第五章矩陣的特征值和特征向量

第五章矩陣的特征值和特征向量向量的內積和正交化矩陣的特征值與特征向量相似矩陣實對稱矩陣的對角化回憶:§1向量的內積和正交化推廣到實數(shù)域R上的n維實向量空間定義1內積說明維向量的內積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義．內積的運算性質(施瓦茲不等式）當時上式顯然成立當時，證畢定義2令長度范數(shù)向量長度具有以下性質（1）非負性只有當時（2）齊次性（3）三角不等式證明：根據(jù)內積的性質有根據(jù)施瓦茲不等式，有從而即當時，即定義3注：零向量與任何向量都正交.定義4定義5若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組。定理1若是正交向量組，則該向量組線性無關。設由于對于任意向量則即由于是一正交向量組，故當時，因此有又因為所以故線性無關定義6設n維向量是向量空間的一組基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱其為標準正交基。例如同理可知基正交基標準正交基（1）正交化，取

，（2）單位化，取例1

用施密特正交化方法，將向量組標準正交化.解

先正交化，令施密特正交化過程再單位化，得標準正交向量組如下例2解把基礎解系正交化，即為所求．令定義7定理3

為正交矩陣的充要條件是的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交．由此可知A的列向量組構成的一個標準正交基。同樣的方法，行向量組也是。例3

判別下列矩陣是否為正交矩陣．解

（2）由于所以它是正交矩陣．定理2例3設都是階正交矩陣，且，求．

提示：此法為定義法，利用定理3如何證明？解由，可知，于是所以§2矩陣的特征值和特征向量應當注意，根據(jù)定義特征向量不能是零向量．給定矩陣A，如何求A的特征值和特征向量呢？設該齊次線性方程組的解空間為．中的任一非零向量都是的屬于的特征向量。稱為關于的屬于特征值的特征子空間根據(jù)齊次線性方程組有非零解的條件可知，

中就含有非零解向量．

的特征方程的特征多項式特征多項式展開為

我們知道次復系數(shù)多項式有個且恰有個根（重根按重數(shù)計算），故階方陣有個復特征值．設的個特征根（重根按重數(shù)計算）為則有將該式展開，然后與上式比較系數(shù)，即可得：

從上式（２）可看出：，有特征值０的充分必要條件是

另外從特征值的定義可知，對角矩陣的特征值就是它的主對角線上的所有元素．若的特征值是，是的屬于的特征向量，則的特征值是是任意常數(shù))的特征值是是正整數(shù))若可逆，則的特征值是的特征值是且仍然是矩陣分別對應于的特征向量。特征值還有如下性質：？為x的多項式，則的特征值為

(5)方陣的屬于不同特征值的特征向量線性無關。

(6)矩陣和的特征值相同。求特征值、特征向量的步驟：求齊次線性方程組的一個基礎解系即可求出特征值;寫出特征方程求其所有的根，所以，A的特征值為按照同樣的方法：特點：（1）是代數(shù)方程，復數(shù)內有個根，有實有虛。實根對應實向量，虛根對應復向量。(2)的特征向量只屬于一個特征值，而屬于的特征向量卻有無數(shù)更多個。§3相似矩陣矩陣的相似有以下關系：1）反身性；2）對稱性；3）傳遞性。矩陣相似的性質：4）若與相似，則注：1）定理5的條件必要但不充分。2）若兩個矩陣特征值不相同時，則其一定不相似。3）設為他們的某個特征值，為關于的特征向量，則為的關于的特征向量.利用上述結論可以很方便地計算矩陣A的多項式.證明：證畢。說明

如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論A能否對角化？若能對角例1所以，A的特征值為所以可對角化.注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應．問為何值時，矩陣能對角化？例有2個線性無關的特征向量時，矩陣能對角化。解例且與相似，求的值。因為與相似，所以它們有相同的特征值2，2，b，解把一個矩陣化為對角矩陣，不僅可以使矩陣運算簡化，而且在理論和應用上都有意義。1.由特征值、特征向量求矩陣例2：已知方陣的特征值是相應的特征向量是令分析：2.求方陣的冪例4：設

求解：定理７

實對稱矩陣的特征值為實數(shù).§4實對稱矩陣的對角化證明于是證明它們的重數(shù)分別為設的互不相同的特征值為又對應于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個.故這個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃嚕瑒t例１設求正交矩陣Ｐ，使Ｐ-1ＡＰ為對角矩陣。解顯然AＴ=A。故一定存在正交矩陣Ｐ，使Ｐ-1AＰ