量子力學(xué)-71量子態(tài)的不同表象和幺正變換

*第7章量子力學(xué)中的矩陣形式與表象變換

一、直角坐標(biāo)系中的類比

取平面直角坐標(biāo)系x1x2的基矢為e1和e2,長(zhǎng)度為1，彼此正交

標(biāo)積

我們將其稱之為基矢的正交歸一關(guān)系.平面上的任一矢量

可以用它們來(lái)展開(kāi)A1、A2代表A在坐標(biāo)系中的投影.稱為矢量A在坐標(biāo)系x1x2中的表示.7.1量子態(tài)的不同表象，么正變換

二、坐標(biāo)系順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

現(xiàn)在將坐標(biāo)系x1x2順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，得到

x1′x2′,其基矢為e1′和e2′,滿足在此坐標(biāo)系中,矢量A表示成其中投影分量是

同一個(gè)矢量A在兩個(gè)坐標(biāo)系中的表示有什么關(guān)系？根據(jù)(2)和(2')式上式分別用e1′和e2′點(diǎn)乘,得表成矩陣的形式為或記為把A在兩坐標(biāo)中的表示聯(lián)系起來(lái)的變換矩陣

矩陣R的矩陣元是兩個(gè)坐標(biāo)系的基矢之間的標(biāo)積，它表示基矢之間的關(guān)系.故當(dāng)R給定，則任何一個(gè)矢量在兩坐標(biāo)系間的關(guān)系也隨之確定.

三、變換矩陣的性質(zhì)變換矩陣R具有下述性質(zhì)：是R的轉(zhuǎn)置矩陣真正交矩陣（實(shí)矩陣）

四、不同表象中基矢的關(guān)系量子態(tài)和力學(xué)量(算符)的不同表示形式,稱為表象。

形式上與此類似，在量子力學(xué)中，按態(tài)疊加原理，任何一個(gè)量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間中的一個(gè)“矢量”.體系的任何一組對(duì)易力學(xué)量完全集F的共同本征態(tài)，可以用來(lái)構(gòu)成此空間的一組正交歸一完備的基矢（稱為F表象）對(duì)于任意態(tài)矢量y

，可以用它們展開(kāi)

其中這一組數(shù)

就是態(tài)(矢)在F表象中的表示，它們分別是態(tài)矢y與各基矢的標(biāo)積.與平常解析幾何不同的是：①這里的“矢量”(量子態(tài))一般是復(fù)量；②空間維數(shù)可以是無(wú)窮的，甚至不可數(shù)的.現(xiàn)在考慮同一個(gè)態(tài)y在另一組力學(xué)量完全集

F′中的表示.F′表象的基矢,即F′的本征態(tài)y'a

,它們滿足正交歸一性對(duì)于任意態(tài)矢量y

，可以用它們展開(kāi)

這一組系數(shù)

就是態(tài)(矢)y在F'表象中的表示，顯然(14)左乘(取標(biāo)積),得與有何關(guān)系？其中

F′表象基矢與F表象基矢的標(biāo)積

(15)式也可以寫(xiě)成矩陣的形式：簡(jiǎn)記為

式(17)就是同一個(gè)量子態(tài)在F′表象中的表示與它在F表象中表示的關(guān)系，它們通過(guò)S矩陣相聯(lián)系，且

變換矩陣S為么正(unitary)矩陣矩陣，此變換也稱為么正變換.

一、直角坐標(biāo)系中的類比

仍以平面矢量作類比（逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)q角）在坐標(biāo)系x1x2中，它們分別表示成令*7.2力學(xué)量（算符）的矩陣表示寫(xiě)成分量的形式，有分別點(diǎn)乘上式得即（2）式的矩陣表示

把矢量逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)q角的操作可用R(q)刻畫(huà)它的矩陣元是描述基矢在旋轉(zhuǎn)下如何變化的.例如第一列元素

與上類比,設(shè)量子態(tài)y經(jīng)過(guò)算符運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài)f在F表象中,上式表示為兩邊左乘,取標(biāo)積，得其中

式(6)表示成矩陣形式則為[分析]：不同體系的Hamilton量不一樣，能量表象的基矢也不一樣.這里能量表象的基矢為一維諧振子Hamilton量的本征函數(shù)

解：利用一維諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系

二、例：求一維諧振子的坐標(biāo)x、動(dòng)量p以及Hamilton量

H在能量表象中的表示.可以計(jì)算出注意：這里的m、n都是由0開(kāi)始取值.這樣而所以是一個(gè)對(duì)角矩陣

任何力學(xué)量在自身表象中的表示都是對(duì)角矩陣.

三、力學(xué)量的表象變換F表象（基矢yk）中，力學(xué)量L表示為矩陣（Lkj）,矩陣元F′表象（基矢ya）中，力學(xué)量L表示為矩陣（L'ab）,矩陣元得即在F和F′表象中的矩陣表示分別表示力學(xué)量是從F表象→F′表象的么正變換

三、總結(jié)與比較量子態(tài)力學(xué)量表象（基矢）表象（基矢）7.3.1Schr?dinger方程在F表象中(設(shè)F本征值為離散)

代入（1）式得

兩邊左乘，取標(biāo)積，得7.3量子力學(xué)的矩陣形式寫(xiě)成矩陣的形式是此即F表象中的Schr?dinger方程.7.3.2平均值，力學(xué)量(算符)

在量子態(tài)的平均值為特例若,即在自身表象中，則在y態(tài)下7.3.3本征方程的本征方程為

算符用代入兩邊左乘，取標(biāo)積，得即這是ak的齊次線性方程組.

方程組有非平庸解的條件是系數(shù)行列式為零，即明顯寫(xiě)出：如表象空間的維數(shù)為N，則上式是關(guān)于的N次方程，有N個(gè)實(shí)根.記為分別用代入式（8），可求出相應(yīng)的解可以得到

表成列矢的形式為注意：若有重根，則會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)并（不同的態(tài)對(duì)應(yīng)相同的能級(jí)），簡(jiǎn)并態(tài)還不能唯一確定.7.4.1左矢(bra)和右矢(ket)Dirac符號(hào)的優(yōu)點(diǎn)1.毋需采用具體表象2.運(yùn)算簡(jiǎn)捷Hilbert空間：由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成.

在這個(gè)空間中，態(tài)用右矢

表示，一般寫(xiě)為

也可以在右矢內(nèi)填上相應(yīng)的量子數(shù)或本征值來(lái)表示相應(yīng)的態(tài)，如7.4Dirac符號(hào)分別表示坐標(biāo)、動(dòng)量和能量算符的本征態(tài).

表示角動(dòng)量算符

的共同本征態(tài).左矢如

等,則是上述右矢的共軛態(tài)矢.

7.4.2標(biāo)積而定義兩個(gè)態(tài)矢

和

的標(biāo)積的形式為若滿足

則稱

與

正交。

若滿足

則稱

為歸一化態(tài)矢。

若力學(xué)量完全集F的本征態(tài)(離散)記為

則其正交歸一性可寫(xiě)為對(duì)連續(xù)譜，比如坐標(biāo)算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫(xiě)為而動(dòng)量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫(xiě)為7.4.3態(tài)矢在具體表象中的表示1.離散譜的情況展開(kāi)系數(shù)在

它是

上的投影.用列矢表示為可用展開(kāi)，即在F表象中(基矢記為),任意態(tài)矢量

(4)式代入(3)式,得表示，即是一個(gè)投影算符，用(5)式中式(5)中是任意的,因此

我們稱算符I為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)，通過(guò)以后的學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)它有著非常重要的意義.2.連續(xù)譜的情況在這種情況下,上述的求和要用積分代替.比如：運(yùn)算后，就得到態(tài)矢它對(duì)任何態(tài)矢在基矢方向上的分量矢量3.兩個(gè)態(tài)矢之間的標(biāo)積寫(xiě)法在F表象中，兩個(gè)態(tài)矢

和

之間的標(biāo)積可如下計(jì)算：7.4.4算符在具體表象中的表示在F表象中，

的矩陣元是(11)左乘得設(shè)態(tài)矢經(jīng)算符的作用后變成態(tài)矢,即即在F表象中的表示為即力學(xué)量L的本征方程基矢方向的投影.

是在F表象的分別是態(tài)矢在F表象中的表示式(15)寫(xiě)成矩陣的形式，有7.4.5Schr?dinger方程Schr?dinger方程可寫(xiě)為在F表象中表示如下：即的平均值用Dirac符號(hào)表示為在態(tài)下，7.4.6表象變換1.態(tài)的表象變換態(tài)

在F表象中用

描述，在F′表象中用

描述，則此兩個(gè)表示之間的關(guān)系可由下式給出(利用(8)式)即式中是從F→F'表象的變換，描述兩個(gè)表象的基矢之間的關(guān)系。寫(xiě)成矩陣的形式，有可以簡(jiǎn)寫(xiě)成其中S為么正矩陣，即滿足下面用Dirac符號(hào)來(lái)證明上式證明：在F表象中同理可證

2.算符的表象變換算符

在F表象中的矩陣元為在F'表象中的矩陣元為而寫(xiě)成矩陣的形式是分別為

在F'和F表象中的矩陣以下討論連續(xù)譜表象，特別是坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象(1)在x表象中x的矩陣元很容易寫(xiě)出本征方程為本征態(tài)的正交歸一關(guān)系為任一量子態(tài)在x表象中表示為通常記為在x表象中，坐標(biāo)本征態(tài)（本征值為x'）表示為而動(dòng)量本征態(tài)(本征值為p')表示為類似可以給出動(dòng)量的本征方程和本征態(tài)的正交歸一關(guān)系為在動(dòng)量表象中，動(dòng)量本征態(tài)(本征值為p')表示為坐標(biāo)本征態(tài)(本征值為x')表示為(2)坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象的變換在坐標(biāo)表象中，力學(xué)量的“矩陣”表示如下，例如，坐標(biāo)x矩陣表示為而動(dòng)量p的“矩陣”表示為與此類似,可計(jì)算出,在動(dòng)量表象中動(dòng)量的“矩陣”表示而坐標(biāo)x的“矩陣”表示為3.力學(xué)量在不同表象中的平均值在量子態(tài)