高等數(shù)學上冊主要內(nèi)容

高等數(shù)學上冊主要內(nèi)容

西飛工學院高級工程師馮建軍

初等函數(shù)的概念微分學部分積分學部分第一單元初等函數(shù)(之一)函數(shù)的概念函數(shù)的特性基本初等函數(shù)一、函數(shù)的概念

當x取遍D中的一切實數(shù)值時,對應(yīng)的函數(shù)值全體組成集合M稱為函數(shù)的值域.

１、定義：設(shè)D是由某些實數(shù)組成的數(shù)集,如果對每個數(shù)x∈D,變量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng),那么y就稱為定義在數(shù)集D上的x的函數(shù),記作：y=f(x)，x稱為自變量,數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域

例如：f(x)=x20f:平方0525-24函數(shù)兩要素:指定義域和對應(yīng)關(guān)系

函數(shù)相同是指定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同.

不同,定義域不同不同,對應(yīng)關(guān)系不同

相同,定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同

辨別下列各對函數(shù)是否相同,為什么?2、函數(shù)的表示法（2）表格法:常見于實際生活中的各種表格如同學們熟悉的,記分冊,成績單等等

（1）解析式法：用解析式表示函數(shù)，如（3）圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系３、函數(shù)的定義域在實際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)，通常要考慮以下幾點：（１）在分式中，分母不能為零；（２）在根式中，負數(shù)不能開偶次方根；

（３）在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；

（６）如果函數(shù)表達式是由幾個數(shù)學式子組合而成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集。（5）y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]例１：求下列函數(shù)的定義域［Ａ］．即解得所以定義域為(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母(x-1)(x+4)≠0

(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有取其公共部分x≥-1,x≠1解(3)要使函數(shù)有意義，必須有x+3>0解得x>-3所以定義域為(-3,+∞)[B].(3)y=ln(x+3)(4)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

即解

得-1≤x≤1，所以定義域為[-1,1)練習1.求下列函數(shù)的定義域[A]

由解得所以定義域為所以定義域為由7-2x>0解得所以定義域為由解得,所以定義域為[-2,2].[B]

[C]

由,解得

所以定義域為

４．函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及求函數(shù)值例2.設(shè),求下列函數(shù)值

[A]解:

[B]

解:[C]

解：

例3.[C]設(shè)f(x+1)=x2+3x+5,求f(x) 解:設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得所以f(x)=x2+x+3練習21、設(shè),求下列函數(shù)值

[A]

[B]

2、[B]設(shè)，求3、[C]設(shè)求得到則設(shè)返回目錄5、函數(shù)的幾種特性（1）奇偶性定義1對于任意的，如果那么為奇函數(shù)

例如對函數(shù)因為有即所以是奇函數(shù)。定義2對于任意的，如果那么是偶函數(shù)。例如對函數(shù)因為有即所以是偶函數(shù)

注意:偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.互為反函數(shù)的圖象關(guān)于Y=X對稱.(2)單調(diào)性定義1對于任意的，如果那么內(nèi)單調(diào)增加

單調(diào)增函數(shù)圖象沿x軸正向上升

x1x2f(x1)f(x2)(x1,f(x1))aby=f(x)xyo(x2f(x2))例如xyoy=x3xo(1,0)yy=lnx都是單調(diào)增函數(shù)

定義2對于任意的，如果那么內(nèi)單調(diào)減少

單調(diào)減函數(shù)圖象沿x軸正向下降

x1x2f(x1)f(x2)abxyoy=f(x)(x1,f(x1))(x2f(x2))例如xyoxyo(0,1)都是單調(diào)減函數(shù)

(3)有界性定義對于任意的X∈（a,b），存在M＞0，|f(x)|≤M，那么f(x)在（a,b）內(nèi)有界。

區(qū)間（a,b）內(nèi)的有界函數(shù)的圖象全部夾在直線y=M和y=-M之間xyoM-My=f(x)ab常見的有界函數(shù)是

y=sinxy=cosx以及反三角函數(shù)（4）周期性定義

對于任意的x∈D，存在正數(shù)，使f(x+)=f(x),那么f(x)為D上的周期函數(shù)。

以為周期的周期函數(shù)的圖象在定義域內(nèi)每隔長度為的區(qū)間上有相同的形狀。三角函數(shù)是周期函數(shù)三、基本初等函數(shù)冪函數(shù)y=xα（∈R），指數(shù)函數(shù)y=aX（a＞0,且a≠1）,對數(shù)函數(shù)y=logax

(a＞0且a≠1),三角函數(shù)反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。例4[A]判斷下列函數(shù)是否是基本初等函數(shù)（1）y=x（2）y=3x2（3）y=(0.5)x（4）y=2-x（5）u=sinv

（6）y=cos2t（7）y=lgx（8）y=ln(x+1)（9）u=arcosv（是，冪函數(shù)）（否）（是，指數(shù)函數(shù)）（是，正弦函數(shù)）（是，對數(shù)函數(shù)）（是，反余弦函數(shù)）（否）（否）（否）下列的基本初等函數(shù)的解析式及圖象必須熟記冪函數(shù)xy0(1,1)y=xxy(1,1)0y=x2xy(1,1)0y=x3xy(1,1)0y=x1指數(shù)函數(shù)xy(0,1)0y=ax(a>1)xy(0,1)0y=ax(0<a<1)對數(shù)函數(shù)xy(1,0)0(a>1)y=logax

xy(1,0)0y=logax

(0<a<1)三角函數(shù)xyf(x)=cosx1-1xyf(x)=sinx1-1反三角函數(shù)xy000y=arctanx四、小結(jié)：1、求函數(shù)式的定義域通常要對照五種限制，并在解有關(guān)方程和不等式的基礎(chǔ)上取各解集的交集。2、求函數(shù)的解析式，通常采用換元法，在求函數(shù)值的運算中要注意繁分式的運算和化簡。習題1.2：P251.(1)(2).P262.4.五、作業(yè)：返回第一單元目錄習題課一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對、三6.復合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無窮大兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小判定極限存在的準則兩個重要極限無窮小的比較等價無窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限1、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮??；無窮大；無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運算、復合函數(shù)的極限極限存在的條件4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準則夾逼定理、單調(diào)有界原理6、兩個重要極限7、無窮小的比較8、等價無窮小的替換性質(zhì)9、極限的唯一性、局部有界性、保號性1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點的定義間斷點的分類第一類、第二類3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運算性質(zhì)反函數(shù)、復合函數(shù)的連續(xù)性4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點定理二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性代入原方程得代入上式得解聯(lián)立方程組例2求下列極限①②導數(shù)的概念在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導數(shù)。本章將通過對實際問題的分析，引出微分學中兩個最重要的基本概念——導數(shù)與微分，然后再建立求導數(shù)與微分的運算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。導數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進一步深化。導數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。重點導數(shù)與微分的定義及幾何解釋導數(shù)與微分基本公式四則運算法則復合函數(shù)求導的鏈式法則高階導數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導難點導數(shù)的實質(zhì)，用定義求導，鏈式法則基本要求①準確敘述導數(shù)定義并深刻理解它的實質(zhì)②會用定義求導數(shù)③熟記求導基本公式④牢固掌握鏈式法則⑤掌握隱函數(shù)和參量函數(shù)求導法⑥理解高階導數(shù)，掌握求高階導數(shù)的方法⑦弄清微分與導數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，理解并會運用一階微分的形式不變性二、導數(shù)的定義定義即其它形式注意:2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).播放法線方程為切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為例7解由導數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為五、可導與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證注意:該定理的逆定理不成立.★連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例0例如,例如,01例8解六、小結(jié)1.導數(shù)的實質(zhì):增量比的極限;3.導數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5.求導數(shù)最基本的方法:由定義求導數(shù).6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.連續(xù)直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.二、典型例題例1解例22001個例2A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要證一則高階導數(shù)一、高階導數(shù)的定義問題:變速直線運動的加速度.定義二、高階導數(shù)求法舉例1.直接法:由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).例1解注意:

求n階導數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導數(shù).(數(shù)學歸納法證明)——逐階求導，尋求規(guī)律，寫出通式例2解例3解小結(jié)注意:分段函數(shù)求導時,分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.反函數(shù)的求導法則（注意成立條件）;復合函數(shù)的求導法則（注意函數(shù)的復合過程,合理分解正確使用鏈導法）;已能求導的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復合結(jié)構(gòu).思考題思考題解答正確的選擇是（3）例在處不可導，取在處可導，在處不可導，取在處可導，在處可導，洛必達法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容1、羅爾中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必達法則關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.注意：洛必達法則的使用條件.6、導數(shù)的應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法(2)函數(shù)的極值及其求法極值必要條件、第一、第二充分條件求極值的步驟:(3)最大值、最小值問題(4)曲線的凹凸與拐點(5)函數(shù)圖形的描繪(6)弧微分曲率曲率圓例1解二、典型例題這就驗證了命題的正確性.最大值、最小值問題在生產(chǎn)實踐中，為了提高經(jīng)濟效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是2用料最省，費用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性；最值的求法。假定f(x)在[a,b]上連續(xù)，除去有限個點外處處可導，且至多有有限個點處導數(shù)為0。我們就在這樣的條件下討論f(x)在[a,b]上的最值的求法。一、最值的求法首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)在[a,b]上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，則這個最值一定是極值，由假定，這個點一定是駐點或不可導點；此外最值也可能在區(qū)間的端點處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法是步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個