二項(xiàng)分布、泊松分布及正態(tài)分布

第五章一維隨機(jī)變量目的與要求：掌握一維隨機(jī)變量及其分布、離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量、二項(xiàng)分布、泊松分布及正態(tài)分布。教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間安排2學(xué)時(shí)教學(xué)方法：講授與提問結(jié)合教學(xué)手段：多媒體PPT軟件重點(diǎn)：隨機(jī)變量的概念及三個(gè)分布難點(diǎn)：隨機(jī)變量的概念與三個(gè)分布。第五章一維隨機(jī)變量

在上一章中，我們研究了隨機(jī)事件與概率的一些基本概念和理論。為了更深入地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示其相應(yīng)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，從本章起，我們將引進(jìn)隨機(jī)變量的概念。其基本想法是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即用一個(gè)變量X來描述試驗(yàn)的結(jié)果。先看下面的例子。一、隨機(jī)變量的定義

例1投擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面的情形。試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果：

我們引入一個(gè)變量如下：—出現(xiàn)正面—出現(xiàn)反面這個(gè)變量可以看作是定義在樣本空間上的函數(shù)，稱其為隨機(jī)變量。實(shí)際上此變量是依試驗(yàn)結(jié)果的不同而隨機(jī)地取值1或0。例2擲一枚骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果本身就是一個(gè)數(shù).（與數(shù)值有關(guān)）

當(dāng)時(shí)，，這里是隨機(jī)變量，我們引入一個(gè)變量它是依試驗(yàn)結(jié)果的不同而隨機(jī)地取值1，2，3，4，5，6。昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；每天從內(nèi)江站下火車的人數(shù)；類似的例子：七月份內(nèi)江的最高溫度；

在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為,其樣本空間為如果對(duì)于每個(gè)，都有一個(gè)實(shí)數(shù)

和它對(duì)應(yīng)，于是就得到一個(gè)定義在上的實(shí)值單值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示

例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.

我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.如

P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5<X<1.7)=?二、隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系

對(duì)所考察的隨機(jī)現(xiàn)象，當(dāng)引入隨機(jī)變量以后，隨機(jī)事件即可用隨機(jī)變量滿足某關(guān)系式來描述，反之，給出隨機(jī)變量X滿足某關(guān)系式，它將表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象中的某個(gè)事件。比如：例1中，表示該試驗(yàn)中“反面朝上”事件。表示該試驗(yàn)中“正面朝上”事件。例2中，事件{點(diǎn)數(shù)不少于3}可表示為三、隨機(jī)變量的分類通常分為兩類：隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.

這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處，但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn)。

學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法。

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究。為了描述隨機(jī)變量X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的所有可能取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.為此我們有以下定義：第二節(jié)離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)(即能與自然數(shù)的集合一一對(duì)應(yīng)），則稱該變量為離散型隨機(jī)變量。

定義設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取值為并且取各個(gè)值的對(duì)應(yīng)概率為

即則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，又稱分布密度或分布列。其中且反過來，假如有一列數(shù)滿足分布列也可以通過列表表示：且則該數(shù)列可以定義為某離散型隨機(jī)變量的分布列。其中第一行表示隨機(jī)變量所有可能的取值，第二行表示這些取值所對(duì)應(yīng)的概率。例1如右圖所示，從中任取3個(gè)球。取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。X可能取的值是0,1,2。取每個(gè)值的概率為0.10.60.3其分布列為例2隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值和，并且已知稱這種只取兩個(gè)值的分布為兩點(diǎn)分布。特別：若則稱這種分布為(0-1)分布。其分布列為：

01例3在獨(dú)立試驗(yàn)概型中，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)時(shí)A發(fā)生k次的概率已知為：如果用隨機(jī)變量表示發(fā)生的次數(shù)，則的可能取值為：相應(yīng)的分布列為：容易驗(yàn)證：這種分布稱為二項(xiàng)分布，又稱Y服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，記為：如果A在第次發(fā)生，則前次都是發(fā)生，從而的概率為：稱服從參數(shù)為的幾何分布。例4在事件A發(fā)生概率為的貝努利試驗(yàn)中，如果用表示事件A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則為一隨機(jī)變量，可能的取值為：解:依據(jù)分布列的性質(zhì):從而這個(gè)分布稱為泊松(Poisson)分布.例5設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：試確定常數(shù)a.且解得泊松分布的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，比如電信傳呼臺(tái)每天接受到的傳呼次數(shù)，某繁華交叉街口每小時(shí)經(jīng)過的車輛數(shù)等都服從泊松分布，而且由下面定理可以看到二項(xiàng)分布與泊松分布有著密切的聯(lián)系。泊松定理在二項(xiàng)分布中，如果例7某種藥品的過敏反應(yīng)率為，今有20000人使用此藥品，求20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)不超過3的概率。

解以表示20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，所求的概率為：如果利用近似公式計(jì)算，可以得到：，且比較兩個(gè)結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。例8某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可能的取值為0、1、2

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例9某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)分布列.解:顯然，X

可能取的值是1,2,…

，于是設(shè)={第發(fā)命中}，，類似地，有這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布列.

這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其概率分布.

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.下一節(jié)，我們將介紹連續(xù)型隨機(jī)變量。第三節(jié)分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量以及更廣泛類型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進(jìn)了分布函數(shù)的概念.一、分布函數(shù)的定義

定義：設(shè)

是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量取值落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.顯然，對(duì)任意即是右連續(xù)的。分布函數(shù)的性質(zhì)：

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。也就是說，性質(zhì)(1)--(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律是則。離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算舉例：

由于是X

取的諸值

的概率之和，故又稱為累積概率函數(shù).解由定義當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，例1求

。當(dāng)

時(shí)，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故下面我們從圖形上來看一看。注意右連續(xù)不難看出，

的圖形是階梯狀的圖形，在處有跳躍，其躍度分別等于分布函數(shù)圖概率函數(shù)圖三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。由定義可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，是密度函數(shù)的可變上限的定積分.定義設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在一非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)有由上式可得，在

的連續(xù)點(diǎn)，概率密度函數(shù)的性質(zhì)：這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)是否為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的充要條件。利用以上關(guān)系可以推得，隨機(jī)變量落入某有限區(qū)間內(nèi)的概率為類似可得取值落入內(nèi)的概率為：它是以為底，以曲線為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e。需要指出的是:連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0，即：為任一指定值,這是因?yàn)椋海?)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X,有由此得，（2)由可推知而并非不可能事件，并非必然事件?？梢?，由不能推出o面積為1由

不能推出

由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一被它的密度函數(shù)所確定。所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機(jī)變量的規(guī)律就得到了全面描述.下面給出幾個(gè)隨機(jī)變量的例子。例2若隨機(jī)變量X取值在區(qū)間上，并且取每一點(diǎn)的可能性是相同的，則稱X服從區(qū)間上的均勻分布，記作：寫出它的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。由幾何概率的定義容易得到的分布函數(shù)為從而概率密度為：解例3若隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。

指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.常簡記為：容易看出：且所以確是一概率密度。解(1)由指數(shù)分布的定義可得例4對(duì)服從參數(shù)為0.015的指數(shù)分布的變量X,試計(jì)算:(1)X取值大于100的概率;(2)若要求P(X>x)<0.1,問x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(2)若要求即指數(shù)分布經(jīng)常被用來近似描述各種“壽命”分布，如無線電元件的壽命，動(dòng)物的壽命，電話問題中的通話時(shí)間，傳呼臺(tái)首次傳呼來到的時(shí)刻，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都假定是服從指數(shù)分布的。例5

設(shè)求。解

由定義由于

是分段表達(dá)的，求

時(shí)注意分段求.即例7

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X取值在區(qū)間(0.3,0.7)的概率及概率密度。解:

要注意的是，密度函數(shù)在某點(diǎn)處的高度，并不反映X取值的概率。但是這個(gè)高度越大，則X取

附近的值的概率就越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度。第四節(jié)正態(tài)分布

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布。在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。一、正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)定義若隨機(jī)變量X的概率密度為其中和都是常數(shù)，任意，，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布?？梢宰C明記作：

證明：作變量代換左邊

正態(tài)分布的圖形：化為極坐標(biāo)其中

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線。特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”。

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。其分布函數(shù)是：二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,