穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件(四講new)

第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

4.1穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，其狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)，在隨后所有時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)可能出現(xiàn)下列情況：1)系統(tǒng)的自由響應(yīng)是有界的；2)系統(tǒng)的自由響應(yīng)是無界的；3)系統(tǒng)的自由響應(yīng)不但是有界的，而且最終回到原先的平衡狀態(tài)。李雅普諾夫把上述三種情況分別定義為穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和漸近穩(wěn)定的。顯然，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)的響應(yīng)是無界的，系統(tǒng)的輸出將逐漸增加直到損壞系統(tǒng)，或者進(jìn)入振蕩狀態(tài)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定是保證系統(tǒng)能正常工作的首要條件。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的性質(zhì)。李雅普諾夫用范數(shù)作為狀態(tài)空間“尺度”的度量。14.1.1范數(shù)的概念

1.向量的范數(shù)

定義：n維向量空間的范數(shù)定義為:

(4.1)2.矩陣的范數(shù)

定義：m×n矩陣A的范數(shù)定義為:(4.2)2(4.3)

4.1.2平衡狀態(tài)

系統(tǒng)沒有輸入作用時(shí)，處于自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)某狀態(tài)，并且維持在此狀態(tài)而不再發(fā)生變化的，這樣的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。根據(jù)平衡狀態(tài)的定義可知,連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是滿足平衡方程即的系統(tǒng)狀態(tài)。離散系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，是對(duì)所有的k，都滿足平衡方程的系統(tǒng)狀態(tài)。3首先討論線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)為，因此，當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，可能有一個(gè)平衡狀態(tài)，也可能有多個(gè)平衡狀態(tài)。這些平衡狀態(tài)都可以由平衡方程解得。下面舉例說明。4例4.1求下列非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)解由平衡狀態(tài)定義，平衡狀態(tài)應(yīng)滿足:得非線性系統(tǒng)有三個(gè)平衡狀態(tài)：

,,.研究系統(tǒng)穩(wěn)定性都是對(duì)平衡狀態(tài)而言的。54.1.3李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

1.穩(wěn)定

定義:如果對(duì)于任意給定的每個(gè)實(shí)數(shù),都對(duì)應(yīng)存在著另一實(shí)數(shù),使得從滿足不等式的任意初態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng),在所有的時(shí)間內(nèi)都滿足則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的.若與的選取無關(guān),則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的.62.漸近穩(wěn)定

定義：若平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，并且當(dāng)時(shí)，,即，則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

3.大范圍（漸近）穩(wěn)定

定義：如果對(duì)任意大的，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍（漸近）穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

7

4.不穩(wěn)定定義：如果對(duì)于某一實(shí)數(shù)，不論取多小，由內(nèi)出發(fā)的軌跡，至少有一條軌跡越出，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定.上述定義對(duì)于離散系統(tǒng)也是適用的，只是將連續(xù)時(shí)間t理解為離散時(shí)間k。注意:穩(wěn)定性討論的是系統(tǒng)沒有輸入（包括參考輸入和擾動(dòng)）作用或者輸入作用消失以后的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所以，通常通過分析系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，或者脈沖響應(yīng)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8在經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定是穩(wěn)定系統(tǒng)，只在Lia穩(wěn)定不是漸近穩(wěn)定是臨界穩(wěn)定，在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。圖（a）、(b)、(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時(shí)初始擾動(dòng)所引起的典型軌跡。5二次型標(biāo)量函數(shù)：1）存在2）3）當(dāng)9時(shí)，則稱是正定的（正半定的）。如果條件3）中不等式的符號(hào)反向，則稱是負(fù)定的（負(fù)半定的）。

例1） 正定的2） 半正定的3） 負(fù)定的 4） 半負(fù)定的5） 不定的105二次型：塞爾維斯特（Sylvester）定理：為正定的充要條件是的所有順序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式為非負(fù)的（其中有的為零），那么為半正定的。例4.2證明下列二次型函數(shù)是正定的。課后完成11利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。1、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：李氏穩(wěn)定的充要條件：

即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部。4.1.4李雅普諾夫第一方法（間接法）124.1.4李雅普諾夫第一方法（間接法）設(shè)，為孤立平衡點(diǎn)。（1）平衡點(diǎn)平移：令則將在原點(diǎn)展開得，yGAyy)(+=&2、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成泰勒級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。13如，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)結(jié)論:如果,則漸近穩(wěn)定;如果存在，則不穩(wěn)定；(2)近似線性化：來決定。例4.3已知非線性系統(tǒng)ilRe(())0A<ljRe(())0A<ilRe(())0,A>ilRe(())0A=i≠j=1~n14其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對(duì)情況進(jìn)行研究，其它情況類似15計(jì)算由特征方程，得ú?ùê?é--=11010acosxae16①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時(shí)，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。17

4.1.5李雅普諾夫第二方法（直接法）

定理1假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減且‖x‖→∞,V(x,t)→∞xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定;如果V(x,t)與t無關(guān),則是大范圍一致漸近穩(wěn)定。不求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)lia函數(shù)來直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。從能量觀點(diǎn)來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。18例4.4已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。定理4若1)2)則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。定理3若1)2)3）在非零狀態(tài)存在恒為零，則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。說明：系統(tǒng)維持等能量水平運(yùn)動(dòng)，使維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。定理2若1)2)3)

在非零狀態(tài)不恒為0，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。說明：不存在,經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持該狀態(tài)。

能量函數(shù)隨時(shí)間增大，x在原點(diǎn)處發(fā)散(,)0Vxt&19原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)，取，則又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有所以系統(tǒng)在例4.5已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。20解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)

取

則因?yàn)槌c(diǎn)處外，不會(huì)恒等于零。當(dāng)時(shí)，所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)

處大范圍漸近穩(wěn)定。例4.6系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。21解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)取則于是知系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。224.1.6幾點(diǎn)說明23定常連續(xù)系統(tǒng)，Q，P為正定實(shí)對(duì)稱陣4.2李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應(yīng)用4.2.1線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法

定理1:

系統(tǒng)在原點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充要條件為方程,有唯一正定對(duì)稱解.證明：充分性：考慮系統(tǒng)其中令如果

則大范圍漸近穩(wěn)定。xAx=&24必要性：xe=0漸近穩(wěn)定→P存在且正定PP25例4.8:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性

解：令得則由xe=026解上述矩陣方程，有即得27因?yàn)榭芍狿是正定的。因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。

2829

則系統(tǒng)在原點(diǎn)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對(duì)稱解定理2定常離散系統(tǒng)，Q，P為正定實(shí)對(duì)稱陣設(shè)30例4.9試確定系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性,得解:在李雅普諾夫方程中,取由此解出……（課后練習(xí)）31324.2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

（同學(xué)自學(xué)）

1.SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

設(shè)描述SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:

(4.4)

則系統(tǒng)的特征方程為:

(4.5)33設(shè)特征方程(4.5)有k個(gè)實(shí)根，r對(duì)共軛復(fù)根，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為:(4.6)從上式可以看出：1）若，均為負(fù)實(shí)部，則有，因此，當(dāng)所有特征根的實(shí)部都為負(fù)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；2）若，中有一個(gè)或者幾個(gè)為正，則有，因此，當(dāng)特征根中有一個(gè)或者幾個(gè)為正實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；343）若中有一個(gè)或者幾個(gè)為零,而其它，均為負(fù)，則有為常數(shù)。若中有一個(gè)或者幾個(gè)為零，而其它、均為負(fù)，則y(t)的穩(wěn)態(tài)分量則為正弦函數(shù)。因此，當(dāng)特征根中有一個(gè)或者幾個(gè)為零，而其它極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)是一種臨界情況，稱為臨界穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定在李氏穩(wěn)定性意義下是穩(wěn)定的，但在工程上是不允許系統(tǒng)工作在臨界穩(wěn)定狀態(tài)的，所以，臨界穩(wěn)定在工程上是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的全部特征根或閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。

35

2.MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

描述MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（4.7）

設(shè)A有相異特征值，則存在非奇異線性變換，使為對(duì)角矩陣，即:非奇異線性變換后的狀態(tài)方程的零輸入解為:36由于，，所以，原狀態(tài)方程的零輸入解為:

(4.8)可見(4.9)將上式展開,的每個(gè)元素都是的線性組合，所以可寫成矩陣多項(xiàng)式:37所以(4.10)從上式可見，當(dāng)A的所有特征值位于復(fù)平面左半平面，即，，則對(duì)任意x(0)，有，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。只要有一個(gè)特征值的實(shí)部大于零，對(duì)于，，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)有特征值的實(shí)部等于零，而其它特征值的實(shí)部小于零，則隨著時(shí)間的增加，x(t)趨于常值或者為正弦波，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，或者稱為臨界穩(wěn)定的。38當(dāng)A具有重特征值時(shí),x(t)含有諸項(xiàng)，穩(wěn)定性結(jié)論同上。

結(jié)論：MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。394.2.3線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.SISO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)輸出的Z變換為：(4.11)

現(xiàn)在討論系統(tǒng)在單位脈沖序列離散信號(hào)(R(z)=1)作用下的輸出響應(yīng)序列。40

（1）有n個(gè)互異的單極點(diǎn)，。

Y(z)可以展成:相應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:(4.12)如果所有的極點(diǎn)在單位圓內(nèi),即，，則，所以，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。41如果其中有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，而其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則，所以，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，又稱臨界穩(wěn)定。如果有一個(gè)或一個(gè)以上的極點(diǎn)在單位圓外,則，所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。42（2）有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)這一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的脈沖響應(yīng)序列是:由于特征方程是實(shí)系數(shù)，所以，必定是共軛的。設(shè)

43代入上式得:(4.13)由此可見，該對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)若在單位圓內(nèi)（），系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；若在單位圓外（），系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在單位圓上（），系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。44

（3）含有重極點(diǎn)不失一般性，設(shè)含有兩重極點(diǎn)，則Y(z)可展開為:

對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:

(4.14)45顯然，若重極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓外,即，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓上,即，由式（4.14）可得:系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都位于平面的單位圓內(nèi)。

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2.MIMO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(4.15)做非奇異線性變換,式(4.15)變換為:

(4.16)4