《信號與系統(tǒng)》第七章 采樣

第七章

采樣7.0引言本章1、首先介紹建立采樣的概念和從樣本值重建一個連續(xù)時間信號的過程；

2、接著研究對由采樣得到的離散時間信號的處理；

3、最后討論離散時間信號的采樣，以及有關(guān)抽取和內(nèi)插的概念。7.1用信號樣本表示連續(xù)時間信號：采樣定理

一個連續(xù)時間信號x(t)經(jīng)過采樣后成為由樣本組成的離散時間信號。但因為由同一組等間隔樣本可以生成無窮多個連續(xù)時間信號。例如圖7.1是三個不同的連續(xù)信號,在T的整數(shù)倍時刻點上有相同的值。即量化計算機(jī)處理采樣信號

LTI系統(tǒng)重建這意味著采樣必須滿足一定的條件，信號才能唯一地用它的等間隔離散時間樣本來表征。這個一定的條件指：1、要求被采樣的信號是帶限信號（即它的傅立葉變換在某一有限頻帶范圍以外均為零）。2、樣本取得足夠密（相對于信號中的最高頻率）——。

因此，這些樣本值不能表征原信號下面來看采樣過程其中

x(t)——連續(xù)時間信號

p(t)——周期沖激串，稱采樣函數(shù)

T——稱采樣周期，

——稱采樣頻率（是p(t)的基波頻率，）在時域中有即7.1.1沖激串采樣利用沖激函數(shù)的采樣性質(zhì)。

從頻域看：由相乘性質(zhì)可知，時域相乘對應(yīng)頻域卷積。所以得周期信號的傅立葉級數(shù)與傅立葉變換

——周期為

將各信號的頻譜分別畫在圖7.3中。圖中假設(shè)x(t)是限帶信號.1、當(dāng)（即）時，頻譜之間，沒有重疊現(xiàn)象出現(xiàn)。也就是說，在頻率點上精確重現(xiàn)原信號的頻譜，僅在幅度上有1/T變化。因此，可用一個低通濾波器，把信號x(t)從中恢復(fù)出來（要求低通濾波器的截止頻率滿足，且增益為T

。如圖7.4所示。一般取值為：假設(shè)x(t)是限帶信號2、當(dāng)，即時，中各移位之間

存在重疊，這種現(xiàn)象稱為頻譜的褶疊。由于這種褶疊，在部分的高頻成分將疊加到的那部分上去。出現(xiàn)假頻現(xiàn)象，導(dǎo)致不

能恢復(fù)原信號。

采樣定理：設(shè)x(t)是某一個帶限信號，在時，。如果(其中),那么x(t)就唯一地由其樣本,所確定。已知這些樣本值，我們能用如下辦法重建x(t)：產(chǎn)生一個周期沖激串，其沖激幅度就是這些依此而來的樣本值；然后將該沖激串通過一個增益為T，截止頻率為：的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是x(t)。在采樣定理中，采樣頻率必須大于，該頻率稱為奈奎斯特率。1/2奈奎斯特率的頻率，稱為奈奎斯特頻率可見,若已知奈奎斯特率,就等于告訴了至次，采樣定理可敘述如下:7.1.2零階保持采樣

沖激串采樣的數(shù)學(xué)模型其重要意義是在理論上建立采樣定理,但在實際工程應(yīng)用中是無法實現(xiàn)的。在實際工程應(yīng)用中,往往采用零階保持的方法來獲取采樣信號。如圖7.5所示。1、采樣過程在該系統(tǒng)中，某一個給定瞬時對信號采樣,并保持這一樣本值直到下一個樣本被采到為止。如在信號的保持期間，對采樣值進(jìn)行量化，就可以獲得x(t)的數(shù)字信號。2、重建x(t)

由一個零階保持系統(tǒng)的輸出來重建x(t)雖然仍可以用低通濾波的辦法來實現(xiàn)。但在這一情況下,所要求的濾波特性不再是在通帶內(nèi)具有恒定的增益。下面來求所要求的濾波器特性：1、首先將這個零階保持的輸出

在原理上看作是用沖激串采樣再緊跟著一個LTI系統(tǒng)得到的。即2、為了由重建x(t)，考慮用一個單位沖激響應(yīng)為（頻率響應(yīng)為

）

的LTI系統(tǒng)來處理。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.7所示。如果和

級聯(lián)后的特性是一個理想低通濾波器的特性，則得。圖中可得因為所以要求若的截止頻率等于,則重建濾波器的理想模和相位特性如圖7.8所示。注意：實際上，上式的頻率響應(yīng)是不可能真正實現(xiàn)的，因此必須對它作一個充分近似的設(shè)計。在很多情況下，零階保持輸出本身就被認(rèn)為是一種對原始信號的充分近似，因而用不著附加任何低通濾波器。并且在實質(zhì)上,它實現(xiàn)了樣本之間的內(nèi)插.其余右移T/2P208例4.47.2利用內(nèi)插由樣本重建信號內(nèi)插——就是用一連續(xù)信號對一組樣本值的擬合。例如1、帶限內(nèi)插

——利用理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)的內(nèi)插通常稱為帶限內(nèi)

插。

在上節(jié)，我們已經(jīng)看到：一個帶限信號，如果采樣足夠密的話，那么信號就能完全被恢復(fù)。上圖為沖激串采樣的采樣與恢復(fù)系統(tǒng)。圖中為一低通濾波器。設(shè)該低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為h(t)；系統(tǒng)的輸出為，這樣可得上式表明是由的移位信號的線性組合來重建信號，

而線性組合中的系數(shù)為信號的樣值序列。因此上式為重建信號的內(nèi)插公式得（7.11)所以可得

當(dāng)為理想濾波器的沖激響應(yīng)時，則設(shè)帶限信號的最高頻率為，當(dāng)滿足時，（7.11)式的重建是精確的。通常將該重建方法稱為帶限內(nèi)插。

sinc函數(shù)因為圖7.10表示了按(7.11)式,在時的重建過程。圖（a）為原始信號樣本沖激串用（7.11)式的函數(shù)的疊加取代沖激串的理想帶限內(nèi)插這種內(nèi)插,只要x(t)是帶限的,而且采樣頻率又滿足要求,就能實現(xiàn)信號的真正重建。2、零階保持在零階保持采樣中，已經(jīng)提到：零階保持的輸出在原理上可以用沖激串采樣，再緊跟一個LTI系統(tǒng)（具有矩形的單位沖激響應(yīng)）來得到。如下圖所示。這時內(nèi)插函數(shù)就是，它的傅里葉變換為:可得圖7.11。從圖可見，零階保持的頻率特性在零頻附近（或信號有效頻帶內(nèi)）與理想內(nèi)插濾波器的頻率特性很接近。這時可通過一個非理想的低通濾波器（例如RC濾波器），就能得到滿意的重建信號。3、一階保持

如果對零階保持所給出的粗糙內(nèi)插不夠滿意，可以通過選擇h(t)使用其它各種平滑的內(nèi)插手段。

當(dāng)h(t)為三角形特性時，可求得稱為一階保持（或稱線性內(nèi)插）的重建信號。因為所以,可求得傳輸函數(shù)為見圖7.13說明:

此傳輸函數(shù)可利用傅里葉變換的微分性質(zhì)來得到。具體推導(dǎo)過程如下：令則得#證畢倍角公式：注意：＝07.3欠采樣的效果:混疊現(xiàn)象對帶限信號采樣時,如不滿足采樣定理(即),此時在頻域上將發(fā)生頻譜重疊,通常這種現(xiàn)象稱為欠采樣。此時可能無法從的頻譜中不失真地分離出

（即不能把x(t)從采樣信號中恢復(fù)出來）。這一現(xiàn)象稱為混疊。

但可以證明，此時只要，則經(jīng)過帶限內(nèi)插所恢復(fù)的在點上將等于x(t)。當(dāng)時，得：因為習(xí)題7.25為了更清楚地了解:由于欠采樣導(dǎo)致頻譜混疊對信號恢復(fù)的影響。下面來看一個例子：

設(shè)這信號的頻譜如圖7.15所示，虛框是低通濾波器的通帶（）。1、在圖(b)、（c)中，即，因此沒有混疊。經(jīng)低通濾波器后的輸出為2、在圖(d)、（e)中，即因此產(chǎn)生混疊。經(jīng)低通濾波器后的輸出為并產(chǎn)生相為倒置當(dāng)混疊現(xiàn)象發(fā)生時，原始頻率就被混疊成一個較低的頻率。

1、當(dāng)時，隨著相對于的增加輸出頻率就下降。2、當(dāng)時，被重建的信號就是一個常數(shù)。這一點是與如下事實相一致的：即每一個周期只采樣一次時，這些樣本值都是相等的。見P383圖7.16實線為原始信號，虛線為重建信號。當(dāng)時7.4連續(xù)時間信號的離散時間處理把一個連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為一個離散時間信號,然后進(jìn)行處理,處理完后再把它轉(zhuǎn)換為連續(xù)時間信號?！匀皇且粋€連續(xù)時間系統(tǒng)。

這種處理方式的優(yōu)點是：可借助于微處理機(jī)、DSP等進(jìn)行處理。這樣做的理論基礎(chǔ)：是采樣定理。通過采樣，一個連續(xù)時間信號可用一串瞬時樣本值來表示。離散時間序列以下式與x(t)相聯(lián)系。離散時間信號以下式關(guān)聯(lián)C/D轉(zhuǎn)換D/C轉(zhuǎn)換

C/D轉(zhuǎn)換可看成是由沖激串采樣和從沖激串到離散時間序列的轉(zhuǎn)換這兩部分組

成。見圖7.21時間的歸一化過程從時域角度看再從頻域來看圖7.21的處理過程:(設(shè)連續(xù)時間的頻率變量用;離散時間的頻率變量用)1、將進(jìn)行傅里葉變換因為而得2、再看的離散時間傅里葉變換，即

(7.20)

(7.18)比較(7.18)和(7.20)式,可知和有如下關(guān)系:恒值(因為變量是t)當(dāng)用的樣本值來表示把樣條歸一成離散信號，只要使即可?！@個結(jié)論很重要。3、而在講沖激串采樣時已求得:(見P373頁的（7.6)式)可得到：圖7.22在兩種不同采樣率下,和的關(guān)系由圖可見:就是的重復(fù),只是頻率坐標(biāo)有一個尺度變換。即：的頻譜關(guān)系可這樣聯(lián)系。與

是由移位的

逐次疊加并做1/T尺度變換所形成的。顯然，是周期的，周期為（這種周期性是任何離散時間傅里葉變換都具有的特性）。當(dāng)時，頻譜沒有重疊；并在點上精確重現(xiàn)原信號的頻譜結(jié)構(gòu)。只要將乘以T倍和作的線性映射，就可以精確重現(xiàn)原信號的頻譜形狀?！虼耍跅l件下，序列保留了原始信號的所有信息。

信號經(jīng)離散時間系統(tǒng)處理后，得到序列。如果離散時間系統(tǒng)是一個恒等系統(tǒng)的話（即），而且假定滿足采樣條件，那么整個系統(tǒng)也一定是一個恒等系統(tǒng)。下面來加以證明：先將圖7.19用圖7.24來表示.由上式可見,可見,與離散時間頻率響應(yīng)的關(guān)系為：(7.25)經(jīng)濾波后得到因為可見若恒等系統(tǒng)則也為恒等系統(tǒng)圖7.24和(7.25)式提供了利用離散時間濾波器來對連續(xù)時間信號進(jìn)行處理的基礎(chǔ)。若為恒等系統(tǒng)則下面將以例子做一些進(jìn)一步的說明。7.4.1數(shù)字微分器考慮一個連續(xù)時間帶限微分器（微分濾波器）的離散時間實現(xiàn)。連續(xù)時間微分濾波器的頻率響應(yīng)可按以下求得:

若則得如右圖所示.截止頻率為的帶限微分器的頻率響應(yīng)為:因為:所以,可知相應(yīng)的離散時間的頻率響應(yīng)為如圖7.28所示。所以,只要在的采樣中沒有混疊產(chǎn)生,

就一定是的導(dǎo)數(shù)。又因為例7.2通過考慮該數(shù)字微分器在連續(xù)時間sinc函數(shù)輸入時的輸出,可方便地確定在數(shù)字微分器的實現(xiàn)中，該離散時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)

:

解：1、看信號是否符合采樣定理對輸入信號的要求其中T——為采樣周期則其余可見這是個帶限信號?！喜蓸佣ɡ淼囊蟆?見P209例4.5課本有誤1、證明：12、證明：利用了P221中式(4.42)頻域積分性質(zhì):其余1#證畢所以(7.30)數(shù)字微分器得：2、求3、抽樣函數(shù)定義：其波形如圖所示。由圖可見：1、它是一個偶函數(shù)；2、當(dāng)

時，函數(shù)值等于零。3、振幅沿t正、負(fù)兩方向逐漸衰減。

函數(shù)還具有以下性質(zhì)：抽樣函數(shù)的另一種表示是函數(shù)。表示式為：（包絡(luò)函數(shù)是？）3、求因為所以，該濾波器的單位脈沖響應(yīng)為（7.32)其中4、求7.4.2半采樣間隔延時這一節(jié)要討論利用圖7.19的系統(tǒng)實現(xiàn)一個連續(xù)時間信號的時間移位(延時)問題。

當(dāng)輸入是帶限的，且采樣率足夠高時，整個系統(tǒng)的輸入輸出是用下列關(guān)系聯(lián)系起來的：——延時時間根據(jù)時移性有要求等效連續(xù)系統(tǒng)必須是帶限的，因此選取

——是該連續(xù)時間濾波器的截止頻率其余（7.34)(7.33)由上式可見,

對于帶限內(nèi)的信號只產(chǎn)生一個頻移。若取，則相應(yīng)的離散時間頻率響應(yīng)為現(xiàn)在來看——是一個整數(shù)則2、若——不是整數(shù)，則（7.36)式就沒有意義,因為序列僅僅是在整數(shù)值上才有意義.

然而,我們卻能夠利用帶限內(nèi)插來解釋在這種情況下的和

之間的關(guān)系。因為和是通過采樣和內(nèi)插聯(lián)系在一起的，

當(dāng)=1/2(即)時,稱為半采樣間隔延時。(7.36)1、若(見P392圖7.30)例7.3確定半采樣間隔延時系統(tǒng)中的離散時間濾波器的單位沖激響應(yīng).

令由例7.2可知得而半采樣間隔延時系統(tǒng)的輸出就是所以可得,其余yp7.5離散時間信號采樣7.5.1脈沖串采樣圖7.31為離散時間采樣。N為采樣周期。周期信號的傅立葉變換公式(a)(b)(c)(d)注意：當(dāng)時，雖然會產(chǎn)生混疊，使得。但這兩個序列在采樣周期的整數(shù)點上總是相等的；這就是說，存在著這一點與是否存在混疊無關(guān)。例7.4有一序列x[n],其傅里葉變換具有如下特點:求：最低采樣率。解：為了確保不發(fā)生混疊，就必須求出最低的采樣率（或最大的采樣周期

N）從而可得，對應(yīng)的最低采樣頻率為7.5.2離散時間抽取與內(nèi)插

在許多應(yīng)用中,直接按圖7.31的形式來表示、傳輸或存儲這個已采得的序列是很不經(jīng)濟(jì)的。因為，該序列在采樣點之間明知都是零。為此，往往將該序列用一個新序列來代替。而就是用中的每隔N點上的序列值所構(gòu)成，即因為和x[n]在N的整數(shù)倍上都是相等的，所以又可寫成抽取——把提取每第N個點上的樣本這樣的過程稱為抽取。x[n],和之間的關(guān)系如圖7.34所示.為了確定抽取在頻域中的效果,希望能求得的傅里葉變換和的關(guān)系。為此,注意到因為如果令n=kN,則有(7.52)上式右邊就是的傅里葉變換,即因此可得——這一關(guān)系如圖7.35所示所以有已采樣序列和抽取序列的頻譜差別,只在頻率尺度上歸一化.如果原來的頻譜被適當(dāng)?shù)貛?以致于在中不存在混疊。那么，抽取的效果就是將原來序列的頻譜擴(kuò)展到一個較寬的頻帶部分。

如果原始序列x[n]是由連續(xù)時間信號采樣而得到，那么抽取過程就可以看成是在連續(xù)時間信號上將采樣率減小N倍的結(jié)果。因此抽取的過程往往稱減采樣.——在工程上，通過抽取。可使信號擴(kuò)展至整個頻帶，提高頻帶利用率，使系統(tǒng)達(dá)到最大的減速采樣，從而降低離散時間系統(tǒng)所要求的處理速度和規(guī)模。增采樣——把一個序列轉(zhuǎn)換到一個較高的等效采樣率上去，這稱為增采樣或內(nèi)插增采樣基本上是抽取或減采樣的逆過程。考慮將序列增采樣以得到x[n]的過程：由形成序列，只需要在的每一個序列值之間插入

(N–1)個幅度為零的序列值即可．然后就可以利用低通濾波器從中得到這個被內(nèi)插了的序列x[n].

整個過程見圖7.37例:下圖為一抽取系統(tǒng).圖中為一抗混疊濾波器,濾去信號中無用的高頻分量,并將信號的最高頻率限制為,試問此時系統(tǒng)所能達(dá)到的最大抽取N是多少?解:要獲得最大的抽取,就必須使占據(jù)整個頻帶．由于信號的最高頻率如對信號直接進(jìn)行抽取，要不產(chǎn)生混疊，必須

滿足，即，取N=4。對進(jìn)行

N=4的抽取，就得到，它的頻譜如圖（b)所示。其中在

這段頻帶內(nèi)頻譜還是零。因此仍有進(jìn)一步抽取的余地。