第3講：非線性時(shí)間序列模型

第3講：非線性時(shí)間序列模型3.1一般非線性時(shí)間序列模型介紹3.2

條件異方差模型3.1一般非線性時(shí)間序列模型介紹在非線性時(shí)間序列分析中，選擇合適的非線性模型是首要工作。一般的非線性模型有如下形式：其中，

為滿足某些解析條件的非線性函數(shù)，為白噪聲序列。一些特殊的非線性時(shí)間序列模型（1）雙線性模型其中，為非負(fù)整數(shù)，為白噪聲序列。注：當(dāng)所有都為零時(shí)，上式表示的就是ARMA(p,q)模型。因此雙線性模型就是在ARMA模型基礎(chǔ)上添加了表現(xiàn)非線性特征的乘積交叉項(xiàng)?？紤]如下簡單的雙線性模型上述模型可以看作是自回歸系數(shù)為的AR(1)模型，只是此時(shí)的自回歸系數(shù)比較特殊，是個(gè)隨機(jī)變量。（2）可加非線性自回歸模型其中，為常數(shù)，為個(gè)一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。（3）函數(shù)系數(shù)自回歸模型其中，為常數(shù)，為個(gè)一元非參數(shù)型的未知函數(shù)，為白噪聲序列。3.2

條件異方差模型在自回歸移動(dòng)平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題，由于針對(duì)平穩(wěn)序列，實(shí)際上假定任一時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)的期望值是相同的，一般為0，同時(shí)假定任一隨機(jī)誤差項(xiàng)平方的期望值就是隨機(jī)誤差的方差，即同方差。但是在金融市場上，金融資產(chǎn)報(bào)酬序列具有這樣的特性，大的報(bào)酬緊連著大的報(bào)酬，小的報(bào)酬緊連著小的報(bào)酬，稱為波動(dòng)集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動(dòng)集群性表明報(bào)酬波動(dòng)是時(shí)變的，表明是異方差。異方差雖然不會(huì)影響回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)的無偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。圖1收益絕對(duì)值序列(1995-2000年日元兌美元匯率)這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時(shí)間變化，而且有時(shí)變化得很激烈（異方差）；（2）按時(shí)間觀察，表現(xiàn)出“波動(dòng)集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時(shí)段中比較小，而在另一時(shí)段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖2給出高峰厚尾分布示意圖。圖2高峰厚尾分布示意圖顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動(dòng)”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（

Engle(恩格爾)，1982）。ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時(shí)刻一個(gè)噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量(即為條件異方差)。并且這個(gè)隨時(shí)間變化的方差是過去有限項(xiàng)噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(1)如果

ut

的均值為零，對(duì)yt

取基于(t-1)時(shí)刻的信息Ωt-1的期望，即E(yt|Ωt-1)，有如下的關(guān)系：

(2)由于yt

的均值近似等于式（1）的估計(jì)值，所以式（1）也稱為均值方程。

假設(shè)在時(shí)刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動(dòng)項(xiàng)ut的條件分布是：

(3)也就是，ut

遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。

由于(3)中ut

的方差依賴于前期的平方擾動(dòng)項(xiàng)，我們稱它為ARCH(1)過程：通常用極大似然估計(jì)得到參數(shù)0,1,2,,k,0,1的有效估計(jì)。容易加以推廣，ARCH

(q)過程可以寫為：

(4)這時(shí)方差方程中的(q+1)個(gè)參數(shù)0,1,2,,q也要和回歸模型中的參數(shù)0,1,2,,k一樣，利用極大似然估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。

在ARCH(q)

過程中，為使ut2方差平穩(wěn)，所以進(jìn)一步要求相應(yīng)的特征方程（5）的根全部位于單位圓外。如果i（i=1,2,…,q）都非負(fù)，式（5）等價(jià)于1+2+…+q1。ARCH模型主要的優(yōu)點(diǎn)ARCH模型突破了傳統(tǒng)時(shí)間序列模型中同方差的假設(shè)并更好地與金融實(shí)際相結(jié)合：（1）ARCH模型條件方差表達(dá)成過去干擾項(xiàng)的回歸函數(shù)形式，這種形式恰好能反映金融市場波動(dòng)集聚性特點(diǎn)，即較大幅度的波動(dòng)后緊接著較大幅度的波動(dòng)，較小幅度的波動(dòng)后緊接著較小幅度的波動(dòng)；（2）ARCH能描述金融市場上資產(chǎn)收益率變量的厚尾性；（3）序列存在ARCH效應(yīng)時(shí)，直接用最小二乘法估計(jì)參數(shù)會(huì)產(chǎn)生偏差，使用ARCH模型可以在一定程度上避免此偏差，提高參數(shù)的估計(jì)精度，提高預(yù)測精度。ARCH模型主要的缺陷：（1）在實(shí)際應(yīng)用中為得到更好的擬合效果常常需要很大的階數(shù)q，此增大的計(jì)算量；（2）條件方差假設(shè)為線性函數(shù)，而現(xiàn)實(shí)中線性情況只是特例。GARCH模型若在干擾項(xiàng)本期條件方差的決定模型中引入條件方差本身的滯后值，如，便得到最簡單的GARCH（1,1）模型，即：

模型中給出的條件方差方程是下面三項(xiàng)的函數(shù)：（1）常數(shù)項(xiàng)：（2）用均值方程的殘差平方的一階滯后量來度量從前期得到的波動(dòng)性的信息：（ARCH項(xiàng)）。（3）上一期的預(yù)測方差：（GARCH項(xiàng)）。

進(jìn)一步擴(kuò)展，GARCH(p,q)模型是指：

即模型中有條件方差的p階滯后和誤差平方項(xiàng)的q階滯后。相對(duì)于ARCH模型，GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于：可以用低階的GARCH模型來代表高階的ARCH模型，從而使得模型的識(shí)別和估計(jì)都變得比較容易。GARCH模型僅僅包含三個(gè)參數(shù)就可以表達(dá)ARCH存在的無窮多個(gè)參數(shù)的方程。除了上述GARCH模型之外，ARCH模型主要還有一些一些推廣形式：（1）ARCH-M模型：描述資產(chǎn)預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)聯(lián)；（2）TARCH和EGARCH模型：都可以用來描述信息非對(duì)稱性。

ARCH類模型分析檢驗(yàn)的一般步驟ARCH族模型分析一般包括如下五個(gè)主要步驟：

第一步，考察時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。檢驗(yàn)序列值的均值、方差、峰度（描述分布形態(tài)的陡緩程度，尾部的厚度）、偏度（相對(duì)于均值不對(duì)稱程度）及Jarque-Bera（正態(tài)分布檢驗(yàn)）等指標(biāo)，從而分析其正態(tài)性。如果序列顯示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈偏態(tài)、峰度系數(shù)大于3）、Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量顯示其具有非正態(tài)性，則可初步表明，序列可能存在ARCH現(xiàn)象。

第二步，序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)只有時(shí)間序列是平穩(wěn)的，即其隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化，那么我們才可以利用經(jīng)典線形回歸方法來對(duì)其進(jìn)行接下來的研究。在此部分采用ADF來對(duì)平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。如果ADF統(tǒng)計(jì)量小于相應(yīng)的臨界值，則序列是平穩(wěn)的。如果ADF統(tǒng)計(jì)量大于相應(yīng)的臨界值，則表明序列非平穩(wěn)。第三步，確定均值方程，正式檢驗(yàn)殘差序列是否確實(shí)存在自回歸條件異方差。在對(duì)序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，驗(yàn)證其為平穩(wěn)序列后，用其前期值的自回歸模型表示均值方程，即：其滯后階數(shù)p可用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)來確定，各參數(shù)可以用最小二乘法（OLS）求得?？梢酝ㄟ^ARCH-LM檢驗(yàn)考察是否存在ARCH現(xiàn)象。該方法是對(duì)殘差平方按如下方程進(jìn)行回歸：進(jìn)而得到回歸可決系數(shù)R2?？梢宰C明TR2服從，其中T為觀察值的個(gè)數(shù)。故若TR2大于一定顯著性水平下的臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：