3數(shù)量積與向量積

會計學(xué)13數(shù)量積與向量積結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.數(shù)量積也稱為“點積”、“內(nèi)積”.第1頁/共34頁關(guān)于數(shù)量積的說明：證證第2頁/共34頁數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)若、為數(shù)：證明（1）、（3）由定義可證余下證明（2）第3頁/共34頁

僅就下圖所示的情形給出證明，其它情形可仿此證明第4頁/共34頁設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第5頁/共34頁兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為第6頁/共34頁解第7頁/共34頁證第8頁/共34頁例3應(yīng)用向量證明Cauchy—Schwarz不等式證記則第9頁/共34頁例4應(yīng)用向量證明直徑所對的圓周角是直角證如圖所示xyoABC圓的方程：設(shè)A點的坐標(biāo)為則第10頁/共34頁例5設(shè)是三個單位向量始于同一點O且證明它們終點的連線構(gòu)成一等邊三角形證一ABCO又第11頁/共34頁由同理故它們終點的連線構(gòu)成等邊三角形證二由得又第12頁/共34頁同理故由余弦定理，有故它們終點的連線構(gòu)成等邊三角形第13頁/共34頁實例二、兩向量的向量積第14頁/共34頁定義關(guān)于向量積的說明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.第15頁/共34頁向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)證////第16頁/共34頁設(shè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式第17頁/共34頁向量積還可借助于三階行列式表示由上式可推出//第18頁/共34頁例如，補(bǔ)充第19頁/共34頁解第20頁/共34頁解三角形ABC的面積為第21頁/共34頁解第22頁/共34頁定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積第23頁/共34頁（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：——輪換對稱性第24頁/共34頁證明由共面設(shè)由混合積的幾何意義知得共面第25頁/共34頁解例9第26頁/共34頁解第27頁/共34頁式中正負(fù)號的選擇必須和行列式的符號一致.第28頁/共34頁例11設(shè)是四個已知向量，其中不共面，試?yán)檬噶窟\(yùn)算將表示為的線性組合[分析]依題意其中x,y,z待定為求得x，須消去

y,z由上式可見，若能用一個與都垂直的向量，則y,z可同時消去，自然想到

解設(shè)有第29頁/共34頁以與上式兩端作點積，得由于不共面同理又由輪換對稱性知第30頁/共34頁向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)