應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)-順序統(tǒng)計(jì)量的分布

順序統(tǒng)計(jì)量的分布

只要總體的分布已知，那么次序統(tǒng)計(jì)量的分布是可以求出來得。下面僅就連續(xù)型總體X進(jìn)行討論。是取自X的樣本。則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量X(k)的密度函數(shù)為定理設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x).

X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x).

證明：考慮“第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量X(k)

落入很小的區(qū)間(x,x+x]內(nèi)”這一事件的概率。記X(k)

的分布函數(shù)為Fk(x)。則該概率為Fk(x+x)-Fk(x)。另外，該事件等價(jià)于“容量為n的樣本X1,X2,…,Xn中有k-1個(gè)分量小于或等于x，1個(gè)分量落入(x,x+x]內(nèi)，余下的n-k個(gè)分量大于x+x。注意，由于樣本分量相互獨(dú)立，且與總體X同分布。所以每一個(gè)分量小于或等于x的概率為F(x)大于x+x的概率為1-F(x+x)，落入(x,x+x]內(nèi)的概率為F(x+x)-F(x)。該事件的概率為兩邊除以x，并令x0，則有是取自X的樣本。則最大次序統(tǒng)計(jì)量X(n)的概率密度函數(shù)為推論1設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x).

分布函數(shù)為推論2設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x).

是取自X的樣本。則最小次序統(tǒng)計(jì)量X(1)的概率密度函數(shù)為分布函數(shù)為例4設(shè)某型號電子元件的壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，X1,…,Xn是對X進(jìn)行n次獨(dú)立觀測的壽命。求n次觀測中（1）最大壽命小于b的概率；（2）最小壽命大于a的概率。(a>0,b>0)解：由于所以，最大次序統(tǒng)計(jì)量X(n)的分布函數(shù)為于是例4設(shè)某型號電子元件的壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，X1,…,Xn是對X進(jìn)行n次獨(dú)立觀測的壽命。求n次觀測中（1）最大壽命小于b的概率；（2）最小壽命大于a的概率。(a>0,b>0)解：由于所以，最小次序統(tǒng)計(jì)量X(1)的分布函數(shù)為于是例5設(shè)X1,X2,…,Xn是取自[0,1]上均勻分布的樣本，求第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量X(k)

的數(shù)學(xué)期望。解：由于由定理知，X(k)

的概率密度為于是有設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x)，X1,X2,…,Xn是取自該總體的樣本。則(X(1),X(n))的聯(lián)合密度函數(shù)為證明：我們知道，(X(1),X(n))的聯(lián)合密度函數(shù)可以定義為而事件“x<X(1)x+x,y<X(n)

y+y”等價(jià)于“容量為n的樣本中有1個(gè)落入(x,x+x]內(nèi)，有1個(gè)落入(y,y+y]內(nèi)，余下的n2個(gè)落入(x+x,y]中。這相當(dāng)于將樣本分成三組，第一組有1樣本，第二組有n2個(gè)樣本，第三組有1個(gè)樣本。而且，由于樣本相互獨(dú)立，且與總體X同分布。所以每一個(gè)樣本落入第一組的概率為F(x+x)F(x