2022-2023學(xué)年福建省福州高二年級上冊學(xué)期12月適應(yīng)性練習(xí)（月考）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州第一中學(xué)高二上學(xué)期12月適應(yīng)性練習(xí)（月考）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和正弦二倍角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】將兩邊平方可得，則，.故選：A2．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】AC選項(xiàng)找出反例即可說明錯誤；B選項(xiàng)利用作差法比較大??；D選項(xiàng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故A錯；B選項(xiàng)：，當(dāng)，且時(shí)，，，，所以，即，故B錯；C選項(xiàng)：當(dāng)，，此時(shí)，故C錯；D選項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)椋詥握{(diào)遞減，，即，，故D正確.故選：D.3．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法結(jié)合函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，及時(shí)函數(shù)的取值范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由題得，則f(x)為偶函數(shù)，排除A；又，排除B；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以排除D，故選：C．4．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進(jìn)而利用勾股定理即可得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意知延長則必過點(diǎn),如圖：由雙曲線的定義知，又因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，因此，從而，所以，又因?yàn)?，所以，即，即，故選：B.5．在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點(diǎn)共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時(shí)要充分利用三點(diǎn)共線得出定值條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合三角函數(shù)值的大小關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】令，其定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)；又，令可得，故在上單調(diào)遞增；則，，又，故.故選：B.7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，有下述四個結(jié)論：①若是偶函數(shù)，則；②當(dāng)時(shí)，滿足的的取值范圍為；③若在區(qū)間上恰有一個極值點(diǎn)，則的取值范圍為；④當(dāng)時(shí)，若，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷①的正誤；由可得出，解此不等式可判斷②的正誤；由可求得的取值范圍，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組可判斷③的正誤；分析可知或，求出的表達(dá)式，可得出的最小值，可判斷④的正誤.【詳解】由題意可得，其中.對于①，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則，解得，①錯；對于②，當(dāng)時(shí)，，，由可得，則，解得，②對；對于③，當(dāng)時(shí)，，所以，或，解得或，③錯；對于④，當(dāng)時(shí)，，由可得或.若，時(shí)，，解得，，所以，，其中、，此時(shí)當(dāng)時(shí)，取得最小值；若，時(shí)，，解得，，所以，，其中、，此時(shí)當(dāng)時(shí)，取得最小值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，若，則的最小值為，④對.故選：B.8．拋物線的準(zhǔn)線l與雙曲線C：（，）交于A、B兩點(diǎn)，，為曲線C的左右焦點(diǎn)，在l左邊，為等邊三角形，與雙曲線的一條漸近線交于E點(diǎn)，，則的面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)，結(jié)合是等邊三角形，以及余弦定理，求得，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由，可得E為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，.拋物線的準(zhǔn)線l：，∴的邊長為，，在中，由余弦定理可得：.即，解得：，，..則的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，由拋物線方程求準(zhǔn)線方程，涉及余弦定理，屬綜合困難題.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的最小值為【答案】ABD【分析】對函數(shù)進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而利用性質(zhì)判斷出結(jié)果即可.【詳解】解：函數(shù).所以函數(shù)的周期為，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)，則，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，此時(shí)單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)錯誤；由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10．設(shè)點(diǎn)是的外心，且，下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若是正三角形，則D．若，，，則四邊形的面積是【答案】ACD【分析】分別根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理及三角形外心的性質(zhì)判斷即可求解.【詳解】對選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)是的外心，所以，所以為中點(diǎn)，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故A對；對選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，，三點(diǎn)共線，易知是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且為的中點(diǎn)，則，，故B錯；對選項(xiàng)C：因?yàn)槭钦切?，故，則，故C對；對選項(xiàng)D：因?yàn)?，故在外，又，所以，又，，則，故D對.故選:：ACD.11．已知點(diǎn)，分別為圓：與圓：上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上一點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即；由知當(dāng)取到最大即時(shí)最大，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，所以圓心，半徑為；由，得，所以圓心，半徑為；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)為，有，解得，即，連接，交直線于點(diǎn)，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且，連接，此時(shí)最小，當(dāng)取到最大時(shí)，取到最大值，如圖，由圖可知，，所以的最大值為，故A正確，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC12．已知函數(shù)，其中.對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上至少能取到兩次最大值，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期小于B．函數(shù)在內(nèi)不一定取到最大值C．D．函數(shù)在內(nèi)一定會取到最小值【答案】AD【分析】先根據(jù)在區(qū)間上至少能取到兩次最大值可得，據(jù)此可得，從而可得判斷AB的正誤，再根據(jù)的范圍可得判斷CD的正誤，注意范圍的進(jìn)一步探究.【詳解】由題意可知，，即A正確；因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，又，，所以函數(shù)在上一定有最大值點(diǎn)，即B錯誤；由題意可知，任意，總存在，使得：，故，整理得，可得，，即C錯誤；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，故，所以函?shù)在上一定有最小值點(diǎn)，即D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于含參數(shù)的正弦型函數(shù)問題，注意根據(jù)最值的特征合理刻畫函數(shù)的性質(zhì)，從而得到參數(shù)的取值范圍內(nèi)，此類問題，整體法是處理此類問題的基本策略.三、填空題13．已知向量的夾角為，，則_____________.【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量模的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，向量的夾角為，，可得，可得，所以.故答案為：.14．已知，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則m的取值范圍是_________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)法得過的切線方程為，由過點(diǎn)可作曲線的三條切線得有3個不等實(shí)根，令，由導(dǎo)數(shù)法討論單調(diào)性與極值，由數(shù)形結(jié)合得出范圍即可.【詳解】，則過的切線為，即.由過點(diǎn)可作曲線的三條切線得有3個不等實(shí)根.令，，由得或.當(dāng)或，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為.要使有3個不等實(shí)根，則，即所求m的取值范圍是.故答案為：15．如圖，在矩形中，，，，分別是和的中點(diǎn)，若是矩形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），滿足，且，則的最小值為__________.【答案】【分析】，設(shè)，，則，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，且位于矩形內(nèi)部（含端點(diǎn)），設(shè)的中點(diǎn)為，則，只需求的最小值即可.【詳解】由，得，所以.取，，則，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，且位于矩形內(nèi)部（含端點(diǎn)），如圖.設(shè)的中點(diǎn)為，則.因?yàn)椋?，，分別是和的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求平面向量數(shù)量積的最小值問題，涉及到向量共線定理的結(jié)論，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，是一道較難的題.16．如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，且，，則的面積的最大值為__________．【答案】.【詳解】分析：由題意首先求得∠ABC的三角函數(shù)值，然后結(jié)合三角形面積公式和均值不等式求解三角形面積的最值即可.詳解：由可得：，則.由可知：，則，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知：.設(shè)，在△ABD中由余弦定理可得：，在△CBD中由余弦定理可得：，由于，故，即：，整理可得：.①在△ABC中，由余弦定理可知：，則：，代入①式整理計(jì)算可得：，由均值不等式的結(jié)論可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，據(jù)此可知△ABC面積的最大值為：.點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．四、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用已知條件求出角的取值范圍，利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：，由，得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由已知可得，解得，，因?yàn)?，則，所以，.18．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，，，且滿足___________．(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①時(shí)，利用正弦定理邊化角得，又，代入整理得，化簡即可求解；選②時(shí)，利用正弦定理邊化角得，又，代入整理得，化簡即可求解；選③時(shí)，利用正弦定理邊化角得，即，再利用兩角差的余弦公式展開得，化簡即可求解；（2）根據(jù)面積公式得，再利用余弦定理得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）選①時(shí)，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，，故．選②時(shí)，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故．選③時(shí)，，利用正弦定理得：，又，，整理得．所以，整理得，，故．（2）由于的面積為，所以，，解得．在中，由余弦定理得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，的最小值為．19．已知.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換元法及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解；（2）利用兩角差的正弦公式及換元法，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】（1）令則由于所以，，從而，則，即于是有，即解得，所以，所以，，所以.（2），從而，所以，從而，令，則，從而，即，于是有，即，即，從而或（舍），即，所以.因?yàn)?，所?20．如圖，某公園內(nèi)有一個以O(shè)為圓心，半徑為5百米，圓心角為的扇形人工湖OAB，OM、ON是分別由OA、OB延伸而成的兩條觀光道．為便于游客觀光，公園的主管部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)增建三條觀光道，其中一條與相切點(diǎn)F，且與OM、ON分別相交于C、D，另兩條是分別和湖岸OA、OB垂直的FG、FH(垂足均不與O重合)．

(1)求新增觀光道FG、FH長度之和的最大值；

(2)在觀光道ON段上距離O為15百米的E處的道路兩側(cè)各有一個大型娛樂場，為了不影響娛樂場平時(shí)的正常開放，要求新增觀光道CD的延長線不能進(jìn)入以E為圓心，2.5百米為半徑的圓形E的區(qū)域內(nèi)．則點(diǎn)D應(yīng)選擇在O與E之間的什么位置？請說明理由．【答案】(1)新增觀光道FG、FH長度之和的最大值是百米；(2)點(diǎn)D應(yīng)選擇在O與E之間，且到點(diǎn)O的距離在區(qū)間(單位：百米)內(nèi)的任何一點(diǎn)處．【分析】（1）連結(jié)OF，OF⊥CD于點(diǎn)F，則OF＝5．設(shè)∠FOD＝θ，則FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ，利用兩角和與差的正弦公式化簡，即可得到新增觀光道FG、FH長度之和的最大值；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)N所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．可得圓O的方程，圓E的方程，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得到答案即可.【詳解】(1)連結(jié)OF，OF⊥CD于點(diǎn)F，則OF＝5．設(shè)∠FOD＝θ，則∠FOC＝－θ(＜θ＜)，故FH＝5sinθ，F(xiàn)G＝5sin(－θ)，則FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)，因?yàn)椋鸡龋?，所以＜θ＋＜，所以?dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，(FG＋FH)max＝．(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)N所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．由題意，可知直線CD是以O(shè)為圓心，5為半徑的圓O的切線，直線CD與圓E相離，且點(diǎn)O在直線CD下方，點(diǎn)E在直線CD上方．由OF＝5，圓E的半徑為2.5，因?yàn)閳AO的方程為x2＋y2＝25，圓E的方程為(x－15)2＋y2＝6.25，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋t(－＜k＜0，t＞0)，即kx－y＋t＝0，設(shè)點(diǎn)D(xD，0)則

由①得t＝5，代入②得，解得k2>．又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．答：(1)新增觀光道FG、FH長度之和的最大值是百米；(2)點(diǎn)D應(yīng)選擇在O與E之間，且到點(diǎn)O的距離在區(qū)間(單位：百米)內(nèi)的任何一點(diǎn)處．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了邏輯推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題.21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意，不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值是.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求得切斜斜率k，代入點(diǎn)斜式方程，即可得答案.（2）由題意可得在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)，求得的單調(diào)性和最值，綜合分析，即可得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，切線的斜率為，又，所求切線的方程為，即為.（2）當(dāng)時(shí)，，整理可得，令，則令，則，由，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)