金融工程鄭振龍第14章期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值

14.0期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值在前面幾章中，我們簡要分析了決定和影響期權(quán)價格的主要因素，以及這些因素對期權(quán)價格的影響方向。在這章我們將把各種因素對期權(quán)價格的影響程度量化，即計算出期權(quán)價格對這些因素的敏感性。本章將介紹期權(quán)價格對其標的資產(chǎn)價格、到期時間、波動率和無風險利率四個參數(shù)的敏感性指標，并以此為基礎(chǔ)討論相關(guān)的動態(tài)套期保值問題。1Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1Delta與期權(quán)的套期保值期權(quán)的Delta（）用于衡量期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格變動的敏感度，它等于期權(quán)價格變化與標的資產(chǎn)價格變化的比率。準確地說，它是表示在其它條件不變情況下，標的資產(chǎn)價格的微小變動所導致的期權(quán)價格的變動。用數(shù)學語言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格的偏導數(shù)。從幾何上看，它是期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格關(guān)系曲線的切線的斜率。2Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.1期權(quán)Delta值的計算令f表示期權(quán)的價格，S表示標的資產(chǎn)的價格，表示期權(quán)的Delta，則：

據(jù)此我們可以算出無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的值為：無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的值為：3Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析從概率分布的性質(zhì)可知，，因此無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的值總在0與1之間；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的值則總是在-1到0之間。反過來，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭值就總在-1和0之間；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)空頭的值則總在0與1之間。4Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)值與標的資產(chǎn)價格的關(guān)系

5Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與到期期限之間的關(guān)系

14.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析6Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系

14.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析7Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.3證券組合的Delta值當證券組合中含有標的資產(chǎn)、該標的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭寸時，該證券組合的值就等于組合中單個資產(chǎn)值的總和（注意這里的標的資產(chǎn)都應該是相同的）：

其中，wi表示第i種證券的數(shù)量，表示第i種證券值。8Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.4Delta中性狀態(tài)與套期保值由于標的資產(chǎn)和相應的衍生證券可取多頭或空頭，因此其值可正可負。這樣，若組合內(nèi)標的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當?shù)脑挘麄€組合的值就可能等于0。我們稱值為0的證券組合處于中性狀態(tài)。當證券組合處于中性狀態(tài)時，組合的價值在短時間內(nèi)不受標的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)相對于標的資產(chǎn)價格的套期保值。但值得強調(diào)的是，除了標的資產(chǎn)本身和遠期合約的值恒等于1，其他衍生產(chǎn)品的值可能隨時不斷變化。因此證券組合處于中性狀態(tài)只能維持一個很短的時間。所以，我們只能說，當證券組合處于中性狀態(tài)時，該組合價值在一個“短時間”內(nèi)不受標的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)了“瞬時”套期保值。(案例14.1)9Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.4Delta中性狀態(tài)與套期保值如果出售一份看漲期權(quán)，就需要買入一份看漲期權(quán)或是通過中性構(gòu)造一個“合成的看漲期權(quán)多頭”，收入和費用相抵消，套期保值到底有何意義呢？對于一個穩(wěn)健經(jīng)營的金融機構(gòu)來說，不能讓自己處于風險暴露中而不作為，而中性套期保值方法就提供了風險管理的一種手段。首先，專業(yè)的金融運營和風險運營機構(gòu)，往往能夠以比市場價格優(yōu)惠的費率進行套期保值。其次，一家高效運營的現(xiàn)代金融機構(gòu)，往往先在總資產(chǎn)組合層面上計算對某一標的資產(chǎn)的凈值，先在公司內(nèi)部實現(xiàn)初步的風險對沖，再到外部市場上進行凈值的套期保值，從而可以降低套期保值的成本。最后，金融機構(gòu)可以結(jié)合自身的資產(chǎn)狀況、市場預期和風險目標來管理指標，不同目標值的設定就可以實現(xiàn)不同風險管理策略。10Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2Theta與套期保值期權(quán)的Theta（）用于衡量期權(quán)價格對時間變化的敏感度，是在其它條件不變情況下期權(quán)價格變化與時間變化的比率，即期權(quán)價格對時間t的偏導數(shù)。11Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.1期權(quán)Theta值的計算根據(jù)B-S-M期權(quán)定價公式，對于無收益資產(chǎn)的歐式和美式看漲期權(quán)而言：對于無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)而言：12Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.2期權(quán)Theta值的性質(zhì)和特征分析當越來越臨近到期日時，期權(quán)的價值逐漸衰減，因此期權(quán)的常常是負的。它代表的是期權(quán)的價值隨著時間推移而變化的程度。期權(quán)的值同時受S、T-t、r和的影響。

無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)Theta值與S的關(guān)系

無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)Theta值與有效期之間的關(guān)系

13Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.3Theta與套期保值由于時間的推移是確定的，沒有風險可言。因此無需對時間進行套期保值。但值與及下文的Gamma值有較大關(guān)系。同時，在期權(quán)交易中，尤其是在差期交易中，由于值的大小反映了期權(quán)購買者隨時間推移所損失的價值，因而無論對于避險者、套利者還是投資者而言，值都是一個重要的敏感性指標。14Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3Gamma與套期保值期權(quán)的Gamma（）是一個與聯(lián)系密切的敏感性指標，可以認為是的敏感性指標，它用于衡量該證券的值對標的資產(chǎn)價格變化的敏感度，它等于期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格的二階偏導數(shù)，也等于期權(quán)的對標的資產(chǎn)價格的一階偏導數(shù)。從幾何上看，它反映了期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格關(guān)系曲線的凸度。15Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.1期權(quán)Gamma值的計算根據(jù)B-S-M無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)定價公式，我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值為：16Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.2期權(quán)Gamma值的性質(zhì)和特征分析無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與S的關(guān)系

無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與T-t的關(guān)系

17Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.3證券組合的Gamma值標的資產(chǎn)及遠期和期貨合約的值均為0。這意味著只有期權(quán)有值。因此，當證券組合中含有標的資產(chǎn)和該標的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品時，該證券組合的值就等于組合內(nèi)各種期權(quán)值與其數(shù)量乘積的總和：其中，wi表示第i種期權(quán)的數(shù)量，表示第i種期權(quán)的值。18Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.4Gamma中性狀態(tài)由于期權(quán)多頭的值總是正的，而期權(quán)空頭的值總是負的，因此若期權(quán)多頭和空頭數(shù)量配合適當?shù)脑挘M合的值就等于零。我們稱值為零的證券組合處于中性狀態(tài)。19Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.5Delta、Theta和Gamma之間的關(guān)系我們曾討論過無收益資產(chǎn)的看漲期權(quán)價格f必須滿足B-S-M微分方程又因為因此有：

該公式對無收益資產(chǎn)的單個期權(quán)和多個期權(quán)組合都適用。20Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.5Delta、Theta和Gamma之間的關(guān)系Delta、Theta和Gamma三者之間的符號關(guān)系

21Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的Vega（）用于衡量該證券的價值對標的資產(chǎn)價格波動率的敏感度，它等于期權(quán)價格對標的資產(chǎn)價格波動率的偏導數(shù)：

對無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)而言：22Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的Vega值與S的關(guān)系

23Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值當我們調(diào)整期權(quán)頭寸使證券組合處于中性狀態(tài)時，新期權(quán)頭寸會同時改變證券組合的值，因此，若套期保值者要使證券組合同時達到中性和中性，至少要使用同一標的資產(chǎn)的兩種期權(quán)。其中下標p、1和2分別代表資產(chǎn)組合、期權(quán)1和期權(quán)2的相關(guān)參數(shù)。24Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的RHO用于衡量期權(quán)價格對利率變化的敏感度，它等于期權(quán)價格對利率的偏導數(shù)：

對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)而言對于無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)而言期貨價格的rho值為：25Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.5交易費用與套期保值