上海昂立中學(xué)生教育(上南分校)2023年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

上海昂立中學(xué)生教育(上南分校)2023年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A2.從1，2，……，9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖給出的是計(jì)算1+++…+的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A.i≤2011

B.i>2011C.i≤1005

D.i>1005參考答案：A4.設(shè)在區(qū)間可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為，給出下列四組條件（

）①是奇函數(shù)，是偶函數(shù)②是以T為周期的函數(shù)，是以T為周期的函數(shù)③在區(qū)間上為增函數(shù)，在恒成立④在處取得極值，A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④參考答案：B5.命題“對(duì)任意的”的否定是

（

）

不存在存在存在對(duì)任意的參考答案：C6.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是的事件為（）A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的參考答案：C【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】盒中有10只螺絲釘，從盒中隨機(jī)地抽取4只的總數(shù)為：C104，其中有3只是壞的，則恰有1只壞的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只壞的取法數(shù)分別為：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺絲釘∴盒中隨機(jī)地抽取4只的總數(shù)為：C104=210，∵其中有3只是壞的，∴所可能出現(xiàn)的事件有：恰有1只壞的，恰有2只壞的，恰有3只壞的，4只全是好的，至多2只壞的取法數(shù)分別為：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只壞的概率分別為：=，恰有2只好的概率為=，4只全是好的概率為，至多2只壞的概率為=；故選C7.設(shè)F1(－4,0)、F2(4,0)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（

）A.橢圓

B.直線

C.圓

D.線段參考答案：D8.在等差數(shù)列中，（

）A.18

B.12

C.14

D.16參考答案：A考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式【方法點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想．9.已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3=S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）A．或5 B．或5 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用等比數(shù)列求和公式代入9s3=s6求得q，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得數(shù)列的前5項(xiàng)和．【解答】解：顯然q≠1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和．故選：C10.下列命題正確的是（

）A若，則

B若，則C若，則

D若，則參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.側(cè)棱與底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，則三棱錐B﹣AB1C1的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】先求出，AA1=2，由此能求出三棱錐B﹣AB1C1的體積．【解答】解：∵側(cè)棱與底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，∴==，AA1=2，∴三棱錐B﹣AB1C1的體積為：V==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求不地，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．12.觀察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為．參考答案：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…?（2n﹣1）【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】通過(guò)觀察給出的前三個(gè)等式的項(xiàng)數(shù)，開始值和結(jié)束值，即可歸納得到第n個(gè)等式．【解答】解：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，第二個(gè)等式的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個(gè)等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù)，由此可知第n個(gè)等式的右邊為2n?1?3?5…（2n﹣1）．所以第n個(gè)等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．故答案為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理，歸納推理是根據(jù)已有的事實(shí)，通過(guò)觀察、聯(lián)想、對(duì)比，再進(jìn)行歸納，類比，然后提出猜想的推理，是基礎(chǔ)題．13.根據(jù)如圖所示的程序框圖，若輸出的值為4，則輸入的值為______________.參考答案：－2或114.設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；③的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

其中正確的命題有

.ks5u參考答案：①②③15.數(shù)列{n3}的前n項(xiàng)和為Sn，觀察下列式子：S，S=（1+2）2，S3=13+23+33=（1+2+3）2，…，根據(jù)以上式子猜想數(shù)列{n3}前n項(xiàng)和公式Sn=

．參考答案：考點(diǎn)：歸納推理．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；推理和證明．分析：根據(jù)題意，分析題干所給的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，歸納等式兩邊的變化規(guī)律，進(jìn)而可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，分析題干所給的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，…歸納可得：13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2=[]2=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．16.若向量，，則

.參考答案：略17.已知一物體做變速運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度v與時(shí)間t的關(guān)系是v(t)=（速度單位為：米/秒），則此物體開始運(yùn)動(dòng)3秒的位移是____________米。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明PA∥平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO；（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF，即可；（3）必須說(shuō)明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大?。ǘ喝鐖D所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出，即可證明PA∥平面EDB；（2）證明EF⊥PB，，即可證明PB⊥平面EFD；（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大?。窘獯稹拷猓悍椒ㄒ唬海?）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC．①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．依題意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且．∴，這表明PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）證明；依題意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0），，則（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．從而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．由條件EF⊥PB知，，即，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力．19.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若不同的兩點(diǎn)，滿足：，試判定點(diǎn)是否在以線段為直徑的圈上？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）定義域?yàn)椋瑢?duì)于，當(dāng)時(shí)，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為，∴有極小值，無(wú)極大值.（Ⅱ）若，則，與條件不符，從而得，同理可得.從而得，由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合.從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形.20.（本小題滿分8分）求證：．參考答案：證明：由于，，故只需證明．…………2分只需證，即．………4分只需證．……………………6分因?yàn)轱@然成立，所以．……………………8分21.（13分）設(shè)a∈R，已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)g（x）=f（x）+f′（x），若?x∈[1，3]，有g(shù)（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）題目轉(zhuǎn)化為a≤=對(duì)x∈[1，3]恒成立．構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣6x，a=0時(shí)，f′（x）=﹣6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；a＞0時(shí)，f′（x）＞0，得x＞或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜；a＜0時(shí)，f′（x）＞0，得＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜或x＞0；綜上所述：a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，），