實(shí)驗(yàn)歸納猜測(四)

一般的科學(xué)方法中，觀察和實(shí)驗(yàn)是收集科學(xué)事實(shí)，獲取感性經(jīng)驗(yàn)的基本途經(jīng)，是形成、發(fā)展和檢驗(yàn)自然科學(xué)理論的實(shí)踐基礎(chǔ)。觀察與實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)研究中也是一種最基本的主要方法之一?！?實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)是根據(jù)研究問題的需要，按照研究對象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，人為地變更、控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取經(jīng)驗(yàn)材料的研究方法。

由于實(shí)驗(yàn)總是和觀察相互聯(lián)系，觀察常?？捎脤?shí)驗(yàn)作基礎(chǔ)，而實(shí)驗(yàn)又可使觀察得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗(yàn)證。而實(shí)驗(yàn)比觀察有更大的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：（1）實(shí)驗(yàn)方法具有簡化和純化數(shù)學(xué)對象的作用。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)可借助專門儀器工具，人為地變更、控制和模擬客觀對象，因而能把握實(shí)驗(yàn)者的需要，突出某些主要因素，排除或減少其他次要的、偶然因素的干擾，使研究對象中為研究者所需要的某些屬性或關(guān)系在簡化、純化的形態(tài)下暴露出來，從而準(zhǔn)確地認(rèn)識它。（2）實(shí)驗(yàn)方法可以重復(fù)進(jìn)行或多次再現(xiàn)被研究的對象，以便進(jìn)行反復(fù)的觀察。

數(shù)學(xué)不是實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)，因此不能將觀察到的結(jié)果、實(shí)驗(yàn)性的驗(yàn)證作為判斷數(shù)學(xué)命題的真假性的充分依據(jù)，但它們在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)及探求數(shù)學(xué)問題的解決思路的過程是起著重要作用的。歐拉指出：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！敝麛?shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya)曾精辟地指出:“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！?/p>

波利亞說過：“數(shù)學(xué)家好似自然科學(xué)家，在他用一個(gè)新觀察到的現(xiàn)象來檢驗(yàn)一個(gè)所猜想的一般規(guī)律時(shí)，他向自然界提出問題：‘我猜想這規(guī)律是真的，它真的成立嗎？’假如結(jié)果被實(shí)驗(yàn)明確證實(shí)，那就有某些跡象說明這個(gè)規(guī)律可能是真實(shí)的，自然界可以給你是或非的回答?！?/p>

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·彼利亞（GeorgePolya,1887一1985)他一生發(fā)表200多篇論文和許多專著，在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．他也是一位極優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育家，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題的能力，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新及發(fā)現(xiàn)的重要性，影響較大的數(shù)學(xué)教育著作《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》被譽(yù)為第二次世界大戰(zhàn)之后的經(jīng)典之作．

數(shù)學(xué)研究是需要實(shí)驗(yàn)的.數(shù)學(xué)家有時(shí)通過成百上千次的實(shí)驗(yàn)、觀察、聯(lián)系、歸納、類比、猜想才發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理,最后用特有的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)出來，傳給世人也留給后人．教科書上一般都把數(shù)學(xué)問題提出的背景、數(shù)學(xué)家的探索過程省略了．

人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，免不了觀察和實(shí)驗(yàn)。幼年用手指頭數(shù)一、二、三、四，就是借助實(shí)物的數(shù)學(xué)操作。幾何學(xué)給人觀察的機(jī)會最多。作圖要準(zhǔn)確，看圖要仔細(xì)，添輔助線要嘗試（試驗(yàn)）。如果真要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，比如搞點(diǎn)統(tǒng)計(jì)工作，那你就得深入實(shí)際收集數(shù)據(jù)，有目的地做實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，觀察各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象。這些實(shí)際操作，都應(yīng)看作學(xué)習(xí)、理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)的有機(jī)組成部分。這種活動畢竟與我們常常強(qiáng)調(diào)的邏輯推理能力不同，它是與一般科學(xué)方法——觀察與實(shí)驗(yàn)較為接近的實(shí)踐活動。

深入的觀察和良好的實(shí)驗(yàn)可引起廣泛的聯(lián)想和知識遷移，使我們不斷地調(diào)整步驟，通過簡單的情形，去理解和發(fā)現(xiàn)研究對象的性質(zhì)和規(guī)律，還可使我們更快地產(chǎn)生頓悟，找到解決問題的關(guān)鍵。

20世紀(jì)以來，由于科學(xué)的進(jìn)步，實(shí)驗(yàn)手段有了很大改變，其中之一便是計(jì)算機(jī)模擬。曼德勃?jiǎng)谝捞兀˙.Mandelbrojt）創(chuàng)立了分形理論，用計(jì)算機(jī)畫出了許多精美絕倫的圖案。他的工作完全依賴計(jì)算機(jī)的實(shí)驗(yàn)，以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，理解一種數(shù)學(xué)構(gòu)造，一張紙、一支筆就可以研究數(shù)學(xué)的時(shí)代看來將會過去，至少在一部分?jǐn)?shù)學(xué)研究中，實(shí)驗(yàn)是不可缺少的了。

從上世紀(jì)90年代初期起，隨著計(jì)算機(jī)和一些數(shù)學(xué)軟件的逐漸普及，數(shù)學(xué)教育界開始重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)與研究。時(shí)至今日，我們將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)界定為：為獲得某種數(shù)學(xué)理論、探求或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，經(jīng)由數(shù)學(xué)思維活動的參與，在典型的環(huán)境中或特定的條件下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可分為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩大類。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指運(yùn)用手工的方法如利用實(shí)物模型、實(shí)物教具等進(jìn)行操作的演示性模型實(shí)驗(yàn)，或使用紙筆通過具體或特殊數(shù)學(xué)例子進(jìn)行的思想性實(shí)驗(yàn)；現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是以信息技術(shù)為工具，以數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境，結(jié)合數(shù)學(xué)模型而進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的技術(shù)改造。實(shí)驗(yàn)的作用

實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)活動中有助于數(shù)學(xué)理論的研究與發(fā)展；有助于啟發(fā)數(shù)學(xué)解題思路；有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)思維情景。

1777年法國科學(xué)家蒲豐提出的一種計(jì)算圓周率的方法——隨機(jī)投針法，即著名的蒲豐投針問題。這一方法的步驟是：

1）取一張白紙，在上面畫上許多條間距為2a的平行線。

2)取一根長度為2l（l<d）的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m3）計(jì)算針與直線相交的概率．

實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)活動中有助于數(shù)學(xué)理論的研究與發(fā)展：蒲豐本人證明了，這個(gè)概率是p=2l/(πa)π為圓周率

實(shí)驗(yàn)者年代投擲次數(shù)相交次數(shù)圓周率估計(jì)值

沃爾夫1850500025313.1596

史密斯1855320412193.1554

德摩根16806003833.137

?？怂?88410304893.1595

拉澤里尼1901340818083.1415929

賴納192525208593.1795

有助于啟發(fā)數(shù)學(xué)解題思路：三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，圓錐體體積公式，球的體積公式例如，為了得到“三角形內(nèi)角之和等于”這個(gè)定理，我們可通過下面的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：

一是用量角器分別測量三個(gè)內(nèi)角的大小，求和；

A B C D

二是在紙上裁下一個(gè)三角形（記為△ABC），剪下∠A與∠B，把它們和∠C拼在一起。這時(shí)可發(fā)現(xiàn)CD恰好為BC之延長線。通過實(shí)驗(yàn)，不僅幫助我們建立命題，而且實(shí)驗(yàn)二還指出了這個(gè)命題證明方法的啟示。11223例一位醫(yī)學(xué)教授想考考他的護(hù)士的數(shù)學(xué)水平。他拿來一個(gè)鹽水瓶，里面裝有近乎瓶子容積一半的液體，讓護(hù)士們用最簡單的辦法，判斷一下瓶中液體的體積等于、大于、或小于容積的一半，其中一個(gè)聰明的護(hù)士只是顛倒了一下瓶子就得到了答案，她是怎么做的？[糖水濃度與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)]教師：同學(xué)們，今天我們來上一節(jié)甜甜的活動課。請看這里擺著一缸清水、一瓶紅糖，還有大大小小的一批玻璃杯。現(xiàn)在，我給這個(gè)大玻璃杯中放一些紅糖，然后再加一些水，得到了一大杯糖水。然后，我把它隨意倒在這三個(gè)小杯中，記每一杯糖水的濃度為，大家想一想，這三小杯糖水的濃度有什么關(guān)系？有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)思維情境：學(xué)生（眾）：相等。教師：對，應(yīng)有現(xiàn)在，我把這三小杯水全部倒進(jìn)一個(gè)空的大璃杯中，那么，混合后的糖水濃度與原先三小杯水的濃度有什么關(guān)系？學(xué)生（眾）：相等。教師：對，是相等。我們把大杯倒成小杯再合成大杯，好像是重復(fù)或循環(huán)，其實(shí)這里有數(shù)學(xué)道理。大家能根據(jù)這一顯而易見的生活常識，提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)命題嗎？

從“糖水情境”到“等比定理”

教師：我再給這個(gè)大玻璃杯加放一些紅糖，我們知道，這水一定比剛才甜了，這是大家都曾有過的生活經(jīng)驗(yàn)。想一想，能不能把這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)式子表示出來?

教師：我這里有兩杯濃度不同的糖水，一杯較淡、一杯較濃?，F(xiàn)在我把這兩杯糖水混合到第三只杯子里，大家想想，所得的糖水濃度，一定比淡的濃，又比濃的淡，這是一個(gè)很明顯的生活常識。能不能根據(jù)這一現(xiàn)象寫出一個(gè)數(shù)學(xué)命題呢？§5歸納猜測

拉普拉斯（P.S.deLaplace）說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！备咚?Gauss，1777～1855)提到過，他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)．他還說過：“在數(shù)論中由于意外的幸運(yùn)頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理?！?/p>

歸納法是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的科學(xué)方法。

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，曾經(jīng)有過許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想（費(fèi)馬大定理）、歐拉猜想（36名軍官問題）和四色猜想等等，這些猜想，有的經(jīng)過長期努力得到了證明，如四色猜想等；有的則給出了否定的解決，如歐拉猜想等；還有更多的猜想人們正在繼續(xù)努力，或有所進(jìn)展或突破，或接近于解決，或尚未取得重大的成果。眾多的數(shù)學(xué)家在研究和探索猜想的過程中，不僅極大地豐富了數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容，而且推動著數(shù)學(xué)向前發(fā)展。

那么猜想是怎樣在某些事實(shí)的基礎(chǔ)上，借助于邏輯思維而逐步形成的呢？我們說，這主要是在觀察和比較的基礎(chǔ)上通過歸納和類比而逐步形成的。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，通過歸納法提出的猜想,爾后又被證明是正確的，這樣的例子很多，如歐拉關(guān)于凸多面體公式：

頂點(diǎn)數(shù)V＋面數(shù)F－棱數(shù)E＝2，其中F，V，E分別表示凸多面體的面、頂點(diǎn)和棱，就是通過考察幾個(gè)特例歸納出來的。

歸納是人類探索真理和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具之一,許多數(shù)學(xué)的基本概念和基本方法的建立,許多重要問題的發(fā)現(xiàn)和解決,許多研究成果的獲得,都是由一些特殊的例子歸納概括出來的。歸納法有完全歸納法和不完全歸納法之分。完全歸納法：窮舉歸納法和類分法不完全歸納法：枚舉歸納法和因果關(guān)系歸納法注：窮舉歸納法主要適用于當(dāng)研究的某類事物只包含有限個(gè)對象，并且數(shù)目較小時(shí)候的情況。窮舉歸納法類分法

類分法是指對具有無限多個(gè)對象的某類事物進(jìn)行研究時(shí)，將這類事物劃分為互相排斥，且其外延之和等于該類事物的幾個(gè)子類，并對它們分別進(jìn)行考察。枚舉歸納法

枚舉歸納法是根據(jù)某類事物的n個(gè)特殊對象,具有某種屬性而作出的這類事物都具有這種屬性的一般性結(jié)論的推理方法.它是一種或然推理(似然推理).但歐拉在1732年發(fā)現(xiàn)從而否定了費(fèi)馬用不