北京趙村中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

北京趙村中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為－1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

（

）A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：D2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知?jiǎng)t數(shù)列的公差d為（

）A．1

B． C.

D． 參考答案：D3.已知A（﹣2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條平行直線參考答案：D【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】由題意知（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足=x2，∴（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，∴點(diǎn)P的方程為y2=4即y=±2∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條平行的直線．故選D．4.設(shè)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A.i B.－i C. D.參考答案：D【分析】先化簡，結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡可求.【詳解】，，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，逆用二項(xiàng)式定理要注意配湊出定理的結(jié)構(gòu)形式.5.已知，，，三角形的面積為

A

B

C

D

參考答案：B略6.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是A．

B．C．

D．參考答案：B7.已知a、b為直線，α，β，γ為平面，有下列四個(gè)命題：①a∥α，b∥α，則a∥b

②α⊥β，β⊥γ，則α∥β③a∥α，a∥β，則α∥β

④a∥b，b?α，則a∥α其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定．【分析】根據(jù)空間線面平行及線線平行的幾何特征，可判斷①的真假；根據(jù)空間面面垂直及面面平行的幾何特征，可判斷②的真假；根據(jù)空間線面平行及面面平行的幾何特征，可判斷③的真假；根據(jù)空間線線平行及線面平行的幾何特征及線面平行的判定定理可判斷④的真假．【解答】解：①中，若a∥α，b∥α，則a與b可能平行，也可能相交，也可能異面，故①錯(cuò)誤；

②中，若α⊥β，β⊥γ，則α與β的交線與γ垂直，但平面α與β可能平行，也可能相交且夾角不確定，故②錯(cuò)誤；③中，若a∥α，a∥β，則α與β可能平行，也可能相交（此時(shí)兩平面的交線與已知直線平行），故③錯(cuò)誤；④中，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故④錯(cuò)誤故選A8.已知函數(shù)，()，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.已知橢圓C1：=1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，過P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B使得∠BPA=，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用O、P、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及橢圓離心率的概念，綜合分析即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．【解答】解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點(diǎn)共圓，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴橢圓C的離心率的取值范圍是[，1），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率，考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的概念，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于難題．10.某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（

）.A.8

B.10

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.若，則

．(用數(shù)字填寫)參考答案：212.觀察下列各式：，...，則

．參考答案：

123;

13.已知方程表示雙曲線，則m的取值范圍是__________________.參考答案：略14.已知△ABC的三邊分別是a、b、c，且面積，則角C=___.參考答案：45015.一個(gè)圓經(jīng)過橢圓=1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．參考答案：（x﹣）2+y2=【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用橢圓的方程求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出圓心坐標(biāo)，求出半徑即可得到圓的方程．【解答】解：一個(gè)圓經(jīng)過橢圓=1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．可知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），上下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，±2），設(shè)圓的圓心（a，0），則，解得a=，圓的半徑為：，所求圓的方程為：（x﹣）2+y2=．故答案為：（x﹣）2+y2=．16.橢圓+=1（a＞b＞0）與圓x2+y2=（+c）2（c為橢圓半焦距）有四個(gè)不同交點(diǎn)，則離心率的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由圓的方程求得圓的半徑，要使橢圓與圓有四個(gè)不同交點(diǎn)，則圓的半徑大于橢圓短半軸小于橢圓長半軸長，由此得到不等式求得橢圓離心率的范圍．【解答】解：由圓x2+y2=（+c）2是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，∴要使橢圓+=1（a＞b＞0）與圓x2+y2=（+c）2有四個(gè)不同交點(diǎn)，則，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；聯(lián)立，解得或e＞1（舍）．∴橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：．17.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱AB的中點(diǎn)，則直線A1P與BC1所成角為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓，求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.參考答案：略19.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（Ⅰ）；（Ⅱ）.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，進(jìn)而計(jì)算，即可求解，得到答案；（2）由導(dǎo)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行計(jì)算、變形，即可求解，得到答案．【詳解】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，可得.（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的乘法法則，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，其中解答中熟練掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線C1的方程為ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)閤正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． （Ⅰ）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程以及曲線C2的普通方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C1的切線，求這條切線長的最小值． 參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程． 【專題】計(jì)算題；直線與圓；坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 【分析】（Ⅰ）運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲線C1的直角坐標(biāo)方程，再由代入法，即可化簡曲線C2的參數(shù)方程為普通方程； （Ⅱ）可經(jīng)過圓心（1，﹣2）作直線3x+4y﹣15=0的垂線，此時(shí)切線長最小．再由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）對(duì)于曲線C1的方程為ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0， 可化為直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣2x+4y+4=0， 即圓（x﹣1）2+（y+2）2=1； 曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）， 可化為普通方程為：3x+4y﹣15=0． （Ⅱ）可經(jīng)過圓心（1，﹣2）作直線3x+4y﹣15=0的垂線，此時(shí)切線長最?。? 則由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==4， 則切線長為=． 故這條切線長的最小值為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程、普通方程的互化，考查直線與圓相切的切線長問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題． 21.已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，實(shí)軸長為2；（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線x﹣y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）依題意得2a=2，，由此能求出雙曲線方程．（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中點(diǎn)M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：（1）依題意得2a=2，a=1，…，∴，…∴b2=c2﹣a2=2，…∴雙曲線方程為：…（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中點(diǎn)M（x0，y0），…由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0…，…∵點(diǎn)M在圓上，∴，∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．22.已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值．參考答案：解：（1），設(shè)過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦為，將代入橢圓方程，解得，

…………（2分）故，可得．

…………（4分）所以，橢圓方程為．

………（6分）（2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則．