2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市永年區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到其準(zhǔn)線方程，從而得到方程，解得即可.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則其準(zhǔn)線方程為所以．故選：B．2．已知數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由題中條件，根據(jù)遞推公式，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，?故選：A.3．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)所在軸,再由計(jì)算即可.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知焦點(diǎn)在軸上，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由可得，可得.故選:.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此數(shù)列通項(xiàng)公式【解析】數(shù)列求通項(xiàng)公式5．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.6．已知等差數(shù)列滿足，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可判斷出正確選項(xiàng).【詳解】∵，又∵，∴，∴，，故C正確，AD錯(cuò)誤；，而等差數(shù)列中，故B錯(cuò)誤.故選：C7．是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義可判斷，平方得出，再利用余弦定理求解即可．【詳解】是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，，，，在中，，，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形的問題，結(jié)合余弦定理整體求解是運(yùn)算的技巧，屬于中檔題．8．已知點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由，得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，故，所以，解得：，故選：.【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.二、多選題9．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的幾個(gè)命題，其中正確的有（

）A．?dāng)?shù)列遞增B．?dāng)?shù)列是遞增的等差數(shù)列C．若，為的前項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，則D．若，則方程有唯一的根【答案】ABD【分析】由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)說明A正確，然后逐一寫出B、C、D所對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，．【詳解】解：、設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)符合題意；、，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．因?yàn)?，所以該?shù)列是遞增的等差數(shù)列，故選項(xiàng)符合題意；、由得到．由為等差數(shù)列可設(shè)：．即．所以當(dāng)恒成立時(shí)，，，．所以，或．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上所述，或．故選項(xiàng)不符合題意；、由，，得，，即又因?yàn)閿?shù)列遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以最小值是或，所以．由當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題解答的關(guān)鍵是等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用；10．已知是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且，則（

）A．的周長為 B．C．點(diǎn)到軸的距離為 D．【答案】BCD【分析】A．根據(jù)橢圓定義分析的周長并判斷；B．根據(jù)橢圓定義以及已知條件先求解出的值，結(jié)合三角形的面積公式求解出并判斷；C．根據(jù)三角形等面積法求解出點(diǎn)到軸的距離并判斷；D．根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算以及的值求解出結(jié)果并判斷.【詳解】A．因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，，所以，所以，所以，故正確；C．設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，所以，所以，故正確；D．因?yàn)椋收_；故選：BCD.11．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上的射影為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【分析】已知拋物線的方程，利用拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng)．【詳解】取的中點(diǎn)，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，為梯形的中位線，故，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立可得，令，解得，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12．已知點(diǎn)?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（

）A．與雙曲線的實(shí)軸長相等 B．的面積為C．雙曲線的離心率為 D．直線是雙曲線的一條漸近線【答案】BCD【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得，然后，然后逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，所以，所以的面積為，故B正確；由勾股定理得，即，所以，故C正確因?yàn)?，所以，即所以雙曲線的漸近線方程為：，即，即，故D正確故選：BCD三、填空題13．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】由關(guān)于的二次方程表示圓可得或，又由點(diǎn)在圓內(nèi)可得，取交集即可.【詳解】解：由題可知，解得或，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最小值為________.【答案】8【分析】根據(jù)所求可轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)的距離的平方，利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】令，則的最小值為圓與直線相切時(shí)的圓的半徑的平方，所以，即的最小值為8.故答案為：815．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則取最大值時(shí)________．【答案】6或7【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和二次函數(shù)性質(zhì)確定最大值取法，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以為開口向下的二次函數(shù)，又所以對(duì)稱軸為因?yàn)?，所以?dāng)6或7時(shí)，取最大值，故答案為：6或7【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和、二次函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16．已知雙曲線和斜率為的直線l交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l變化時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的方程是________.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法及直線的斜率可得出中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，則兩式相減，得.因?yàn)椋淖鴺?biāo)為，所以，又直線的斜率為，所以，即.故答案為：四、解答題17．已知雙曲線的方程為，是否存在被點(diǎn)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】不存在．理由見解析.【分析】假設(shè)直線存在，設(shè)直線為，聯(lián)立方程，根據(jù)判別式可求出k的范圍，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)可求出k,結(jié)合k的范圍可知不存在.【詳解】不存在．理由：由題意知直線的斜率存在，設(shè)被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為，代入雙曲線方程，得，所以，且，解得，且．設(shè)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則．因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋圆淮嬖诒稽c(diǎn)平分的弦．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，弦中點(diǎn)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.18．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為記前項(xiàng)和為．(Ⅰ)設(shè)，求和的值；(Ⅱ)設(shè)，求的值．【答案】(I)；（II)．【詳解】試題分析：(1)由等差數(shù)列的前三項(xiàng)為可列出關(guān)系式，從而求出的值，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，由數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求的值；（2）由（1）可知，所以，即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式求之即可．試題解析：（1）由已知得，又，∴，即．∴，公差．由，得，即．解得或（舍去）．∴．（2）由，得．∴，∴是等差數(shù)列．則；．∴．【解析】等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式．19．已知雙曲線上存在關(guān)于直線：對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】【分析】雙曲線上存在關(guān)于直線：對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，線段AB的中點(diǎn)與雙曲線聯(lián)立方程組可得，此時(shí)，，化為①，利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入直線：，可得，代入①式解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由，可設(shè)直線AB的方程為，代入中，得，∴，，即①設(shè)AB的中點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，∵點(diǎn)在直線上，∴，即②把②代入①得，解得或，∴或，即或，且，解得或，或或故的取值范圍是.20．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且n∈N*，所有項(xiàng)an＞0，且.（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）an＝2n＋1.【分析】（1）討論n=1時(shí)，a1＝S1，求出a1；n≥2時(shí)，＝－，將式子進(jìn)行變形化簡，進(jìn)而得出an－an－1是一個(gè)常數(shù)；（2）由（1），通過即可求得.【詳解】（1）證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝，解得a1＝3或a1＝－1(舍去).當(dāng)n≥2時(shí)，＝－＝－，所以，因?yàn)?，所?所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線的方程.【答案】(1).(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求出，即可得到橢圓方程；（2）先由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，由韋達(dá)定理，根據(jù)的面積，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，離心率，所以所以所以橢圓的方程為，（2）由題意可以設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，所以，，.所以的面積創(chuàng)因?yàn)榈拿娣e為，所以.解得.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程，以及橢圓中的直線問題，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若直線，的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出，然后求拋物線的方程；（2）通過直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及斜率乘積