微積分9-1對弧長曲線積分

第九章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分第十一章一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用同樣可定義空間中的光滑曲線.一、第一型曲線積分的概念與性質(zhì)設(shè)

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對

的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds

0,但定積分中dx

可能為負.存在條件：推廣：3.性質(zhì)（,為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義點設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為則說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.因此如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)例2yxOBA11解例3解一設(shè)L：yxo?a＝8a2解二設(shè)L：yxo?ar＝8a2例4.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線計算的一般程序1.畫線L；2.恰當選擇L的參數(shù)方程，3.確定積分限，

注意下限一定比上限小。練習(xí).計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則2.第一型曲線積分的性質(zhì)1.對稱性2.輪換性3.被積函數(shù)定義在積分曲線上例5.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得例6.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知3.對弧長曲線積分的幾何與物理意義解例7例8.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標系如圖,則例9.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長度)3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧思考與練習(xí)1.

已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)故重心坐標為第二節(jié)備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的