D92二重積分的計算13544

會計學(xué)1D92二重積分的計算13544當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于第1頁/共26頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第2頁/共26頁例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則第3頁/共26頁例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則第4頁/共26頁例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第5頁/共26頁例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第6頁/共26頁例5.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,第7頁/共26頁對應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為第8頁/共26頁即第9頁/共26頁設(shè)則特別,對第10頁/共26頁若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)第11頁/共26頁例6.計算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.第12頁/共26頁注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.第13頁/共26頁例7.求球體的體積.解只需求出上半球的體積上半球面第14頁/共26頁例8.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知第15頁/共26頁定積分換元法*三、二重積分換元法(曲線坐標(biāo)系下的計算)

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,第16頁/共26頁例9.

計算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則第17頁/共26頁例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.第18頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則第19頁/共26頁則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域為在變換下第20頁/共26頁(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式第21頁/共26頁思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換第22頁/共26頁解：原式2.

給定改變積分的次序.第23頁/共26頁3.第24頁/共26頁作業(yè)P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);