《應(yīng)用舉例》例題剖析市賽獲獎(jiǎng)

《應(yīng)用舉例》例題剖析(第一課時(shí))推進(jìn)新課解決實(shí)際測(cè)量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解.［例題剖析］【例1】如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B兩點(diǎn)的距離.(精確到0.1m)師（啟發(fā)提問）1：△ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較恰當(dāng)？師（啟發(fā)提問）2：運(yùn)用該定理解題還需要哪些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答．生從題中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因?yàn)锳C可以量出來，所以應(yīng)該用正弦定理．生這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊．解：根據(jù)正弦定理，得，≈(m).答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米.[知識(shí)拓展]變題：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于Akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東60°，則A、B之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型．解略：km.【例2】如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法[教師精講]這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題．首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)．根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊即可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出A、B的距離．解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=A，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得，.計(jì)算出AC和BC后，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離.[活動(dòng)與探究]還有沒有其他的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析．[知識(shí)拓展]若在河岸邊選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°,略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206.[教師精講]師可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式．〔學(xué)生閱讀課本14頁，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子〕師解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用,如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼,就暴露出解三角形問題的本質(zhì),這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力.下面,我們?cè)倏磶讉€(gè)例題來說明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用.【例3】如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A0處，設(shè)連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄自CB0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A）.（精確到1mm師用實(shí)物模型或多媒體動(dòng)畫演示，讓學(xué)生觀察到B與B0重合時(shí)，A與A0重合，故A0C=AB＋CB＝425mm，且A0A=A0C師通過觀察你能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型嗎？生問題可歸結(jié)為：已知△ABC中，BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．師如何求AC呢？生由已知AB、∠C、BC，可先由正弦定理求出∠A，再由三角形內(nèi)角和為180°求出∠B，最后由正弦定理求出AC．解：（如圖）在△ABC中，由正弦定理可得≈2.因?yàn)锽C＜AB，所以A為銳角.∴A=14°15′，∴B＝180°-（A＋C）＝85°45′.又由正弦定理，≈(mm).∴A0A=A0C–AC=(AB+BC)-AC=(340+85)答：活塞移動(dòng)的距離為81mm．師請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)AC=x，用余弦定理解之，課后完成.[知識(shí)拓展]變題：我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/時(shí)的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？師你能根據(jù)方位角畫出圖嗎？生（引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生作圖）師根據(jù)題意及畫出的方位圖請(qǐng)大家建立數(shù)學(xué)模型．生例題歸結(jié)為已知三角形的兩邊和它們的夾角，求第三邊及其余角.解：如圖，在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC=202+122-2×12×20×(-)=784,BC=28,∴我艦的追擊速度為14海里/時(shí).又在△ABC中,由正弦定理得∴.答：我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|50°-arcsin.[方法引導(dǎo)]師你能歸納和總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般方法與步驟嗎？生①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．生即解斜三角形的基本思路：師解斜三角形應(yīng)用題常見的會(huì)有哪幾種情況？生實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．生實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形中，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問題的解．生實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理．某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛．公路的走向是M站的北偏東40°．開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米．問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得,則,,所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC=.在△MAC中，由正弦定理得，從而有MB=MC-BC=15.答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站．課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí),掌握由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,并提高解三角形問題及實(shí)際應(yīng)用題的能力.布置作業(yè)課本第14頁練習(xí)1、2.板書設(shè)計(jì)解決有關(guān)測(cè)量距離的問題1.提出問題2.分析問題演示反饋3.解決問題總結(jié)提煉要得到不可直接到達(dá)的各種距離，常構(gòu)想通過求三角形的邊長來解決，變“不可測(cè)”為“可以算”.課前先使學(xué)生明確解三角形的必備條件，再介紹手中的測(cè)量工具，使學(xué)生有理可依、有據(jù)可循。最后將學(xué)生帶到教室外去感受熟悉而生動(dòng)的社會(huì)實(shí)踐.沿著旅游路線，將生活中的各種不可測(cè)的距離由淺入深的引入解決.鼓勵(lì)學(xué)生深入、開放性地提出測(cè)算方案，提倡多元思考，尊重學(xué)生的自主權(quán)與主動(dòng)性.讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中享受學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的大腦隨學(xué)而動(dòng)，讓他們的思維隨想象而馳騁.(第二課時(shí))推進(jìn)新課【例1】AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法．[合作探究]師這個(gè)建筑物就不好到達(dá)它的底部去測(cè)量，如果好去的話，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去測(cè)量這個(gè)建筑物的高呢？生要求建筑物AB的高，我只要能把AE的長求出來，然后再加上測(cè)角儀的高度EB的長就行了.師對(duì)了，求AB長的關(guān)鍵是先求AE，那誰能說出如何求AE？生由解直角三角形的知識(shí)，在△ADC中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長．師那現(xiàn)在的問題就轉(zhuǎn)化成如何去求CA的長，誰能說說？生應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長．生為了求CA的長，應(yīng)該把CA放到△DCA中，由于基線DC可以測(cè)量，且β也可以測(cè)量，這樣在△DCA中就已知兩角和一邊，所以由正弦定理可以解出CA的長．解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上．由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α、β，CD=A，測(cè)角儀器的高是h，那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h.師通過這道題我們是不是可以得到一般的求解這種建筑物的高的方法呢？生要測(cè)量某一高度AB，只要在地面某一條直線上取兩點(diǎn)D、C，量出CD=A的長并在C、D兩點(diǎn)測(cè)出AB的仰角α、β，則高度，其中h為測(cè)角器的高．【例2】如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α=54°40′，在塔底C處測(cè)得A處的俯角β=50°1′．已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m).[合作探究]師根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給出時(shí)間讓學(xué)生討論思考）要在△ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生需求出BD邊．師那如何求BD邊呢？生可首先求出AB邊，再根據(jù)∠BAD=α求得．解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根據(jù)正弦定理,=，所以.在Rt△ABD中,得BD=ABsin∠BAD=.將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得≈177(m),CD=BD-BC≈=150(m).答:山的高度約為150米.師有沒有別的解法呢？生要在△ACD中求CD，可先求出AC．師分析得很好，請(qǐng)大家接著思考如何求出AC？生同理，在△ABC中，根據(jù)正弦定理求得．（解題過程略）【例3】如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15°的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,求此山的高度CD.[合作探究]師欲求出CD，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？生在△BCD中.師在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長？生BC邊.解：在△ABC中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理,,≈4(km),CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈1047(m).答:山的高度約為1047米.課堂練習(xí)用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀AB和CD同時(shí)望見氣球E在它們的正西方向的上空,分別測(cè)得氣球的仰角α和β,已知BD間的距離為A,測(cè)角儀的高度為B,求氣球的高度.分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一個(gè)條件,需要再有一邊長被確定,而△EAC中有較多已知條件,故可在△EAC中考慮EA邊長的求解,而在△EAC中有角β,∠EAC=180°-α兩角與AC=BD=A一邊,故可以利用正弦定理求解EA.解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根據(jù)正弦定理,得.在Rt△AEG中，EG=AEsinα=.∴EF=EG+b=.答:氣球的高度是.評(píng)述:此題也可以通過解兩個(gè)直角三角形來解決,思路如下:設(shè)EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα表示AG,而Rt△EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求.課堂小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工，抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕贾米鳂I(yè)課本第17頁練習(xí)第1、3題.板書設(shè)計(jì)解決有關(guān)測(cè)量高度的問題例1練習(xí)例2課堂練習(xí)小結(jié)例3布置作業(yè)(第三課時(shí))推進(jìn)新課【例1】（幻燈片放映）如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到°,距離精確到nmile)[合作探究]學(xué)生看圖思考．師要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)該搞懂“北偏東75°的方向”．生這是方位角．生這實(shí)際上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．師根據(jù)大家的回答，我們已經(jīng)很清楚解題思路．下面請(qǐng)同學(xué)寫一下解題過程.生解：在△ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，根據(jù)余弦定理，≈.根據(jù)正弦定理,,≈5,所以∠CAB≈°,75°-∠CAB=°.答:此船應(yīng)該沿北偏東°的方向航行,需要航行nmile.師這道題綜合運(yùn)用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．【例2】某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里/時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？[合作探究]師你能否根據(jù)題意畫出方位圖？（在解斜三角形這一節(jié)里有好多都要把實(shí)際問題畫出平面示意圖，圖畫的好壞有時(shí)也會(huì)影響到解題，這是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要方面）生甲如右圖．師從圖上看這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，還需要什么呢?生引入時(shí)間這個(gè)參變量,可以設(shè)x小時(shí)后追上走私船.生如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,則由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,∴化簡得32x2-30x-27=0，即x=或x=-(舍去).所以BC=10x=15,AB=14x=21.又因?yàn)閟in∠BAC=,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（鈍角不合題意，舍去）.∴38°13′+45°=83°13′.答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13′方向去追，經(jīng)過小時(shí)才追趕上該走私船.師這位同學(xué)是用正、余弦定理來解決的，我們能不能都用余弦定理來解決呢？生同上解得BC=15,AB=21,在△ABC中，由余弦定理，得≈7,∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.∴巡邏艇應(yīng)沿北偏東83°13′的方向追趕，經(jīng)過小時(shí)追趕上該走私船．課堂練習(xí)課本第18頁練習(xí).答案：運(yùn)用余弦定理求得傾斜角α約為°.[方法引導(dǎo)]解三角形的用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．[知識(shí)拓展]1.如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里到C處，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？解：在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=180°-45°=135°,∴A=15°.由正弦定理知,∴.∴.∴A到BC所在直線的距離為AC·sin45°=（15+15）·=15（+1）≈＞38（海里），∴不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險(xiǎn)．答：不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險(xiǎn)．2.如圖，有兩條相交成60°角的直線XX′、YY′，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲在離O點(diǎn)3千米的A點(diǎn)，乙在離O點(diǎn)1千米的B點(diǎn)，后來兩人同時(shí)以每小時(shí)4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，（1）起初，兩人的距離是多少？（2）用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？解：（1）因甲、乙兩人起初的位置是A、B，則AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,∴起初，兩人的距離是千米．（2）設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P、Q，則AP=4t,BQ=4t,當(dāng)0≤t≤時(shí)，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;當(dāng)t＞時(shí),PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,所以，PQ=48t2-24t+7．（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,∴當(dāng)t=時(shí)，即在第15分鐘末，PQ最短．答：在第15分鐘末，兩人的距離最短．課堂小結(jié)在實(shí)際問題（航海、測(cè)量等）的解決過程中，解題的一般步驟和方法，及正弦、余弦定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用．應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要分析和研究問題中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，應(yīng)該選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解．應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的解題步驟：①根據(jù)題意作出示意圖；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③選用合適的定理進(jìn)行求解；④給出答案．布置作業(yè)課本第22頁習(xí)題第9、10、11題.板書設(shè)計(jì)解決有關(guān)測(cè)量角度的問題例1例2課堂練習(xí)布置作業(yè)(第四課時(shí))教學(xué)過程推進(jìn)新課【例1】在△ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm（1）已知A=14.8cm,C=23.5cm（2）已知B=°,C=°,B=3.16c（3）已知三邊的長分別為A=41.4cm,B=27.3cm,師這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面積．〔生口答，師書寫過程〕解：（1）應(yīng)用，得S=×××°≈(cm2).(2)根據(jù)正弦定理，,.A=180°-(B+C)=180°-°+°)=°,≈(cm2).(3)根據(jù)余弦定理的推論，得≈7,≈4,應(yīng)用得S=×××4≈(cm2).生正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進(jìn)一步推出新的三角形面積公式．【例2】在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm師你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？生本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解．〔由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)〕解：設(shè)A=68m,B=88m,C=127m,根據(jù)余弦定理的推論，≈2,≈8,應(yīng)用S=acsinB,S=×68×127×8≈2(m2).答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2【例3】在△ABC中，求證：（1）;（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）.[合作探究]師這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊有什么樣的特點(diǎn)?生等式左邊是三邊的平方關(guān)系，而等式的右邊是三個(gè)角的正弦的平方關(guān)系，可以聯(lián)想到用正弦定理來證明.師等式兩邊分別是邊和角，所以我們可以選正弦定理來證明，這樣我們可以把一邊的邊或角都轉(zhuǎn)化成兩邊一樣的邊或角，即“化邊為角”或“化角為邊”，這也是我們?cè)谧C明三角恒等式時(shí)經(jīng)常用的方法．證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè),顯然k≠0，所以左邊==右邊.師那對(duì)于第二小題又該怎么化呢？生等式左邊仍然是三邊的平方關(guān)系，而等式的右邊既有角又有邊，而且是兩邊和兩邊夾角的余弦的積的關(guān)系，所以聯(lián)想到用余弦定理來證明.師很好，哪位來板演一下？生證明：（2）根據(jù)余弦定理的推論，右邊==(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊.1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C=6,求A及△ABC的面積S.提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)．同時(shí)解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣,但應(yīng)用余弦定理會(huì)免去討論.答案：A=6,S=9;A=12,S=18.2.判斷滿足下列條件的三角形形狀，(1)acosA=bcosB;(2)sinC=.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”，正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向.(1)師