明△ADC的周長=AC+AB，由此即可解決問題．【解答】解：由題意直線MN是線段BC的垂直平分線，∵點D在直線MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周長=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6，AC=4，∴△ACD的周長為10．故答案為10．【點評】此題考查根本作圖、線段垂直平分線性質(zhì)、三角形周長等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會轉(zhuǎn)化，把△ADC的周長轉(zhuǎn)化為求AC+AB來解決，屬于根底題，中考?？碱}型．2.〔2023·廣東深圳〕如圖，在□ABCD中，以點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交于點，再分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M，連接BM并延長交AD于點E，那么DE的長為_________.答案：.2考點：角平分線的作法，等角對等邊，平行四邊形的性質(zhì)。解析：依題意，可知，BE為角平分線，所以，∠ABE＝∠CBE，又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。三、解答題1.〔2023·湖北咸寧〕〔此題總分值12分〕如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為〔0，1〕，取一點B〔b，0〕，連接AB，作線段AB的垂直平分線l1，過點B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P.〔1〕當b=3時，在圖1中補全圖形〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡〕；〔2〕小慧屢次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點P竟然在一條曲線L上?、僭O(shè)點P的坐標為〔x，y〕，試求y與x之間的關(guān)系式，并指出曲線L是哪種曲線；②設(shè)點P到x軸，y軸的距離分別為d1，d2，求d1+d2的范圍.當d1+d2=8時，求點P的坐標；③將曲線L在直線y=2下方的局部沿直線y=2向上翻折，得到一條“W〞形狀的新曲線，假設(shè)直線y=kx+3與這條“W〞形狀的新曲線有4個交點，直接寫出k的取值范圍.圖1圖2【考點】二次函數(shù)，一次函數(shù)，尺規(guī)作圖，平面直角坐標系，勾股定理，一元二次方程，軸對稱——翻折，最值問題.【分析】〔1〕根據(jù)垂直平分線、垂線的尺規(guī)作圖方法畫圖即可，要標出字母；〔2〕①分x＞0和x≤0兩種情況討論：當x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，由勾股定理，可求出y與x之間的關(guān)系式；當x≤0時，點P〔x，y〕同樣滿足y=x2+，曲線L就是二次函數(shù)y=x2+的圖像，也就是說曲線L是一條拋物線.②首先用代數(shù)式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知當x=0時，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范圍是d1+d2≥；當d1+d2=8時，那么x2++｜x｜=8.將x從絕對值中開出來，故需分x≥0和x＜0兩種情況討論：當x≥0時，將原方程化為x2++x=8，解出x1，x2即可；當x＜0時，將原方程化為x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后將x=±3代入y=x2+，求得P的縱坐標，從而得出點P的坐標.③直接寫出k的取值范圍即可.【解答】解：〔1〕如圖1所示〔畫垂直平分線，垂線，標出字母各1分〕.……………..3分E圖1圖2〔2〕①當x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E.∵l1垂直平分AB∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1.由勾股定理，得(y-1)2+x2=y2.………5分整理得，y=x2+.當x≤0時，點P〔x，y〕同樣滿足y=x2+.……….6分∴曲線L就是二次函數(shù)y=x2+的圖像.即曲線L是一條拋物線.…………7分②由題意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.∴d1+d2=x2++｜x｜.當x=0時，d1+d2有最小值.∴d1+d2的范圍是d1+d2≥.………………8分當d1+d2=8時，那么x2++｜x｜=8.〔Ⅰ〕當x≥0時，原方程化為x2++x=8.解得x1=3，x2=-5〔舍去〕.〔Ⅱ〕當x＜0時，原方程化為x2+－x=8.解得x1=-3，x2=5〔舍去〕.將x=±3代入y=x2+，得y=5.…….9分∴點P的坐標為〔3，5〕或〔-3，5〕.…………….10分③k的取值范圍是：－＜k＜.…………….12分解答過程如下〔過程不需寫〕：把y=2代入y=x2+，得x1=－，x2=.∴直線y=2與拋物線y=x2+兩個交點的坐標為〔－，2〕和〔，2〕.當直線y=kx+3過點〔－，2〕時，可求得k=；當直線y=kx+3過點〔，2〕時，可求得k=－.故當直線y=kx+3與這條“W〞形狀的新曲線有4個交點時，k的取值范圍是：－＜k＜.……………….12分【點評】此題是壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)，尺規(guī)作圖，勾股定理，平面直角坐標系，一元二次方程，軸對稱——翻折，最值問題.讀懂題目、準確作圖、熟諳二次函數(shù)及其圖像是解題的關(guān)鍵.近幾年的中考，一些題型靈活、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸試題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角。解決壓軸題目的關(guān)鍵是找準切入點，如添輔助線構(gòu)造定理所需的圖形或根本圖形；緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論；深度挖掘題干，反復(fù)認真的審題，在題目中尋找多解的信息，等等.壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高，除了要熟知各類知識外，平時要多練，提高知識運用和轉(zhuǎn)化的能力。2.〔2023·四川廣安·8分〕在數(shù)學(xué)活動課上，老師要求學(xué)生在5×5的正方形ABCD網(wǎng)格中〔小正方形的邊長為1〕畫直角三角形，要求三個頂點都在格點上，而且三邊與AB或AD都不平行．畫四種圖形，并直接寫出其周長〔所畫圖象相似的只算一種〕．【考點】作圖—相似變換．【分析】在圖1中畫等腰直角三角形；在圖2、3、4中畫有一條直角邊為，另一條直角邊分別為3，4，2的直角三角形，然后計算出四個直角三角形的周長．【解答】解：如圖1，三角形的周長=2+；如圖2，三角形的周長=4+2；如圖3，三角形的周長=5+；如圖4，三角形的周長=3+．3.〔2023·四川達州·7分〕如圖，在?ABCD中，AD＞AB．〔1〕實踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接EF；〔要求：尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡，不寫作法〕〔2〕猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；作圖—根本作圖．【分析】〔1〕由角平分線的作法容易得出結(jié)果，在AD上截取AF=AB，連接EF；畫出圖形即可；〔2〕由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠AEB，證出BE=AB，由〔1〕得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出結(jié)論．【解答】解：〔1〕如下列圖：〔2〕四邊形ABEF是菱形；理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由〔1〕得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AF=AB，∴四邊形ABEF是菱形．4.〔2023·四川涼山州·8分〕如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A〔4，3〕、B〔4，1〕，把△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C．〔1〕畫出△A1B1C，直接寫出點A1、B1的坐標；〔2〕求在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABC所掃過的面積．【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；扇形面積的計算．【分析】〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心方向及角度找出點A、B的對應(yīng)點A1、B1的位置，然后順次連接即可，根據(jù)A、B的坐標建立坐標系，據(jù)此寫出點A1、B1的坐標；〔2〕利用勾股定理求出AC的長，根據(jù)△ABC掃過的面積等于扇形CAA1的面積與△ABC的面積和，然后列式進行計算即可．【解答】解：〔1〕所求作△A1B1C如下列圖：由A〔4，3〕、B〔4，1〕可建立如下列圖坐標系，那么點A1的坐標為〔﹣1，4〕，點B1的坐標為〔1，4〕；〔2〕∵AC===，∠ACA1=90°∴在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABC所掃過的面積為：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．5.〔2023湖北孝感，20，8分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．〔1〕請用直尺和圓規(guī)按以下步驟作圖，保存作圖痕跡：①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D；②過點D作AC的垂線，垂足為點E．〔2〕在〔1〕作出的圖形中，假設(shè)CB=4，CA=6，那么DE=．【考點】作圖—根本作圖．【分析】〔1〕以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交BC，AC兩點，再以這兩點為圓心，大于這兩點的線段的一半為半徑畫弧，過這兩弧的交點與C在直線交AB于D即可，根據(jù)過直線外一點作直線的垂線的方法可作出垂線即可；〔2〕根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)推出∠ECD=∠EDC，進而證得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推得結(jié)論．【解答】解：〔1〕如下列圖；〔2〕解：∵DC是∠ACB的平分線，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，設(shè)DE=CE=x，那么AE=6﹣x，∴=，解得：x=，即DE=，故答案為：．【點評】此題考查了角的平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根本作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉根本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的根本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成根本作圖，逐步操作．6.〔2023·廣東廣州〕如圖，利用尺規(guī)，在的邊上方做，在射線上截取，連接，并證明：〔尺規(guī)作圖要求保存作圖痕跡，不寫作法〕【難易】容易【考點】尺規(guī)作圖，平行線，平行四邊形【解析】利用“等圓中，等弧所對的圓心角相等〞可以完成等角的作圖再利用“內(nèi)錯角相等〞可判定兩直線平行，然后利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形〞完成平行四邊形的判定，最后利用平行四邊形的性質(zhì)進行平行的證明【參考答案】］證明；如圖AD,CD為所做因為,所以因為所以四邊形ABCD為平行四邊形所以7.〔2023·廣東梅州〕如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．四邊形ABEF是_______；〔選填矩形、菱形、正方形、無法確定〕〔直接填寫結(jié)果〕〔2〕AE，BF相交于點O，假設(shè)四邊形ABEF的周長為40，BF=10，那么AE的長為________，∠ABC=________°．〔直接填寫結(jié)果〕考點：角平分線的畫法，菱形的判定及其性質(zhì)，勾股定理。解析：〔1〕菱形〔2〕依題意，可知AE為角平分線，因為ABEF的周長為40，所以，AF＝10，又FO＝5，AO＝＝，所以，AE＝，，所以，∠ABO＝120°，∠ABC＝120°。8.〔2023年浙江省衢州市〕如圖，BD是矩形ABCD的對角線．〔1〕用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F〔保存作圖痕跡，不寫作法和證明〕．〔2〕連結(jié)BE，DF，問四邊形BEDF是什么四邊形？請說明理由．【考點】矩形的性質(zhì)；作圖—根本作圖．【分析】〔1〕分別以B、D為圓心，比BD的一半長為半徑畫弧，交于兩點，確定出垂直平分線即可；〔2〕連接BE，DF，四邊形BEDF為菱形，理由為：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BE=BF，再由BF=DF，等量代換得到四條邊相等，即可得證．【解答】解：〔1〕如下列圖，EF為所求直線；〔2〕四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四邊形BEDF為菱形．9．〔2023·四川巴中〕如圖，方格中，每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖．〔1〕畫出將△ABC向右平移2個單位得到△A1B1C1；〔2〕畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；〔3〕求△A1B1C1與△A2B2C2重合局部的面積．【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．【分析】〔1〕將△ABC向右平移2個單位即可得到△A1B1C1．〔2〕將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°即可得到的△A2B2C2．〔3〕B2C2與A1B1相交于點E，B2A2與A1B1相交于點F，如圖，求出直線A1B1，B2C2，A2B2，列出方程組求出點E、F坐標即可解決問題．【解答】解：〔1〕如圖，△A1B1C1為所作；〔2〕如圖，△A2B2C2為所作；〔3〕B2C2與A1B1相交于點E，B2A2與A1B1相交于點F，如圖，∵B2〔0，1〕，C2〔2，3〕，B1〔1，0〕，A1〔2，5〕，A2〔5，0〕，∴直線A1B1為y=5x﹣5，直線B2C2為y=x+1，直線A2B2為y=﹣x+1，由解得，∴點E〔，〕，由解得，∴點F〔，〕．∴S△BEF=×﹣?﹣?﹣?=．∴△A1B1C1與△A2B2C2重合局部的面積為．10．〔2023.山東省青島市,4分〕：線段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的內(nèi)部，CO=a，且⊙O與∠ACB的兩邊分別相切．【考點】作圖—復(fù)雜作圖．【分析】首先作出∠ACB的平分線CD，再截取CO=a得出圓心O，作OE⊥CA，由角平分線的性質(zhì)和切線的判定作出圓即可．【解答】解：①作∠ACB的平分線CD，②在CD上截取CO=a，③作OE⊥CA于E，以O(shè)我圓心，OE長為半徑作圓；如下列圖：⊙O即為所求．11．〔2023·江蘇無錫〕如圖，OA=2，以點A為圓心，1為半徑畫⊙A與OA的延長線交于點C，過點A畫OA的