第五章彎曲應(yīng)力

Chapter5Stressesinbeams材料力學Mechanics

ofMaterials

第五章彎曲應(yīng)力

§5–1引言

(Introduction)

§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力

(Normalstressesinpurebeams)

§5–3

橫力彎曲時的正應(yīng)力

(Normalstressesintransversebending)

§5–4

梁的切應(yīng)力及強度條件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章彎曲應(yīng)力

(Stressesinbeams)

§5–5

提高梁強度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)mmFSM一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力

(Stressesinflexuralmembers)當梁上有橫向外力作用時,一般情況下,梁的橫截面上既又彎矩M,又有剪力FS

.§5–1

引言

(Introduction)mmFSmmM彎矩M

正應(yīng)力s只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩剪力FS

切應(yīng)力t內(nèi)力只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力所以,在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力(Normalstresses),又有切應(yīng)力(Shearstresses)二、分析方法

(Analysismethod)平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面

橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)s

ts

簡支梁CD段任一橫截面上,剪力等于零,而彎矩為常量,所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

(圖4.1b火車軸）若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量,剪力為零,則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲（Purebending)FFaaCD++FF+F.a圖5-1AB

asshowninFig5-1Thecentralregionofthis

beamhasnoshearforce（剪力）andissubjectedto

aconstantbendingmoment（彎矩）equalto

F.a.

Thisconditionofconstantbendingmomentiscalled

purebending（純彎曲）PureBending（純彎曲）BeamwithcentralregioninpurebendingFig5-1FFaaCD++FF+F.aABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形，提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力

(Normalstressesinpurebeams)一、實驗（Experiment）1、變形現(xiàn)象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近上層的縱向線縮短，靠近下層的縱向線段伸長相對轉(zhuǎn)過了一個角度,

仍與變形后的縱向弧線垂直各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2、假設(shè)

(Assumptions）平面假設(shè)變形前為平面的橫截面變形后仍保持平面，且仍垂直于梁軸線(b)單向受力假設(shè)縱向纖維不相互擠壓,只受單向拉壓，上層縮短，下層伸長。推論：必有一層變形前后長度不變的纖維——中性層（Neutralsurface）中性軸橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥

中性層觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸dx圖（b）yzxo應(yīng)變分布規(guī)律直梁純彎曲時縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比圖（a）dx二、變形幾何關(guān)系（Deformationgeometricrelation）圖（c）yρzyxo’o’b’b’ybboo三、物理關(guān)系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比應(yīng)力分布規(guī)律?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑ρ??觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸yzxOMdAzyσdA四、靜力關(guān)系

(Staticrelationship）橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系oxyz坐標這一力系簡化，得到三個內(nèi)力分量中性層的曲率半徑ρ中性軸的位置待解決問題FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得(1)(2)(3)將應(yīng)力表達式代入(1)式，得將應(yīng)力表達式代入(2)式，得將應(yīng)力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心y為橫截面的對稱軸，自然滿足觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸中性軸過橫截面形心EIz稱為抗彎剛度(Flexuralrigidity)純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩討論

(1)求應(yīng)力時,一般將M,y

以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性軸為界，梁變形后凸邊，應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號)；凹邊，應(yīng)力為壓應(yīng)力(為負號).(2)最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的點處則公式改寫為引用記號——抗彎截面系數(shù)（3）矩形截面為例導出公式，并沒用特性，只要梁有對稱面，載荷在對稱面都適用，與截面形狀無關(guān)矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdyzy（4）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力當梁上有橫向力作用時,橫截面上既又彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲(Nonuniformbending)§5–3

橫力彎曲時的正應(yīng)力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)橫力彎曲時,梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲,橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力,純彎曲時所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.一、橫力彎曲(Nonuniformbending)雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異,但進一步的分析表明,工程中常用的梁,純彎曲時的正應(yīng)力計算公式,可以精確的計算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力.等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力公式為二、公式的應(yīng)用范圍

(Theapplicablerangeoftheflexureformula)

1、

在彈性范圍內(nèi)(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)

3、平面彎曲（Planebending）4、直梁（Straightbeams）2、具有切應(yīng)力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、強度條件（Strengthcondition)：梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力1、數(shù)學表達式（Mathematicalformula)2、強度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)(2)設(shè)計截面(3)確定許可載荷(1)強度校核對于鑄鐵等

脆性材料

(Brittlematerials)制成的梁,由于材料的且梁橫截面的中性軸

(Neutralaxis)

一般也不是對稱軸,所以梁的(兩者有時并不發(fā)生在同一橫截面上)要求分別不超過材料的許用拉應(yīng)力(Allowabletensilestress)和許用壓應(yīng)力

(Allowablecompressivestress)

例題1螺栓壓板夾緊裝置如圖所示（P144圖5.5a）.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]＝140MP.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解

(1)作出彎矩圖的最大彎矩為Fa(2)求慣性矩，抗彎截面系數(shù)(3)求許可載荷80y1y22020120z例題2T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[t]=30MPa,抗壓許用應(yīng)力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸Z的慣性矩為Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mRARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z例題3由n片薄片組成的梁zbFlh當每片間的磨擦力甚小時,每一薄片就獨立彎曲每一薄片中的最大正應(yīng)力等于近似地認為每片上承擔的外力等于zbFlh若用剛度足夠的螺栓將薄片聯(lián)緊,桿就會象整體梁一樣彎曲最大正應(yīng)力等于作業(yè)（劉鴻文）5-25-75-85-12一、梁橫截面上的剪應(yīng)力（Shearstressesinbeams）1、矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)

§5–4

梁的切應(yīng)力及強度條件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)(1)兩個假設(shè)(Twoassumptions)(a)剪應(yīng)力與剪力平行(b)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布(即矩中性軸等距離處剪應(yīng)力相等)

q(x)F1F2mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(Analysismethod)(a)用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等.(b)假想地從梁段上截出體積元素mB1在兩端面mA1,nB1上兩個法向內(nèi)力不等.ABB1A1mnxzyym’q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1mnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在縱截面上必有沿x

方向的切向內(nèi)力dFs’.故在此面上就有切應(yīng)力τABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根據(jù)假設(shè)橫截面上距中性軸等遠的各點處剪應(yīng)力大小相等.各點的剪應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推導(Derivationoftheformula)假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM.兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2.A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積式中：為面積A*對中性軸的靜矩.化簡后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型截面的寬度yz整個橫截面對中性軸的慣性矩距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩(4)剪應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定y1nBmAxyzOyA1B1m1可見,剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2(即在橫截面上距中性軸最遠處)τ=0y=0(即在中性軸上各點處),剪應(yīng)力達到最大值式中,A=bh,為矩形截面的面積.z截面靜矩的計算方法A為截面面積為截面的形心坐標A*2、工字形截面梁（工-sectionbeam)假設(shè)求應(yīng)力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同,剪應(yīng)力的計算公式亦為HoyBxbzhd

——腹板的厚度Ozydxy——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.τminozyτmaxτmax(a)腹板上的剪應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化.(b)最大剪應(yīng)力也在中性軸上.這也是整個橫截面上的最大剪應(yīng)力.ozyτminτmax式中——中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩.ydzo假設(shè)(a)沿寬度kk’上各點處的剪應(yīng)力均匯交于o’點.(b)各點處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.在截面邊緣上各點的剪應(yīng)力的方向與圓周相切.3、圓截面梁(Beamofcircularcrosssection)最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上ydzo式中為圓截面的面積4、圓環(huán)形截面梁(Circularpipebeam)圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為,環(huán)的平均半徑為r0,由于

?r0故可假設(shè)(a)橫截面上剪應(yīng)力的大小沿壁厚無變化.(b)剪應(yīng)力的方向與圓周相切.zyr0δ式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的剪應(yīng)力發(fā)生中性軸上,其值為zyr0δ二、強度條件（Strengthcondition）三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短,M

較小,而FS較大時,要校核剪應(yīng)力.（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時,要校核剪應(yīng)力.（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核剪應(yīng)力.F例題4一簡易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa,許用彎曲剪應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁力

P在梁中間位置時有最大正應(yīng)力.(a)正應(yīng)力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為+FSmax5mABFC(b)切應(yīng)力強度校核在計算最大剪應(yīng)力時,應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因為此時該支座的支反力最大,而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中,20a號工字鋼,有d=7mm據(jù)此校核梁的剪應(yīng)力強度以上兩方面的強度條件都滿足,所以此梁是安全的.解(1)計算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例題5簡支梁AB如圖所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的載荷為q＝10kN/m,F＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,試選擇工字鋼型號.(2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表,選用22a工字鋼,其Wz＝309cm3（3）校核梁的切應(yīng)力腹板厚度

d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過[τ]很多，應(yīng)重新選擇更大的界面.現(xiàn)已25b工字鋼進行試算查表得d=1cm所以應(yīng)選用型號為25b的工字鋼.例題6對于圖中的吊車大梁,現(xiàn)因移動荷載F增加為50kN,故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度2.2mm的鋼板加強加強段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa,許用剪應(yīng)力[]=95MPa.試校核此梁的強度.2.2m200z22012010解加強后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核(3)F移至未加強的梁段在截面變化處的正應(yīng)力(2)F靠近支座時支座截面上的剪應(yīng)力(1)F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應(yīng)力(1)校核F位于跨中時截面時的彎曲正應(yīng)力查表得20a工字鋼F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強板對其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數(shù)(2)校核突變截面處的正應(yīng)力,也就是校核未加強段的正應(yīng)力強度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mR