結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)ⅡSTRUCTUREMECHANICS南華大學(xué)建資學(xué)院道橋教研室1a結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅱ講授：劉華良課件制作：劉華良南華大學(xué)建資學(xué)院道橋教研室衡陽(yáng)2005年2a第八章位移法

(DisplacementMethod)3a等截面直桿的物理方程位移法的根本概念位移法根本未知量數(shù)目確實(shí)定位移法的兩種思路:位移法典型方程和直接平衡方程剪力靜定桿的求算對(duì)稱性的利用有側(cè)移的斜柱剛架溫度改變時(shí)的計(jì)算支座移動(dòng)的計(jì)算本章小結(jié)彈性支座問(wèn)題聯(lián)合法和混合法課堂練習(xí)內(nèi)容4a求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種最根本的方法： 力法位移法力法適用性廣泛，解題靈活性較大?！部蛇x用各種各樣的根本結(jié)構(gòu)〕。位移法在解題上比較標(biāo)準(zhǔn)，具有通用性，因而計(jì)算機(jī)易于實(shí)現(xiàn)。位移法可分為：手算——位移法 電算——矩陣位移法

位移法的根本概念5a力法與位移法最根本的區(qū)別：根本未知量不同力法：以多余未知力根本未知量位移法：以某些結(jié)點(diǎn)位移根本未知量6a解題過(guò)程：超靜定結(jié)構(gòu)拆成根本結(jié)構(gòu)加上某些條件原結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件〔力法根本方程〕力法：先求多余未知力結(jié)構(gòu)內(nèi)力結(jié)構(gòu)位移力法和位移法的解題思路：7a位移法：先求某些結(jié)點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)內(nèi)力解題過(guò)程：結(jié)構(gòu)拆成單根桿件的組合體加上某些條件1.桿端位移協(xié)調(diào)條件2.結(jié)點(diǎn)的平衡條件8a適用范圍：力法:超靜定結(jié)構(gòu)位移法：超靜定結(jié)構(gòu)，也可用于靜定結(jié)構(gòu)。

一般用于結(jié)點(diǎn)少而桿件較多的剛架。例：9a

用位移法計(jì)算圖示剛架。在受彎桿件中，略去桿件的軸向變形和剪切變形的影響。假定受彎桿兩端之間的距離保持不變。

為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，作如下計(jì)算假定：10a

由此可知，結(jié)點(diǎn)1只有轉(zhuǎn)角Z1，而無(wú)線位移，匯交于結(jié)點(diǎn)1的兩桿桿端也應(yīng)有同樣的轉(zhuǎn)角Z1。

整個(gè)剛架的變形只要用未知轉(zhuǎn)角Z1來(lái)描述，如果能設(shè)法求得轉(zhuǎn)角Z1，即可求出剛架的內(nèi)力。11a

為了求出Z1值，可先對(duì)原結(jié)構(gòu)作些修改這樣，原結(jié)構(gòu)就被改造成兩個(gè)單跨梁：

lB是兩端固定梁，1A是一端固定、另端鉸支梁。1A1B根本體系根本結(jié)構(gòu)P12a在根本結(jié)構(gòu)上加上原來(lái)的力P，由于附加剛臂不允許結(jié)點(diǎn)1轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)只有梁lB發(fā)生變形，梁1A那么不變形。此時(shí)附加剛臂中產(chǎn)生了反力矩R1P，反力矩規(guī)定以順時(shí)針為正。于是，根本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)就發(fā)生了差異，表現(xiàn)為：1．由于加了約束，使結(jié)點(diǎn)1不能轉(zhuǎn)動(dòng)，而原來(lái)是能轉(zhuǎn)動(dòng)的。根本結(jié)構(gòu)PR1P13a2．由于加了約束，產(chǎn)生了約束反力矩，而原來(lái)是沒(méi)有這個(gè)約束反力矩的。為了消除根本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的差異，在結(jié)點(diǎn)1的附加約束上人為地加上一個(gè)外力矩R11，迫使結(jié)點(diǎn)1正好轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)轉(zhuǎn)角Z1，于是變形復(fù)原到原先給定的結(jié)構(gòu)。R11Z1Z114aR11Z1Z1根本結(jié)構(gòu)PR1P=+15a

結(jié)點(diǎn)1正好轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)角Z1時(shí)，所加的附加約束不再起作用，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：R1=0

即外荷載和應(yīng)有的轉(zhuǎn)角Z1共同作用于根本結(jié)構(gòu)時(shí)，附加約束反力矩等于零。

根據(jù)疊加原理，共同作用等于單獨(dú)作用的疊加：R1＝R11＋R1P=0〔a)R11為強(qiáng)制使結(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1時(shí)所產(chǎn)生的約束反力矩。

R1P為荷載作用下所產(chǎn)生的約束反力矩。16a為了將式(a)寫成未知量Z1的顯式，將R11寫為

為單位轉(zhuǎn)角（Z1＝1）產(chǎn)生的約束反力矩。R11=r11Z1Z1=117a式〔a〕變?yōu)槠湮锢硪饬x是，根本結(jié)構(gòu)由于轉(zhuǎn)角Z1及外荷載共同作用，附加剛臂1處所產(chǎn)生的約束反力矩總和等于零。由此方程可得可見，只要有了系數(shù)及自由項(xiàng)R1P，Z1值很容易求得。18a

為了確定上式中的R1P和，可先用力法分別求出各單跨超靜定梁在梁端、柱頂1處轉(zhuǎn)動(dòng)Z1=1時(shí)產(chǎn)生的彎矩圖及外荷載作用下產(chǎn)生的彎矩圖。19ar11Z1=120aP1AR1PPMP圖21a

現(xiàn)取圖、MP圖中的結(jié)點(diǎn)1為隔離體，由力矩平衡方程，求出：22a將這些結(jié)果代入位移法根本方程中解方程，即得最后，根據(jù)疊加原理，即可求出最后彎矩圖。23a1.在原結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的結(jié)點(diǎn)上設(shè)置附加約束，使結(jié)點(diǎn)固定，從而得到根本結(jié)構(gòu)，然后加上原有的外荷載；通過(guò)上述兩個(gè)步驟，使根本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的受力和變形完全相同，從而可以通過(guò)根本結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。綜上所述，位移法的根本思路是：２.人為地迫使原先被“固定〞的結(jié)點(diǎn)恢復(fù)到結(jié)構(gòu)原有的位移。24aABAB位移法中的基本單跨梁等截面直桿的物理方程25a1.轉(zhuǎn)角位移方程

Slope-DeflectionEquation由線性小變形，由疊加原理可得

單跨超靜定梁在荷載、溫改和支座移動(dòng)共同作用下xyP+++t1t2符號(hào)規(guī)定:桿端彎矩---繞桿端順時(shí)針為正桿端剪力---同前桿端轉(zhuǎn)角---順時(shí)針為正桿端相對(duì)線位移---使桿軸順時(shí)針轉(zhuǎn)為正固端彎矩轉(zhuǎn)角位移方程26a其中：稱桿件的線剛度。為由荷載和溫度變化引起的桿端彎矩，稱為固端彎矩。轉(zhuǎn)角位移方程(剛度方程)Slope-Deflection(Stiffness)Equation27aA端固定B端鉸支桿的轉(zhuǎn)角位移方程為AB28aA端固定B端定向桿的轉(zhuǎn)角位移方程為29a表示要熟記?。?！超靜定單跨梁的力法結(jié)果(1)形形載形=形常數(shù)載=載常數(shù)30a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(2)載載載31a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(3)載載載32a1超靜定單跨梁的力法結(jié)果(4)形載形載33a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(5)載載載34a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(6)載載載載35a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(7)載載載形36a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(8)載載載載37a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(9)載載載載238a超靜定單跨梁的力法結(jié)果(10)載載載39a位移法根本未知量數(shù)目確實(shí)定根本未知量:獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移.包括角位移和線位移根本結(jié)構(gòu):增加附加約束后,使得原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)不能發(fā)生位移的結(jié)構(gòu).40a典型方程法根本概念位移未知量(一些特殊情況以后結(jié)合例題討論)

結(jié)點(diǎn)位移包括角位移和線位移

獨(dú)立角位移na=剛結(jié)點(diǎn)數(shù)；獨(dú)立線位移nl=?

不考慮軸向變形時(shí)：

nl=‘剛結(jié)點(diǎn)’變成鉸，為使鉸結(jié)體系幾何不變所需加的支桿數(shù)?？紤]軸向變形時(shí)：

nl=結(jié)點(diǎn)數(shù)2–約束數(shù)總未知量n=na+nl

。手算時(shí)電算時(shí)41a1.無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)(剛架與梁不計(jì)軸向變形)根本未知量為所有剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角根本結(jié)構(gòu)為在所有剛結(jié)點(diǎn)上加剛臂后的結(jié)構(gòu)Z1Z22.有側(cè)移結(jié)構(gòu)(剛架與梁不計(jì)軸向變形)Z1Z2Z342a位移未知數(shù)確定舉例43a位移未知數(shù)確定舉例44a位移未知數(shù)確定舉例45a位移未知數(shù)確定舉例46a位移未知數(shù)確定舉例47a位移未知數(shù)確定練習(xí)48a位移法的兩種思路位移法典型方程直接按平衡條件建立位移法方程49a位移法第一種根本思路

圖示各桿長(zhǎng)度為l,EI

等于常數(shù),分布集度q,集中力FP

,力偶M

.如何求解?qFPFPM力法未知數(shù)個(gè)數(shù)為3,但獨(dú)立位移未知數(shù)只有一(A點(diǎn)轉(zhuǎn)角,設(shè)為).ΔFPFP50a位移法第一種根本思路在此根底上,由圖示結(jié)點(diǎn)平衡得利用轉(zhuǎn)角位移方程可得:51a第一種根本思路位移法思路(平衡方程法)以某些結(jié)點(diǎn)的位移為根本未知量將結(jié)構(gòu)拆成假設(shè)干具有力-位移(轉(zhuǎn)角-位移)關(guān)系的單跨梁集合分析各單跨梁在外因和結(jié)點(diǎn)位移共同作用下的受力將單跨梁拼裝成整體用平衡條件消除整體和原結(jié)構(gòu)的差異,建立和位移個(gè)數(shù)相等的方程求出根本未知量后,由單跨梁力-位移關(guān)系可得原結(jié)構(gòu)受力52a第二種根本思路

圖示各桿長(zhǎng)度為l,EI

等于常數(shù),分布集度q,集中力FP

,力偶M

.如何求解?qFPFPMΔFPFP以A點(diǎn)轉(zhuǎn)角做根本未知量,設(shè)為.在A施加限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束,以如下圖體系為根本體系(根本結(jié)構(gòu)的定義和力法相仿).53a第二種根本思路利用“載常數(shù)〞可作圖示荷載彎矩圖利用“形常數(shù)〞可作圖示單位彎矩圖

根據(jù)兩圖結(jié)點(diǎn)平衡可得附加約束反力54a第二種根本思路位移法思路(典型方程法)以位移為根本未知量,先“固定〞〔不產(chǎn)生任何位移〕考慮外因作用，由“載常數(shù)〞得各桿受力,作彎矩圖。令結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移〔無(wú)其他外因〕，由“形常數(shù)〞得各桿受力,作彎矩圖。兩者聯(lián)合原結(jié)構(gòu)無(wú)約束，應(yīng)無(wú)附加約束反力〔平衡〕.列方程可求位移。55a根本思路典型方程法：仿力法，按確定根本未知量、根本結(jié)構(gòu)，研究根本體系在位移和外因下的“反響〞，通過(guò)消除根本體系和原結(jié)構(gòu)差異來(lái)建立位移法根本方程〔平衡〕的上述方法。平衡方程法：利用等直桿在外因和桿端位移下由迭加所建立桿端位移與桿端力關(guān)系〔轉(zhuǎn)角位移〕方程

由結(jié)點(diǎn)、隔離體的桿端力平衡建立求解位移未知量的方法。56a根本思路兩種解法比照：典型方程法和力法一樣，直接對(duì)結(jié)構(gòu)按統(tǒng)一格式處理。最終結(jié)果由迭加得到。平衡方程法對(duì)每桿列轉(zhuǎn)角位移方程，視具體問(wèn)題建平衡方程。位移法方程概念清楚，桿端力在求得位移后代轉(zhuǎn)角位移方程直接可得。位移法方程：兩法最終方程都是平衡方程。整理后形式均為：57a2.平衡方程法建立位移法方程1.轉(zhuǎn)角位移方程

Slope-DeflectionEquationEI=CPADBCDZ1=12i2i4i4i3iP3Pl/1658a典型方程法根本概念根本結(jié)構(gòu)：加約束“無(wú)位移〞,能拆成桿端力-桿端位移關(guān)系“單跨梁〞的超靜定結(jié)構(gòu)。根本體系：受外因和未知位移的根本結(jié)構(gòu)。①②③④⑤59a典型方程法根本概念根本方程：外因和未知位移共同作用時(shí),附加約束沒(méi)有反力——實(shí)質(zhì)為平衡方程。外因附加反力為零未知位移60a典型方程法步驟確定獨(dú)立位移未知量數(shù)目〔隱含建立根本體系，支桿只限制線位移，限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束不能阻止線位移〕作根本未知量分別等于單位時(shí)的單位彎矩圖作外因〔主要是荷載〕下的彎矩圖由上述彎矩圖取結(jié)點(diǎn)、隔離體求反力系數(shù)61a典型方程法步驟建立位移法典型方程并且求解：按迭加法作最終彎矩圖取任意局部用平衡條件進(jìn)行校核62a例一:用位移法計(jì)算圖示剛架,并作彎矩圖.

E=常數(shù).單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下:熟記了“形、載常數(shù)〞嗎？如何求？63a圖4i4i8i2i單位彎矩圖為圖8i8i4i4i4i2i4i8i4i4i4i8i8i取結(jié)點(diǎn)考慮平衡64a荷載彎矩圖圖取結(jié)點(diǎn)考慮平衡65a位移法典型方程：最終內(nèi)力：請(qǐng)自行作出最終M圖66a例二:用位移法計(jì)算圖示剛架,并作彎矩圖.

E=常數(shù).單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下:熟記了“形、載常數(shù)〞嗎？如何求？67a4i6i6ik116i/lk12=

k21k12=

k21k21=

k126i/lk223i/l23i/l212i/l2R1P由形、載常數(shù)可得單位和荷載彎矩圖如下:6i6i4i2i3i/l3i/l6i/lql2/8ql2/8R2P3ql/8取結(jié)點(diǎn)和橫梁為隔離體，即可求得全部系數(shù)請(qǐng)自行列方程、求解并疊加作彎矩圖68a例三:圖示等截面連續(xù)梁,B支座下沉

,C支座下沉0.6.EI等于常數(shù),作彎矩圖.單位彎矩和支座位移彎矩圖的示意圖如下:熟記了“形常數(shù)〞嗎？如何求？69a單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下:例四:用位移法計(jì)算圖示剛架,并作彎矩圖.

E=常數(shù).4m熟記了“形常數(shù)〞嗎？40如何求？3EI/1670a對(duì)于有側(cè)移的斜柱剛架在計(jì)算上的特點(diǎn)是，確定根本結(jié)構(gòu)發(fā)生線位移時(shí)與平行柱的區(qū)別,見圖a和圖b。

對(duì)于圖a，在單位線位移作用下，兩平行柱的兩端相對(duì)線位移數(shù)值相同，且都等于1，而橫梁僅平行移動(dòng)，其兩端并無(wú)相對(duì)線位移，故不彎曲。而對(duì)于圖b那么就不同了，在單位線位移作用下，桿AB、CD的垂直線位移不等于1，水平桿BC的兩端產(chǎn)生了相對(duì)線位移，發(fā)生彎曲變形。因此，在非平行柱剛架中，在單位線位移作用下：〔1〕柱與橫梁發(fā)生彎曲；〔2〕各桿端垂直于桿軸線的相對(duì)線位移亦各不相同。有側(cè)移的斜柱剛架71a

如何確定對(duì)于斜柱剛架在當(dāng)結(jié)點(diǎn)發(fā)生線位移時(shí)各桿兩端的相對(duì)線位移？以下面圖所示一具有斜柱剛架發(fā)生結(jié)點(diǎn)線位移的情為例來(lái)說(shuō)明。

應(yīng)該注意到，各桿的線位移雖然不同，但它們是互相有關(guān)的。確定當(dāng)結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位線位移時(shí)各桿兩端的相對(duì)線位移，可采用作結(jié)點(diǎn)位移圖的方法。首先將剛結(jié)點(diǎn)改為鉸，然后觀察在單位線位移條件下各結(jié)點(diǎn)的新位置及由此所產(chǎn)生的線位移數(shù)值方向。72a圖a：結(jié)點(diǎn)A的線位移垂直于桿AB，其水平位移分量為1。由此可確定B的新位置。當(dāng)機(jī)構(gòu)ABCD作機(jī)動(dòng)時(shí)，桿CD將繞鉸D轉(zhuǎn)動(dòng)，故鉸C的位移必垂直于桿CD。于是在的作用下，桿BC將最終占有位置。桿件BC的運(yùn)動(dòng)可分解為平移〔從BC到〕與轉(zhuǎn)動(dòng)〔從到〕。因此，各桿的相對(duì)線位移為〔圖b〕：作結(jié)點(diǎn)位移圖的方法〔圖b〕如下所述：73a只需直接作出三角形即可。其方法為：任選一點(diǎn)O代表位移為零的點(diǎn)，如A、D點(diǎn)，稱為極點(diǎn)。按適當(dāng)比例繪出，然后作OB垂直于桿AB；再過(guò)B點(diǎn)作桿BC的垂線；又過(guò)O點(diǎn)作桿CD的垂線，便得出交點(diǎn)C。在此圖中，向量OB、OC即代表B、C點(diǎn)的位移，而AB、BC、CD那么代表AB桿、BC桿、CD桿兩端的相線位移。那么圖b稱為結(jié)點(diǎn)位移圖。例8-374a由圖d得：桿AB兩端相對(duì)線位移為，桿CD兩端相對(duì)線位移由圖f得：由圖g得：75a由圖h得由圖i得由圖j得76a將各系數(shù)和自由項(xiàng)代如位移法根本方程，得按疊加法繪最后彎矩圖77a試求圖a所示帶斜桿結(jié)構(gòu)的系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)

位移法根本方程:解：圖a所示結(jié)構(gòu)雖然橫梁剛度無(wú)限大，但柱子不平行，橫梁不僅能產(chǎn)生線位移，也能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，也即橫量作平面運(yùn)動(dòng)。在小變形情況下結(jié)點(diǎn)位移如圖b、c所示，獨(dú)立的位移只有一個(gè)線位移，因此可取圖d作為根本結(jié)構(gòu)。78a79a圖示結(jié)構(gòu)在作用下的單位彎矩圖中正確的為：A.;B.;C.;;

D.。〔〕80a試用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。EI=常數(shù)。81a82a剪力靜定桿的求算83a剪力靜定桿帶來(lái)的簡(jiǎn)化84a桿AB稱為剪力靜定桿，即用靜力平衡條件可直接求得其剪力〔見教材P230所述及圖11-13〕。

判斷下面哪些結(jié)構(gòu)是屬于剪力靜定結(jié)構(gòu)？85a此題特點(diǎn)是：〔1〕

柱AB的B端雖然有側(cè)向線位移，但柱AB的剪力是靜定的，稱它為剪力靜定柱。〔2〕

橫梁的兩端無(wú)垂直于桿軸的相對(duì)線位移，稱它為無(wú)側(cè)移桿。考慮到上述特點(diǎn)，所以在確定位移法的獨(dú)立未知量時(shí)，可以不把柱端的側(cè)移作為獨(dú)立的位移未知量，從而使原來(lái)兩個(gè)未知量〔一個(gè)角位移和一個(gè)線位移〕減為一個(gè)角位移未知量，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。在選取位移法的根本結(jié)構(gòu)時(shí)，只須在剛結(jié)點(diǎn)B處附加阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的剛臂約束即可，如圖b所示。在該根本結(jié)構(gòu)中，由于B端無(wú)側(cè)向約束，柱子兩端有相對(duì)線位移，而無(wú)角位移，所以AB柱的B端可視為滑動(dòng)支座，下端為固定支座，從而滿足剪力靜定的要求。各橫梁的梁端雖然有水平位移，但對(duì)桿的內(nèi)力無(wú)影響。因此各橫梁可視為一端固定另一端鏈桿支座〔圖b〕。86a87a88a89a90a91a特殊情況討論〔剪力分配法〕92a對(duì)稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形特點(diǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下產(chǎn)生對(duì)稱的內(nèi)力與變形；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下產(chǎn)生反對(duì)稱的內(nèi)力與變形。半結(jié)構(gòu)的選取原那么利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性取半結(jié)構(gòu)(或四分之一結(jié)構(gòu))進(jìn)行計(jì)算時(shí),其半結(jié)構(gòu)分開處的約束支座是根據(jù)其變形條件來(lái)確定的。對(duì)稱性的利用

93a1.奇數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)〔1〕對(duì)稱荷載〔圖a〕在對(duì)稱軸上的截面C沒(méi)有轉(zhuǎn)角和水平位移，但可有豎向位移。計(jì)算中所取半邊結(jié)構(gòu)如圖〔b〕所示，C處取為滑動(dòng)支承端。94a〔2〕反對(duì)稱荷載〔圖a〕在對(duì)稱軸上的截面C沒(méi)有豎向位移，但可有轉(zhuǎn)角和水平位移。計(jì)算中所取半結(jié)構(gòu)如圖〔b〕所示，C處取為鏈桿支座。95a2.偶數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)〔1〕對(duì)稱荷載〔圖a〕在對(duì)稱軸上，截面C沒(méi)有轉(zhuǎn)角和水平位移，柱CD沒(méi)有彎矩和剪力。因?yàn)楹雎詶UCD的軸向變形，故半邊結(jié)構(gòu)如圖〔b〕所示，C端為固定支座。96a〔2〕反對(duì)稱荷載〔圖a〕在對(duì)稱軸上，柱CD沒(méi)有軸力和軸向位移。但有彎矩和彎曲變形。可將中間柱分成兩根柱，分柱的抗彎剛度為原柱的一半，這樣問(wèn)題就變?yōu)槠鏀?shù)跨的問(wèn)題〔圖b〕，其中在兩根分柱之間增加一跨，但其跨度為零。半邊結(jié)構(gòu)如圖c所示。因?yàn)楹雎暂S向變形的影響，C處的豎向支桿可取消，半邊結(jié)構(gòu)也可按圖d選取。中間柱CD的總內(nèi)力為兩根分柱內(nèi)力之和。由于兩根分柱彎矩、剪力相同，故總彎矩總剪力為分柱彎矩和剪力的兩倍。又由于兩根分柱的軸力絕對(duì)值相同而正負(fù)號(hào)相反，故總軸力為零。97a98a用位移法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。根據(jù)正對(duì)稱性質(zhì)，圖a中AB桿不會(huì)彎曲而只受軸力。在這里我們又不計(jì)軸向變形影響，故將AB桿看作軸向剛度無(wú)限的鏈桿，那么A，B兩點(diǎn)的豎向位移相同，簡(jiǎn)化分析半結(jié)構(gòu)如圖b所示。此題有兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，位移法根本方程為99a按疊加法

100a101a102a103a1.聯(lián)合法PEI=C=+P/2P/2P/2P/2P/2P/2力法:6個(gè)未知量位移法:6個(gè)未知量局部力法,局部位移法:4個(gè)未知量聯(lián)合法與混合法104a根本思路聯(lián)合法是一個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)圖用同一種方法，聯(lián)合應(yīng)用力法、位移法?；旌戏敲词峭粋€(gè)計(jì)算簡(jiǎn)圖一局部用力法、另一局部用位移法。超靜定次數(shù)少，獨(dú)立位移多的局部取力為未知量。超靜定次數(shù)多，獨(dú)立位移少的局部取位移作未知量。2.混合法105a用混合法計(jì)算圖示剛架,并作彎矩圖.EI=常數(shù).106a用位移法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。

聯(lián)合法：上述這種求解同一問(wèn)題時(shí)，聯(lián)合應(yīng)用力法、位移法求解的方法，稱為聯(lián)合法。聯(lián)合法107a108a注意點(diǎn)：用聯(lián)合法求解對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，每個(gè)半結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖的求解是很方便的，但從半結(jié)構(gòu)的結(jié)果，利用對(duì)稱性和進(jìn)行疊加時(shí)必須細(xì)心，否那么將前功盡棄。109a前面介紹的超靜定結(jié)構(gòu)的解法，即使是聯(lián)合法，對(duì)每一個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)圖選用根本結(jié)構(gòu)未知量都是相同性質(zhì)的，但對(duì)圖示結(jié)構(gòu)，不管是用位移法或力法，其位知數(shù)數(shù)目均7個(gè)，手算是不可能的。分析：左邊“主廠房〞局部一次超靜定，但獨(dú)立位移有5個(gè)。由邊“附屬?gòu)S房〞局部獨(dú)立位移只有2個(gè)，而超靜定次數(shù)為六次。如果左邊局部以力作未知量，右邊局部以位移作未知量，混合用兩類未知量的總未知量只有3個(gè)，如下圖。下面說(shuō)明混合法解題思路混合法110a此例說(shuō)明,解決問(wèn)題不能墨守成規(guī)，要深刻理解和掌握力學(xué)概念、原理和方法，在此根底上靈活應(yīng)用知識(shí)，才能既好又省地解決問(wèn)題。111a112a溫度改變時(shí)的計(jì)算，與支座位移時(shí)的計(jì)算根本相同。這里只作一點(diǎn)補(bǔ)充：除了桿件內(nèi)外溫差使桿件彎曲，因而產(chǎn)生一局部固端彎矩外；溫度改變時(shí)桿件的軸向變形不能忽略，而這種軸向變形會(huì)使結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移，從而使桿端產(chǎn)生相對(duì)橫向位移，又產(chǎn)生另一局部固端彎矩。具體計(jì)算通過(guò)下面的例題來(lái)說(shuō)明。

例如圖示剛架的范EI=常數(shù)，橫梁溫度均勻升高,兩柱溫度不變化，試?yán)L彎矩圖。

溫度改變時(shí)的計(jì)算113a按疊加法繪制最后彎矩圖，即114a115a超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)支座產(chǎn)生的位移(移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，結(jié)構(gòu)中一般會(huì)引起內(nèi)力。用位移法計(jì)算時(shí),根本未知量和根本方程以及作題步驟都與荷載作用時(shí)一樣,不同的只有固端力一項(xiàng)，例如由荷載產(chǎn)生的固端彎矩改變成由已知位移產(chǎn)生的固端彎矩，具體計(jì)算通過(guò)下面的例題來(lái)說(shuō)明。

圖示剛架的A支座產(chǎn)生了水平位移a、豎向位移b=4a及轉(zhuǎn)角，試?yán)L其彎矩圖。支座移動(dòng)的計(jì)算116a根據(jù)根本結(jié)構(gòu)在及支座位移的共同影向下〔圖b〕，附加剛臂上的反力矩為零的平衡條件，可建立典型方程為計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)，繪出單位彎矩圖及位移的彎矩圖。在這里我們將位移的彎矩圖由疊加法繪出如下：117a118a解得：剛架的最后彎矩圖為119a彈性支座120a請(qǐng)自行列方程、求解并疊加作彎矩圖121a例九:試作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖.122a請(qǐng)自行列方程、求解并疊加作彎矩圖123a例十:試作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖.135o124a7.071i/l7.071i/l5.657i/lql2/89i/l27.071i/l請(qǐng)自行求系數(shù)、列方程、求解并疊加作彎矩圖125a§8-9思考題及習(xí)題課位移法如何表達(dá)結(jié)構(gòu)力學(xué)應(yīng)滿足的三個(gè)方面條件〔平衡條件、幾何條件與物理?xiàng)l件〕？

答：位移法的兩種計(jì)算方法〔根本結(jié)構(gòu)法和直接列桿端力建立平衡方程〕都是按兩大步驟進(jìn)行，即單桿分析和整體分析。單桿分析是利用轉(zhuǎn)角位移方程和固端力表得到桿端力和桿端位移和荷載的關(guān)系，或得到單位、荷載彎矩圖；整體分析得到位移法的根本方程。在整體分析中，確定位移法的根本未知量，考慮了交于結(jié)點(diǎn)的諸桿端的變形條件，而根本方程反響了平衡條件。因此，整體分析是在結(jié)點(diǎn)處考慮了上述三個(gè)方面條件。126a單桿分析127a

鉸結(jié)端角位移和滑動(dòng)支座線位移為什么不作為位移法的根本未知量？在轉(zhuǎn)角位移方程中，鉸結(jié)端角位移和滑動(dòng)支座線位移都不是獨(dú)立的桿端位移分量，而與其它桿端位移分量保持確定的關(guān)系。在手算中，為了減少根本方程數(shù)目，上述位移分量不引如根本未知量。128a什么情況下獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移可以不作為位移法根本未知量？假設(shè)剛架的有側(cè)移桿都是剪力靜定桿，那么用位移法求解時(shí)，獨(dú)立結(jié)點(diǎn)立的線位移也可以不作為位移法的根本未知量。這時(shí)剛架中桿件分為兩類：一類是無(wú)側(cè)移桿件，其桿端彎矩計(jì)算公式照舊。另一類是有側(cè)移但剪力靜定桿，這類桿件無(wú)論其桿端連接剛結(jié)點(diǎn)還是固定端，其轉(zhuǎn)角位移方程一律與一端剛結(jié)一端滑動(dòng)約束桿相同。129a答：可以。因?yàn)樵陟o定結(jié)構(gòu)中總是存在具有角位移或線位移的結(jié)點(diǎn)，其位移就可作為位移法根本未知量；對(duì)應(yīng)于每個(gè)角位移或線位移可建立一個(gè)平衡方程，對(duì)應(yīng)于任意單桿總可以建立相應(yīng)的剛度方程。力法只能用于求解超靜定結(jié)構(gòu)。其原因是：力法是以多于未知力為根本未知數(shù)，而靜定結(jié)構(gòu)的幾何特征是，幾何不變