高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式大全

導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x)=x

-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(tanx)

=

sec2x.(cotx)

=

-csc2x.(secx)

=

secxtanx.(cscx)

=

-cscxcotx.另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：定理2.1

設(shè)函數(shù)

u(x)、v(x)在x處可導(dǎo)，在x

處也可導(dǎo)，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+

u(x)v(x);導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且則它們的和、差、積與商推論

1

(cu(x))

=cu(x)(c為常數(shù)).推論

2乘法法則的推廣：補(bǔ)充例題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解根據(jù)推論1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4

-ex+5cosx-1)=(3x4)

-(ex)+(5cosx)

-(1)=12x3

-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，

例

1設(shè)f(x)=3x4–ex

+5cosx-1，求f(x)及f(0).

例

2設(shè)y=xlnx

，求y.解根據(jù)乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx解根據(jù)除法公式，有例

3設(shè)求y.教材P32例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：

高階導(dǎo)數(shù)如果可以對(duì)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)再求導(dǎo)，所得到的一個(gè)新函數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y或如對(duì)二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱(chēng)三階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為y(4)，y(5)，·

·

·，y(n)或·

·

·

，

而把f(x)

稱(chēng)為f(x)的一階導(dǎo)數(shù).例3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解：二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算

推論

設(shè)

y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

y=f[((x))]也可導(dǎo)，以上法則說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).求導(dǎo)方法小結(jié)：例5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法求對(duì)自變量(或)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只須將另一自變量(或)看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.例1設(shè)函數(shù)求解：

例2設(shè)函數(shù)解：類(lèi)似可得

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一般說(shuō)來(lái)仍然是x,y

的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于

x,y

的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)是f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序，二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：（用符號(hào)表示如下）其中及稱(chēng)為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類(lèi)似的，可以定義三階、四階、…

、n

階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).注：當(dāng)兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，它們是相等的即