加強(qiáng)和改進(jìn)高等數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)一些實(shí)踐和體會(huì)

加強(qiáng)和改進(jìn)高等數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)

一些實(shí)踐和體會(huì)同濟(jì)大學(xué)國(guó)家工科數(shù)學(xué)基地郭鏡明guojm@加強(qiáng)基本概念教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)永恒主題，是加強(qiáng)“三基”(基本概念、基本理論、基本方法)的基礎(chǔ)。

當(dāng)前出現(xiàn)了某種“弱化”的傾向，原因是多方面的，諸如：教學(xué)時(shí)數(shù)的限制新教師缺乏經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)備不足，“不會(huì)講”概念學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念“平均能力”的下降應(yīng)試教學(xué)傾向的抬頭，把教學(xué)變成了一個(gè)講例題、做習(xí)題、答考題的枯燥過(guò)程

如何加強(qiáng)基本概念教學(xué)，要考慮具體的課程特點(diǎn)和所面對(duì)的學(xué)生情況，就高等數(shù)學(xué)而言：課程特點(diǎn)：基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、與實(shí)際聯(lián)系的緊密性學(xué)生情況：一年級(jí)新生抽象思維能力較弱，對(duì)形式符號(hào)不習(xí)慣概念教學(xué)的基本要件１．概念的引入（幾何、物理等應(yīng)用背景或數(shù)學(xué)背景，概念的直觀描述）２．概念的表述（數(shù)學(xué)表述、圖形表述、語(yǔ)言表述）３．對(duì)概念的內(nèi)涵、外延的進(jìn)一步說(shuō)明（例子、注記、比較等）４．概念的應(yīng)用（實(shí)際應(yīng)用、數(shù)學(xué)應(yīng)用）概念教學(xué)的基本要求１．準(zhǔn)確性２．透徹性３．生動(dòng)性（可接受性）（本文側(cè)重后兩點(diǎn)談些體會(huì)）加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念教學(xué)之一：

努力揭示基本概念的客觀背景及其在解決實(shí)際問(wèn)題中的意義，盡可能給出幾何解釋、物理解釋以及其他聯(lián)系實(shí)際的解釋。例１在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)f

(x)作為變化率的實(shí)際意義，并以此解釋一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論.從變化率角度解釋復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式：反函數(shù)的求導(dǎo)公式：參數(shù)方程求導(dǎo)公式：從變化率角度來(lái)解釋近似等式從變化率角度來(lái)解釋微分中值定理從變化率角度(如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率)來(lái)說(shuō)明f

(x)的符號(hào)決定函數(shù)的增減從兩種不同的實(shí)際變化率，導(dǎo)出二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)概念例２一些聯(lián)系學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的解釋(或類比)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和方法很有好處。例如二重積分中的極坐標(biāo)變換的作用可用下圖說(shuō)明。此時(shí)，“自然”的“求和”法應(yīng)是先向徑后幅角，而不是先垂直后水平。

類比不能牽強(qiáng)附會(huì)，簡(jiǎn)單化，更不能粗俗加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之二：

努力揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號(hào)后面的數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)教育學(xué)奠基人，荷蘭數(shù)學(xué)家H.Freudenthal(1908~1990)有一句名言：

“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想，以其被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來(lái)。一個(gè)問(wèn)題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得大熱的思考變成了冰冷的美麗?！?/p>

教學(xué)藝術(shù)就是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)，因此高等數(shù)學(xué)教師的任務(wù)就是：幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)微積分”，即發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷的形式”后面的“大熱的思考”。例３無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的引入第一步以學(xué)生原有知識(shí)作為引例，如求曲邊三角形面積時(shí)遇到的一個(gè)級(jí)數(shù);以及2的平方根:問(wèn)題：如何理解無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加(這是“不可完成”的！)得出一個(gè)數(shù)？第二步歷史爭(zhēng)論：Zeno’sParadox(芝諾悖論)Zeno：這是一個(gè)沒(méi)有終結(jié)的過(guò)程，因此永遠(yuǎn)跑不到原點(diǎn)。

實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們：若等速行進(jìn)，跑一半路程化時(shí)間T，則跑完全程應(yīng)化時(shí)間2T，即有？如何理解此等式?解決此悖論，要引進(jìn)極限方法：先算前n項(xiàng)之和：讓，上述和．(與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符！)可見(jiàn)，要把無(wú)限多項(xiàng)之“和”＝2T理解為前n項(xiàng)之和，當(dāng)時(shí)的極限。但是，如果以如下方式減速前進(jìn)：此時(shí)需化時(shí)？實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不能給我們?nèi)魏螁⑹?！若先考慮，則有在這種情況下，Zeno是有道理的：永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)。第三步幾點(diǎn)結(jié)論：

1．無(wú)窮級(jí)數(shù)是以加法形式出現(xiàn)的極限問(wèn)題；

2．正由于本質(zhì)是極限，故出現(xiàn)“極限是否存在”的問(wèn)題，即無(wú)窮多項(xiàng)“相加”可能是“沒(méi)有和”的；

3．正由于本質(zhì)是極限，故加法的性質(zhì)(如交換律、結(jié)合律等)不可以無(wú)條件平移過(guò)來(lái)；第四步正式定義無(wú)窮級(jí)數(shù)、部分和、和等概念。加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之三：

作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，注意展示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互區(qū)別，讓學(xué)生從比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從而從整體上把握所學(xué)到的諸多概念。

例4微積分以函數(shù)作為研究對(duì)象，而研究的主要方法是分析增量x和y的關(guān)系，可以說(shuō)，增量分析是微積分的核心內(nèi)容。以增量分析為線索，可以串聯(lián)微積分中的諸多基本概念和定理。連續(xù)：；可導(dǎo)：；可微：；微分中值定理：

N-L公式：發(fā)展脈絡(luò)二元函數(shù)相互聯(lián)系存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可微連續(xù)可偏導(dǎo)存在各方向的方向?qū)?shù)與一元函數(shù)相關(guān)概念的比較(特別注意“異”)二重極限VS一元極限偏導(dǎo)數(shù)VS一元導(dǎo)數(shù)全微分VS一元微分二重極限偏導(dǎo)數(shù)全微分方向?qū)?shù)梯度例5多元微分學(xué)中基本概念的相互聯(lián)系例6梯度與多元微分學(xué)其他概念的聯(lián)系：梯度與方向?qū)?shù)；梯度與等量面、等量線；梯度與曲面（曲線）的法向量；梯度與極值；梯度與Lagrange乘子法．梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系ff=-PDf=c3f=c2f=c1(x,y)=0目標(biāo)函數(shù):約束條件:例7對(duì)學(xué)得好一些的學(xué)生，還可講講一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的梯度、上的變換的雅可比矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，指出這三者作為“變化率”的相似之處。

對(duì)有些相近、相似或相關(guān)的概念，可把它們歸并成組加以比較，以突出相互之間的區(qū)別。

例如一元微積分中如下的這些概念組：數(shù)列極限與函數(shù)極限；發(fā)散量、無(wú)界量與無(wú)窮大量；一點(diǎn)處的連續(xù)（可導(dǎo)）與一個(gè)區(qū)間上的連續(xù)（可導(dǎo)）；左右極限與左右導(dǎo)數(shù)；駐點(diǎn)、極大（小）值點(diǎn)與最大（?。┲迭c(diǎn)；連續(xù)性、可導(dǎo)性與可積性；原函數(shù)、不定積分與定積分；可積性與存在原函數(shù)；定積分與反常積分；無(wú)窮小量、微分與微元；離散量的平均值與函數(shù)的平均值，等等

加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之四：

恰當(dāng)利用多媒體等現(xiàn)代教學(xué)手段，充分利用現(xiàn)有資源庫(kù)，制作適用的課件，直觀生動(dòng)地展示數(shù)學(xué)基本概念。例8函數(shù)與它的M-多項(xiàng)式，F(xiàn)-多項(xiàng)式的逼近。

(2)條件極值問(wèn)題的幾何說(shuō)明例9

(1)二元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的差別目標(biāo)函數(shù)：約束條件：加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之五：

對(duì)比較復(fù)雜的概念，要分解整理，理出所涉及的前期概念，先讓學(xué)生搞清楚;同時(shí)找出影響學(xué)生理解概念的難點(diǎn)，作重點(diǎn)講解例10第二類曲線(曲面)積分的定義中涉及“有向曲線(曲面)”的概念，在計(jì)算時(shí)還涉及有向曲線(曲面)及其切向量(法向量)的分析表示，教材上的處理一般比較簡(jiǎn)略，教學(xué)中容易忽略，造成學(xué)生理解上的困難。因此在定義積分前，要先把這些前期概念交代清楚。例如對(duì)第二類曲線積分，可取如下的次序講解：有向曲線的幾何說(shuō)明（分非閉曲線和閉曲線兩種情況)有向曲線上各點(diǎn)處的切向量的指向的規(guī)定有向曲線及其切向量的分析表示(分參數(shù)方程和顯式方程兩種情況)引例:變力沿曲線所作的功第二類曲線積分的定義

(第二類曲面積分的情況相類似)加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之六：

改變目前習(xí)題和考題重技巧、輕概念的情況，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單而有效的概念測(cè)試題，在平時(shí)練習(xí)并在考試中使用。例11美國(guó)教材中有關(guān)概念題舉例：

ThomasCalculus在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”的章復(fù)習(xí)題中，共出了20道概念問(wèn)答題，如：

1）函數(shù)在其定義域上的極值和最值的含義是怎樣的？如果兩者都有，那么它們的關(guān)系是怎樣的？試舉例說(shuō)明。

2）如果函數(shù)f在定義域的內(nèi)點(diǎn)處取得極值，該點(diǎn)處的f會(huì)有怎樣的情況？由這一事實(shí)可導(dǎo)出怎樣的求f的極值的步驟？

3)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論是什么？對(duì)這個(gè)定理可作怎樣的物理解釋？

4)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)告訴你有關(guān)函數(shù)圖形的什么信息？(注:對(duì)一階和二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值的作用進(jìn)行比較對(duì)照,是很有意義的)5)什么是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處的線性逼近？為使f在點(diǎn)a處存在線性逼近，f應(yīng)滿足什么條件？舉例說(shuō)明線性逼近有何應(yīng)用.

等等例12Stewart編Calculus中的“定性作圖題”：根據(jù)下面左半圖的要求，在右邊畫出相應(yīng)的曲線的圖形。例13Varberg

編Calculus中“一元積分學(xué)”中的有關(guān)概念題。例14我們自己編制的有關(guān)概念的考試題：加強(qiáng)和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之七：

從美國(guó)微積分教材中吸取加強(qiáng)基本概念教學(xué)的某些好的理念和做法．“４規(guī)則”(RuleofFour):對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象應(yīng)盡可能地從幾何、數(shù)值、分析、語(yǔ)言四個(gè)方面加以闡明“阿基米德原理”(ArchimedesPrinciple)正式的定義和方法應(yīng)根據(jù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探究而得出(即“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式”的講授法)“４規(guī)則”舉例：例15函數(shù)的局部線性化圖形顯示：在局部范圍，可微曲線y=x2的性態(tài)就象一條直線分析表示：一般說(shuō)來(lái)，在f(x)可微的點(diǎn)x=a處，曲線y=f(x)的切線方程是：y=f(a)+f(a)(x-a)，切線方程，即線性函數(shù)L(x)=f(a)+f(a)(x-a)，就給出了f(x)的很好的近似。用語(yǔ)言定義”線性化”：如果f在x=a處可微，那么近似函數(shù)L(x)=f(a)+f(a)(x-a)稱為f在x=a處的線性化。數(shù)值驗(yàn)證：在x=０處，近似式的精度近似值｜真值-近似值｜<10-2<10-3<10-5當(dāng)x的值離開(kāi)０較遠(yuǎn)時(shí)，誤差就加大了，例如對(duì)x=2，線性化對(duì)的近似值為2，連一位小數(shù)的精度都沒(méi)有?！皢?wèn)題驅(qū)動(dòng)法”舉例例16講了重要極限后，問(wèn)：若一年分n次計(jì)算復(fù)利，則銀行存款現(xiàn)值P和將來(lái)值B之間的關(guān)系如何？在連續(xù)復(fù)利下，即，則得：若本金為1，利息為100%，t=1，則得B=e．本題不僅實(shí)用，且使學(xué)生對(duì)e及其重要極限的感覺(jué)親切得多！

關(guān)于“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式”數(shù)學(xué)教學(xué)，張奠宙、張蔭南教授也作了很好的闡述，并稱此為NCM（NewConceptMathematics）指出：這種教學(xué)方法的實(shí)質(zhì)“是暴露數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不要把活潑的數(shù)學(xué)思想淹沒(méi)在形式的海洋里”建議：”在一些基本概念、基本理論和基本定理的建立時(shí)，不能滿