MBA統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)間序列

統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第十五章時(shí)間序列分析

橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩個(gè)方面來切入，以簡化分析過程。一個(gè)是研究所謂橫截面(crosssection)數(shù)據(jù)，也就是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無關(guān)的不同對(duì)象的觀測值組成的數(shù)據(jù)。橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)另一個(gè)稱為時(shí)間序列(timeseries)，也就是由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測值形成的數(shù)據(jù)。前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。

時(shí)間序列和回歸時(shí)間序列分析也是一種回歸?；貧w分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系的模型；并且可以用自變量來對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測。通常線性回歸分析因變量的觀測值假定是互相獨(dú)立并且有同樣分布。時(shí)間序列和回歸而時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是觀測值并不獨(dú)立。時(shí)間序列的一個(gè)目的是用變量過去的觀測值來預(yù)測同一變量的未來值。即時(shí)間序列的因變量為變量未來的可能值，而用來預(yù)測的自變量中就包含該變量的一系列歷史觀測值。當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量的獨(dú)立變量。例tssales.txt下面看一個(gè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)(tssales.txt)。我們希望能夠從這個(gè)數(shù)據(jù)找出一些規(guī)律，并且建立可以對(duì)未來的銷售額進(jìn)行預(yù)測的時(shí)間序列模型。從該表格中的眾多的數(shù)據(jù)只能夠看出個(gè)大概；即總的趨勢是增長，但有起伏。例tssales.txt利用點(diǎn)圖則可以得到對(duì)該數(shù)據(jù)更加直觀的印象：某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)圖（單位：百萬元）

例tssales.txt從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出?？偟内厔菔窃鲩L的，但增長并不是單調(diào)上升的；有漲有落。但這種升降不是雜亂無章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。當(dāng)然，除了增長的趨勢和季節(jié)影響之外，還有些無規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列列數(shù)據(jù)的的產(chǎn)生SPSS并不會(huì)自自動(dòng)把某某些變量量看成帶帶有某些些周期的的時(shí)間序序列；需需要對(duì)該該變量的的觀測值值附加上上時(shí)間因因素。例數(shù)據(jù)tasales.sav原本只有有一個(gè)變變量sales。這樣就就需要附附加帶有有周期信信息的時(shí)時(shí)間。方法是通通過選項(xiàng)項(xiàng)Data－DefineDates，然后在CasesAre選擇years,months(年月),并指定第第一個(gè)觀觀測值（（FirstCaseIs）是1990年1月。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列列數(shù)據(jù)的的點(diǎn)圖對(duì)時(shí)間序序列點(diǎn)圖圖可以選選擇Graphs－Sequence，對(duì)對(duì)本例選選擇sales為變量量，months為時(shí)時(shí)間軸的的標(biāo)記即即可。15.1時(shí)時(shí)間序列的組組成部分從該例可以看看出，該時(shí)間間序列可以有有三部分組成成：趨勢(trend)、季節(jié)(seasonal)成分和無法用用趨勢和季節(jié)節(jié)模式解釋的的隨機(jī)干擾(disturbance）。例中數(shù)據(jù)的銷銷售就就可以以用這三個(gè)成成分疊加而成成的模型來描描述。一般的時(shí)間序序列還可能有有循環(huán)或波動(dòng)動(dòng)(Cyclic,orfluctuations)成分；循環(huán)模模式和有規(guī)律律的季節(jié)模式式不同，周期期長短不一定定固定。比如如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周周期，金融危危機(jī)周期等等等。時(shí)間序列的組組成部分一個(gè)時(shí)間序列列可能有趨勢勢、季節(jié)、循循環(huán)這三個(gè)成成分中的某些些或全部再加加上隨機(jī)成分分。因此，如果要想對(duì)一一個(gè)時(shí)間序列列本身進(jìn)行較較深入的研究究，把序列的的這些成分分分解出來、或或者把它們過過慮掉則會(huì)有有很大的幫助助。時(shí)間序列的組組成部分如果要進(jìn)行預(yù)預(yù)測，則最好好把模型中的的與趨勢、季季節(jié)、循環(huán)等等成分有關(guān)的的參數(shù)估計(jì)出出來。就例中的時(shí)間序列的的分解，通過過計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)軟件，可以很很輕而易舉地地得到該序列列的趨勢、季季節(jié)和誤差成成分。時(shí)間序列的組組成部分下圖表示了去去掉季節(jié)成分分，只有趨勢勢和誤差成分分的序列。時(shí)間序列的組組成部分下圖用兩條曲曲線分別描繪繪了趨勢成分分和季節(jié)成分分。時(shí)間序列的組組成部分下圖用兩條曲曲線分別描繪繪了趨勢成分分和誤差成分分。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列的分分解前面對(duì)例tssales.sav數(shù)據(jù)進(jìn)行分解解利用SPSS的選項(xiàng)Analyze-TimeSeries-SeasonalDecomposition，然后在Variable(s)(變量)處選擇sales，在Model選擇Additive(可加模型，也也可以試可乘乘模型Multiplicative)，最后得到四個(gè)個(gè)附加變量，，它們是：誤差（err_1）、季節(jié)調(diào)整后的的序列（sas_1）、季節(jié)因素（saf_1）去掉季節(jié)后的的趨勢循環(huán)因因素（stc_1）。前面圖都是利利用Graphs－Sequence選項(xiàng)所做。注意附加變量量的名字根據(jù)據(jù)前面已經(jīng)得得到過的附加加變量數(shù)目而而調(diào)整(按照照性質(zhì)及順序序)15.2指指數(shù)平滑如果不僅滿足足于分解現(xiàn)有有的時(shí)間序列列，而想要對(duì)對(duì)未來進(jìn)行預(yù)預(yù)測，就需要要建立模型。。這里先介紹紹比較簡單的的指數(shù)平滑(exponentialsmoothing)。指數(shù)平滑只能用于純粹粹時(shí)間序列的情況，而不不能用于含有有獨(dú)立變量時(shí)時(shí)間序列的因因果關(guān)系的研研究。15.2指指數(shù)平滑指數(shù)平滑的原原理為：當(dāng)利利用過去觀測測值的加權(quán)平平均來預(yù)測未未來的觀測值值時(shí)（這個(gè)過過程稱為平滑滑），離得越越近的觀測值值要給以更多多的權(quán)。而“指數(shù)”意味著：依依已有觀測值值“老”的程程度，其權(quán)數(shù)數(shù)按指數(shù)速度度遞減。以簡單的沒有有趨勢和沒有有季節(jié)成分的的純粹時(shí)間序序列為例，指指數(shù)平滑在數(shù)數(shù)學(xué)上是一個(gè)個(gè)幾何級(jí)數(shù)。。指數(shù)平滑這時(shí)，如果用用Yt表示在t時(shí)間的平滑后后的數(shù)據(jù)（或或預(yù)測值），，而用X1,X2,…,Xt表示原始的時(shí)時(shí)間序列。那那么指數(shù)平滑滑模型為或者，等價(jià)地地，這里的系數(shù)為為幾何級(jí)數(shù)。。因此稱之為為“幾何平滑滑”比使人不不解的“指數(shù)平滑””似乎更有道理理。指數(shù)平滑自然，這種在在簡單情況下下導(dǎo)出的公式式（如上面的的公式）無法法應(yīng)對(duì)具有各各種成分的復(fù)復(fù)雜情況。后面將給出各各種實(shí)用的指指數(shù)平滑模型型的公式。根據(jù)數(shù)據(jù)，可可以得到這些些模型參數(shù)的的估計(jì)以及對(duì)對(duì)未來的預(yù)測測。指數(shù)平滑在和我們例子子有關(guān)的指數(shù)數(shù)平滑模型中中，需要估計(jì)計(jì)12個(gè)季節(jié)節(jié)指標(biāo)和三個(gè)個(gè)參數(shù)（包含含前面公式權(quán)權(quán)重中的a，和趨勢有關(guān)關(guān)的g，以及和季節(jié)節(jié)指標(biāo)有關(guān)的的d）。在簡單的選項(xiàng)項(xiàng)之后，SPSS通過指指數(shù)平滑產(chǎn)生生了對(duì)2003年一年的的預(yù)測。下圖圖為原始的時(shí)時(shí)間序列和預(yù)預(yù)測的時(shí)間序序列（光滑后后的），其中中包括對(duì)2003年12個(gè)月的預(yù)測測。圖下面為為誤差。我們例中時(shí)間間序列數(shù)據(jù)的的指數(shù)平滑和和對(duì)未來的預(yù)預(yù)測SPSS的實(shí)現(xiàn):指數(shù)平滑:tssales.sav數(shù)據(jù)用選項(xiàng)Analyze－－TimeSeries－ExponentialSmoothing，然然后在Variable(s)(變變量)處選擇擇sales，在Model選擇custom(自選模模型)，再點(diǎn)點(diǎn)Custom之后再在在TrendComponent選Exponential(這主主要是因?yàn)榭纯吹叫蛄性际键c(diǎn)圖趨勢不不象直線,其其實(shí)選Linear也差差不多;此外外還有Damped(減減幅)選項(xiàng))在SeasonalComponent選Additive(這是是可加模型，，也可以試選選可乘模型：：Multiplicative，，細(xì)節(jié)可參看看公式)Continue之后，，再點(diǎn)擊Parameters來估估計(jì)參數(shù)，在在三個(gè)有關(guān)參參數(shù)選項(xiàng)上：：General(Alpha)、、Trend(Gamma)和Seasonal(Delta)可均均選GridSearch（搜尋尋，這是因?yàn)闉椴恢绤?shù)數(shù)是多少合適適，參數(shù)意義義參見后面公公式），然后后Continue。最最后如果要預(yù)預(yù)測新觀測值值，在主對(duì)話話框點(diǎn)擊Save，在PredictCases中選擇擇Predictthrough下面的截止止年月（這里里選了2003年12月月）。這樣就就可以得到各各種結(jié)果了。。SPSS的實(shí)現(xiàn):指數(shù)平滑結(jié)果中增加的的變量有誤差差（err_1）和擬合合（預(yù)測）值值fit_1。這在前面面圖中繪出。。在SPSS輸出文件中中還有那些估估計(jì)的參數(shù)值值（三個(gè)參數(shù)數(shù)加上季節(jié)因因子）。15.3Box-Jenkins方法:ARIMA模型如果要對(duì)比較較復(fù)雜的純粹粹時(shí)間序列進(jìn)進(jìn)行細(xì)致的分分析，指數(shù)平平滑往往是無無法滿足要求求的。而若想對(duì)有獨(dú)獨(dú)立變量的時(shí)時(shí)間序列進(jìn)行行預(yù)測，指數(shù)數(shù)平滑更是無無能為力。需要更加強(qiáng)有有力的模型。。這就是下面面要介紹的Box-JenkinsARIMA模型。數(shù)學(xué)上，指數(shù)數(shù)平滑僅僅是是ARIMA模型的特例例。ARIMA模型：AR模型比指數(shù)平滑要要有用和精細(xì)細(xì)得多的模型型是Box-Jenkins引入的ARIMA模型。或稱為為整合自回歸歸移動(dòng)平均模模型(ARIMA為AutoregressiveIntegratedMovingAverage一些關(guān)鍵字母母的縮寫)。該模型的基礎(chǔ)礎(chǔ)是自回歸和和移動(dòng)平均模模型或ARMA(AutoregressiveandMovingAverage)模型。ARIMA模型：AR模型ARMA由兩個(gè)特殊模模型發(fā)展而成成，一個(gè)是自自回歸模型或或AR(Autoregressive)模型。假定時(shí)時(shí)間序列用X1,X2,…,Xt表示，則一個(gè)個(gè)純粹的AR(p)模型意味著變變量的一個(gè)觀觀測值由其以以前的p個(gè)觀測值的線線性組合加上上隨機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)at（該誤差為獨(dú)獨(dú)立無關(guān)的））而得：這看上去象自自己對(duì)自己回回歸一樣，所所以稱為自回回歸模型；它它牽涉到過去去p個(gè)觀測值（相相關(guān)的觀測值值間隔最多為為p個(gè).ARIMA模型：MA模型ARMA模型型的另一個(gè)特特例為移動(dòng)平平均模型或MA(MovingAverage)模模型，一個(gè)純純粹的MA(q)模型意味著著變量的一個(gè)個(gè)觀測值由目目前的和先前前的q個(gè)隨機(jī)誤差的的線性的組合合：由于右邊系數(shù)數(shù)的和不為1（q甚至不一定是是正數(shù)），因因此叫做“移移動(dòng)平均”不不如叫做“移移動(dòng)線性組合合”更確切；；雖然行家已已經(jīng)習(xí)慣于叫叫“平均”了了，但初學(xué)者者還是因此可可能和初等平平滑方法中的的什么“三點(diǎn)點(diǎn)平均”之類類的術(shù)語混淆淆。ARIMA模型：ARMA模模型顯然,ARMA(p,q)模型應(yīng)該為為AR(p)模型和MA(q)模型的組合合了：ARMA(p,0)模型就是AR(p)模型，而ARMA(0,q)模型就是MA(q)模型。這個(gè)一一般模型有p+q個(gè)參數(shù)要估計(jì)計(jì)，看起來很很繁瑣，但利利用計(jì)算機(jī)軟軟件則是常規(guī)規(guī)運(yùn)算；并不不復(fù)雜。ARIMA模型：平穩(wěn)性性和可逆性但是要想ARMA(p,q)模型有意義則則要求時(shí)間序序列滿足平穩(wěn)穩(wěn)性(stationarity)和可逆性(invertibility)的條件，這意味著序列列均值不隨著著時(shí)間增加或或減少，序列列的方差不隨隨時(shí)間變化，，另外序列本本身相關(guān)的模模式不改變等等。一個(gè)實(shí)際的時(shí)時(shí)間序列是否否滿足這些條條件是無法在在數(shù)學(xué)上驗(yàn)證證的，但模型型可以近似地地從后面要介介紹的時(shí)間序序列的自相關(guān)關(guān)函數(shù)和偏相相關(guān)函數(shù)圖來來識(shí)別。ARIMA模型：差分一般人們所關(guān)關(guān)注的的有趨趨勢和季節(jié)/循環(huán)成分的的時(shí)間序列都都不是平穩(wěn)的的。這時(shí)就需需要對(duì)時(shí)間序序列進(jìn)行差分分(difference)來消除除這些使序列列不平穩(wěn)的成成分，而使其其變成平穩(wěn)的的時(shí)間序列，，并估計(jì)ARMA模型，，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?cè)撃Ｐ停?，使之適應(yīng)于于差分之前的的序列（這個(gè)個(gè)過程和差分分相反，所以以稱為整合的的(integrated)ARMA模型），，得到的模型型于是稱為ARIMA模模型。ARIMA模型：差分差分是什么意意思呢？差分分可以是每一一個(gè)觀測值減減去其前面的的一個(gè)觀測值值，即Xt-Xt-1。這樣，如果時(shí)間序列列有一個(gè)斜率率不變的趨勢勢，經(jīng)過這樣樣的差分之后后，該趨勢就就會(huì)被消除了了。ARIMA模型：差分當(dāng)然差分也可可以是每一個(gè)個(gè)觀測值減去去其前面任意意間隔的一個(gè)個(gè)觀測值；比比如存在周期期固定為s的季節(jié)成分，，那么相隔s的差分為Xt-Xt-s就可以把這種種以s為周期的季節(jié)節(jié)成分消除。。對(duì)于復(fù)雜情況況，可能要進(jìn)進(jìn)行多次差分分，才能夠使使得變換后的的時(shí)間序列平平穩(wěn)。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)上面引進(jìn)了一一些必要的術(shù)術(shù)語和概念。。下面就如何何識(shí)別模型進(jìn)進(jìn)行說明。要想擬合ARIMA模型，必須先先把它利用差差分變成ARMA(p,q)模型，并確定定是否平穩(wěn)，，然后確定參參數(shù)p,q。后面將利用一一個(gè)例子來說說明如何識(shí)別別一個(gè)AR(p)模型和參數(shù)p。由此MA(q)及ARMA(p,q)模型模型可用用類似的方法法來識(shí)別。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)根據(jù)ARMA(p,q)模型的定義義,它的參數(shù)數(shù)p,q和自相關(guān)函數(shù)數(shù)(acf，，autocorrelationsfunction)及偏自相相關(guān)函數(shù)(pacf，partialautocorrelationsfunction)有關(guān)關(guān)。自相關(guān)函數(shù)描描述觀測值和和前面的觀測測值的相關(guān)系系數(shù)；而偏自相關(guān)函函數(shù)為在給定定中間觀測值值的條件下觀觀測值和前面面某間隔的觀觀測值的相關(guān)關(guān)系數(shù)。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)這里當(dāng)然不打打算討論acf和pacf這兩兩個(gè)概念的細(xì)細(xì)節(jié)。引進(jìn)這兩個(gè)個(gè)概念主要要是為了能能夠了解如何通通過研究關(guān)關(guān)于這兩個(gè)個(gè)函數(shù)的acf和pacf圖來識(shí)別模模型。例：數(shù)據(jù)AR1.txt為了直觀地地理解上面面的概念，，下面利用用一個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)例子來描描述。例：數(shù)據(jù)AR1.txt；拖拖尾和截尾尾先來看該時(shí)時(shí)間序列的的acf(左左)和pacf圖(右)左邊的acf條形圖圖是衰減的的正弦型的的波動(dòng)；這這種圖形稱稱為拖尾。而右邊的的pacf條形圖是是在第一個(gè)個(gè)條(p=1)之后后就很小，，而且沒有有什么模式式；這種圖圖形稱為在在在p=1后截尾。這說明該該數(shù)據(jù)滿足足是平穩(wěn)的的AR(1)模型。。例：數(shù)據(jù)AR1.txt；拖尾和截尾尾注意，所謂謂拖尾圖形形模式也可可能不是正正弦形式，，但以指數(shù)數(shù)率衰減。。類似地，，如果acf圖形是是在第q=k個(gè)條后截尾尾，而pacf圖形形為拖尾，，則數(shù)據(jù)滿滿足MA(q)模型。如如果兩個(gè)圖圖形都拖尾尾則可能滿滿足ARMA(p,q)模型。具具體判別法法總結(jié)在下下面表中：：acf和pacf圖圖如acf和和pacf圖中至少少一個(gè)不是是以指數(shù)形形式或正弦弦形式衰減減，那么說說明該序列列不是平穩(wěn)穩(wěn)序列，必必須進(jìn)行差差分變換來來得到一個(gè)個(gè)可以估計(jì)計(jì)參數(shù)的滿滿足ARMA(p,q)模型的序序列。如一個(gè)時(shí)間間序列的acf和pacf圖圖沒有任何何模式，而而且數(shù)值很很小，那么么該序列可可能就是一一些互相獨(dú)獨(dú)立的無關(guān)關(guān)的隨機(jī)變變量。一個(gè)個(gè)很好擬合合的時(shí)間序序列模型的的殘差就應(yīng)應(yīng)該有這樣樣的acf和pacf圖。例：數(shù)據(jù)AR1.txt根據(jù)acf和pacf圖圖的形態(tài)，不不用進(jìn)行任任何差分就就可以直接接用AR(1)模型擬合。。利用SPSS軟件，選擇擇AR(1)模型(等價(jià)價(jià)地ARIMA(1,0,0)(0,0,0)模型),得得到參數(shù)估估計(jì)為1=0.86;也就是是說該AR(1)模型為例：數(shù)據(jù)AR1.txt下圖為ar1.sav數(shù)據(jù)的的原始序列列和由模型型得到的擬擬合值以及及對(duì)未來10個(gè)觀測測的預(yù)測圖圖；看來擬擬合得還不不錯(cuò)。例：數(shù)據(jù)AR1.txt下面再看剩剩下的殘差差序列是否否還有什么么模式。這這還可以由由殘差的pacf(左)和acf(右右)圖來判斷。?？梢钥闯龀觯鼈儧]沒有什么模模式；這說說明擬合比比較成功。。例：數(shù)據(jù)AR1.txt下圖為殘差差對(duì)擬合值值的散點(diǎn)圖圖?？床怀龀鋈魏文Ｊ绞健Ｕf明殘殘差的確是是獨(dú)立的和和隨機(jī)的。。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在對(duì)含有季季節(jié)和趨勢勢/循環(huán)等等成分的時(shí)時(shí)間序列進(jìn)進(jìn)行ARIMA模型型的擬合研研究和預(yù)測測時(shí)，就不不象對(duì)純粹粹的滿足可可解條件的的ARMA模型那么么簡單了。。一般的ARIMA模模型有多個(gè)個(gè)參數(shù)，沒沒有季節(jié)成成分的可以以記為ARIMA(p,d,q)，如果沒沒有必要利利用差分來來消除趨勢勢或循環(huán)成成分時(shí)，差差分階數(shù)d=0，模型型為ARIMA(p,0,q)，即ARMA(p,q)。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在有已知的的固定周期期s時(shí)，模模型多了4個(gè)參數(shù)，，可記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。這里增加的的除了周期期s已知之之外，還有有描述季節(jié)節(jié)本身的ARIMA(P,D,Q)的的模型識(shí)別別問題。因因此，實(shí)際際建模要復(fù)復(fù)雜得多。。需要經(jīng)過過反復(fù)比較較。用ARIMA模型擬合例例tssales.txt對(duì)數(shù)據(jù)tssales.txt序列列已進(jìn)行了分解解，并用指指數(shù)平滑做做了預(yù)測,知有季節(jié)節(jié)和趨勢成成分。要對(duì)其進(jìn)行行ARIMA模型擬擬合，先對(duì)對(duì)該序列做做acf和和pacf條形圖。。其中acf圖顯然然不是拖尾尾（不是以以指數(shù)速率率遞減），，因此需要要進(jìn)行差分分。用ARIMA模型擬合例例tssales.txt關(guān)于于參數(shù)數(shù)，不要選選得過大；；每次擬合合之后要檢檢查殘差的的acf和pacf圖，看是否否為無關(guān)隨隨機(jī)序列。。在SPSS軟件中還有有類似于回回歸系數(shù)的的檢驗(yàn)以及及其他一些些判別標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)機(jī)輸出可做做參考（這這里不細(xì)說說）。經(jīng)過幾次對(duì)對(duì)比之后，，對(duì)于例16.1數(shù)據(jù)我們最最后選中了了ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型來擬合合。擬合的的結(jié)果和對(duì)對(duì)2003年12個(gè)月的預(yù)測測在下圖中中。例tssales.txt的原始序列列和由模型型得到的擬擬合值及對(duì)對(duì)未來12個(gè)月的預(yù)測測圖。例：數(shù)據(jù)tssales.txt為了核對(duì)，，當(dāng)然要畫畫出殘差的的acf和和pacf的條形圖圖來看是否否還有什么么非隨機(jī)的的因素存在在。下圖為為這兩個(gè)點(diǎn)點(diǎn)圖，看來來我們的模模型選擇還還是適當(dāng)?shù)牡摹Ｓ肁RIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列例：數(shù)據(jù)tsadds2.txt是一個(gè)銷售售時(shí)間序列列，以每周周七天為一一個(gè)季節(jié)周周期，除了了銷售額序序列sales之外，還有有一個(gè)廣告告花費(fèi)的獨(dú)獨(dú)立變量adds。先不理睬睬這個(gè)獨(dú)立立變量，把把該序列當(dāng)當(dāng)成純粹時(shí)數(shù)據(jù)tsadds2.txt再首先點(diǎn)出出其acf和pacf條形圖圖acf圖顯然不是是拖尾模式式，因此，，必須進(jìn)行行差分以消消除季節(jié)影影響。試驗(yàn)驗(yàn)多次之后后，看上去去ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7的結(jié)果還可可以接受。。殘差的pacf和和acf條條形圖在下下一頁圖中中用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列繼續(xù)改進(jìn)我我們的模型型，再把獨(dú)獨(dú)立變量廣廣告支出加加入模型，，最后得到到的帶有獨(dú)獨(dú)立變量adds的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型。擬合合后的殘差差圖在下圖圖中。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列從各種角度度來看擬合合帶獨(dú)立變變量平方的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型給出更更好的結(jié)果果。雖然從上面面的acf和pacf圖看不不出（一般般也不應(yīng)該該看出）獨(dú)獨(dú)立變量對(duì)對(duì)序列的自自相關(guān)性的的影響，但但是根據(jù)另另外的一些些判別準(zhǔn)則則，獨(dú)立變變量的影響響是顯著的的;加入獨(dú)獨(dú)立變量使使得模型更更加有效。。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列要注意，一一些獨(dú)立變變量的效果果也可能是是滿足某些些時(shí)間序列列模型的，，也可能會(huì)會(huì)和季節(jié)、、趨勢等效效應(yīng)混雜起起來不易分分辯。這時(shí)，模型型選擇可能能就比較困困難。也可可能不同模模型會(huì)有類類似的效果果。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列一個(gè)時(shí)間序序列在各種種相關(guān)的因因素影響下下的模型選選擇并不是是一件簡單單明了的事事情。實(shí)際上沒有有任何統(tǒng)計(jì)計(jì)模型是絕絕對(duì)正確的的，它們的的區(qū)別在于于，在某種種意義上，，一些模型型的某些性性質(zhì)可能要要優(yōu)于另外外一些。SPSS的的實(shí)現(xiàn):ARIMA模型時(shí)間序列的的acf和和pacf圖：可以以用選項(xiàng)Graphs－TimeSeries－Autocorrelations，然后把變量量選入Variables中中(對(duì)于數(shù)數(shù)據(jù)AR1.sav，把時(shí)間間序列Z選選入)。在Display中中(默認(rèn)地地)有選項(xiàng)項(xiàng)Autocorrelations和Partialautocorrelations導(dǎo)致acf和pacf圖圖。人們還經(jīng)常常對(duì)殘差項(xiàng)項(xiàng)繪acf和pacf圖。SPSS的的實(shí)現(xiàn):ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型擬合選擇Analyze－TimeSeries－ARIMA，然然后把數(shù)據(jù)據(jù)中的時(shí)間間序列選入入Dependent(在數(shù)數(shù)據(jù)AR1.sav中,選Z,對(duì)數(shù)據(jù)據(jù)tssales.sav時(shí)時(shí)選sales,而而對(duì)數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選選sales),對(duì)對(duì)于Independent,僅在使使用數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選選了adds。在Model的第一一列為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的前三三個(gè)參數(shù)(p,d,q),第第二列(sp,sd,sq)為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的后三三個(gè)參數(shù)(P,D,Q)。這這樣只要選選定我們所所希望嘗試試的模型參參數(shù)即可。。周期s由于在在定義序列時(shí)時(shí)已有(見對(duì)對(duì)話框中注明明的CurrentPeriodicity后面的數(shù)字字),不用用另外輸入了了.在輸出的的變量中有誤誤差和擬合(預(yù)測)的序序列，在輸出出中還有各個(gè)個(gè)參數(shù)和一些些判別準(zhǔn)則等等。公式：指數(shù)平滑模型型這些模型中有有a，g，d，f為待估計(jì)參數(shù)數(shù)，g＝0意味著斜率為為常數(shù)（趨勢勢無變化），，而d＝0意味著沒有季季節(jié)成分，f和減幅趨勢有有關(guān)；對(duì)于時(shí)時(shí)間序列Xt，趨勢、光滑滑后的序列、、季節(jié)因子和和預(yù)測的序列列分別用Tt、St、It和表表示；另外，，p表示周期，et為殘差指數(shù)平滑模型型:線性趨勢可加加季節(jié)模型（Lineartrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:線性趨勢可乘乘季節(jié)模型（（Lineartrend,multiplicativeseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:指數(shù)趨勢可加加季節(jié)模型（（Exponentialtrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:指數(shù)趨勢可乘乘季節(jié)模型(Exponentialtrend,multiplicativeseasonalitymodel)指數(shù)平滑模型型:減幅趨勢可加加季節(jié)模型（（Dampedtrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:減幅趨勢可乘乘季節(jié)模型（（Dampedtrend,multiplicativeseasonalitymodel）ARIMA模型平穩(wěn)時(shí)間序列列滿足的條件件：對(duì)所有t,E(Zt)=m，而且自協(xié)方方差函數(shù)gts=cov(Xt,Xs)=E(Xt-m)(Xs-m)。僅僅與差t-s有關(guān)，因此可可以記gk=gt,t+k=cov(Xt-m)(Xt-m)。

對(duì)于平平穩(wěn)序列，自自相關(guān)函數(shù)(acf)定定義為corr(Zt,Zt+k)=gk/g0。偏相關(guān)函數(shù)數(shù)(pacf)定義為corr(Zt,Zt+k|Zt+1,…,Zt+k-1)。函數(shù)acf和和pacf的的點(diǎn)圖可以用用來幫助識(shí)別別平穩(wěn)過程的的ARMA(p,q)模型。AR(p)和MA(q)模型是ARMA(p,q)模型的特例例，而ARMA(p,q)模型又是ARIMA(p,d,q)的特例（這這里只有趨勢勢，沒有季節(jié)節(jié)），而ARIMA(p,d,q)又是既有趨趨勢又有季節(jié)節(jié)成分的ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的特例。。ARIMA模模型:為了便于描述述公式，定義義算子AR(p)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，MA(q)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，ARMA(p,q)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型這里為為類似于ARMA(p,q)模型中的算子子只不過是描述述季節(jié)序列的的罷了；它們們定義為9、靜夜四四無鄰，，荒居舊舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。21:19:3621:19:3621:191/4/20239:19:36PM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見見頻。。1月-2321:19:3621:19Jan-2304-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。21:19:3621:19:3621:19Wednesday,January4,202313、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2321:19:3621:19:36January4,202314、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國國見見青青山山。。。。04一一月月20239:19:36下下午午21:19:361月月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。一月239:19下午午1月-2321:19January4,202316、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2023/1/421:19:3621:19:3604January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時(shí)時(shí)，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。9:19:36下下午9:19下下午午21:19:361月-239、沒有失失敗，只只有暫時(shí)時(shí)停止成成功！。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。21:19:3621: