陳家璧版-光學(xué)信息技術(shù)原理與應(yīng)用復(fù)習(xí)題解答(1-3章)

..第一章習(xí)題已知不變線性系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b取〔1〔2,求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：〔1圖形從略,〔2圖形從略。1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零,如果,,試證明證明：如果,,還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因為這時。對一個空間不變線性系統(tǒng),脈沖響應(yīng)為試用頻域方法對下面每一個輸入,求其輸出。〔必要時,可取合理近似〔1答：〔2答：〔3答：〔4答：1.4給定一個不變線性系統(tǒng),輸入函數(shù)為有限延伸的三角波對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出?！?〔2略.1.5若對二維函數(shù)抽樣,求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答：也就是說,在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a,在y方向抽樣間隔無限制。1.6若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣,即試說明,即使采用奈魁斯特間隔抽樣,也不能用一個理想低通濾波器精確恢復(fù)。答：因為表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對精確恢復(fù)也有貢獻,不可省略。1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是"線脈沖",系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：1.8如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間,之外恒為零,系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù),輸出為。證明,存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù),它作為等效輸入,可產(chǎn)生相同的輸出,并請確定。答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P45。為了便于從頻率域分析,分別設(shè)：物的空間頻譜；像的空間頻譜；等效物體的空間頻譜；等效物體的像的空間頻譜由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器,傳遞函數(shù)在之外恒為零,故可將其記為：、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù),表示物像之間在頻域中的關(guān)系為在頻域中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù),預(yù)期作為等效物的譜,辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍,選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊,于是對于同一個成像系統(tǒng),由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限,只能允許的中央一個周期成份〔通過,所以成像的譜并不發(fā)生變化,即第二章習(xí)題：一列波長為的單位振幅平面光波,波矢量與軸的夾角為,與軸夾角為,試寫出其空間頻率及平面上的復(fù)振幅表達式。答：,,尺寸為a×b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明,求出緊靠屏后的平面上的透射光場的角譜。答：,,波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上,在孔徑平面上有一個足夠大的模板,其振幅透過率為,求緊靠孔徑透射場的角譜。答:：參看圖2-13,邊長為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為的正方形掩模,其中心落在點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求出與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出時,孔徑頻譜在方向上的截面圖。圖2.13〔2.4題圖答：圖2-14所示的孔徑由兩個相同的矩形組成,它們的寬度為,長度為,中心相距為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。假定及,畫出沿和方向上強度分布的截面圖。如果對其中一個矩形引入位相差,上述結(jié)果有何變化？圖2.14〔2.5題圖答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P73。〔1如圖所示,雙縫的振幅透射率是兩個中心在及的矩形孔徑振幅透射率之和：〔1由于是單位振幅平面波垂直照明,孔徑平面上入射光場,透射光場〔2由夫瑯和費衍射方程,在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣,它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式〔頻率坐標(biāo),即〔3利用傅立葉變換的相移定理,得到把它帶入〔3式,則有強度分布不難看出,這一強度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：〔4它和〔1式本質(zhì)上是相同的。由〔4式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式,導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。圖2-14所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出在方向上的振幅分布曲線。圖2.15〔2.6題圖答：振幅分布曲線圖從略。在夫瑯和費衍射中,只要孔徑上的場沒有相位變化,試證明：〔1不論孔徑的形狀如何,夫瑯和費衍射圖樣都有一個對稱中心。〔2若孔徑對于某一條直線是對稱的,則衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。證明：〔1在孔徑上的場沒有相位變化時,衍射孔徑上的光分布是一個實函數(shù),其傅里葉變換是厄米型函數(shù),即：因此,所以夫瑯和費衍射圖樣有一個對稱中心。〔2孔徑對于某一條直線是對稱時,以該直線為軸建立坐標(biāo)系。有：因此同時所以可見衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有個形狀和方位都相同的全等形開孔,在每一個開孔內(nèi)取一個相對開孔來講方位一樣的點代表孔的位置,那末該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是下列兩個因子的乘積：〔1置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射〔該衍射屏的原點處不一定有開孔；〔2個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉。證明：假設(shè)置于原點的一個孔徑表示為,個處于代表孔位置的點上的點光源表示為,則衍射屏的透過率可表示為,其傅里葉變換可表示為,該式右邊第一項對應(yīng)于置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射,第二項對應(yīng)于個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉,因此該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是這兩個因子的乘積。一個衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數(shù)這個屏的作用在什么方面像一個透鏡？給出此屏的焦距表達式。什么特性會嚴(yán)重的限制這種屏用做成像裝置〔特別是對于彩色物體？答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P116?！?解衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示,也可以把它表示為直角坐標(biāo)的形式：〔1〔1式大括號中第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減,其他兩項指數(shù)項與透鏡位相變換因子比較,可見形式相同。當(dāng)平面波垂直照射時,這兩項的作用是分別產(chǎn)生會聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡,因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑?！?解把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項與透鏡位相變換因子相比較,得到相應(yīng)的焦距,對于項,令,則有焦距為正,其作用相當(dāng)于會聚透鏡,對于項,令,則有焦距為負,其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡,對于""這一項來說,平行光波直接透過,僅振幅衰減,可看作是〔3解由于改衍射屏有三重焦距,用作成像裝置時,對同一物體它可以形成三個像,例如對于無窮遠的點光源,分別在屏兩側(cè)對稱位置形成實像和虛像,另一個像在無窮遠〔直接透射光〔參看圖4.12。當(dāng)觀察者觀察其中一個像時,同時會看到另外的離焦像,無法分離開。如用接收屏接收,在任何一個像面上都會有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外,對于多色物體來說,嚴(yán)重的色差也是一個重要的限制。因為焦距都與波長成反比。例如取,,則有這樣大的色差是無法用作成像裝置的,若采用白光作光源,在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。這種衍射屏實際就是同軸形式的點源全息圖,即伽柏全息圖。用波長為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔,若觀察范圍是與衍射孔共軸,半徑為的圓域,試求菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射的范圍。答：由式<2.55>及式<2-57>有菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射分別要求即單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上,試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強度分布。答：圓形孔徑的透過率可表示為根據(jù)式<2.53>有軸上的振幅分布為軸上的強度分布為余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為式中,為光柵周期,,。觀察平面與光柵相距。當(dāng)分別取下列各數(shù)值：〔1；〔2；〔3〔式中稱作泰伯距離時,確定單色平面波垂直照明光柵,在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。答：根據(jù)式<2.31>單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為強度分布為角譜為傳播距離后,根據(jù)式<2.40>得到角譜利用二項式近似有故〔1時與僅相差一個常數(shù)位相因子,因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布完全相同?！?時對應(yīng)復(fù)振幅分布為因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布?！?對應(yīng)復(fù)振幅分布為強度分布為圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為,齒寬為,齒形角為,光柵整體孔徑為邊長的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大,應(yīng)如何選擇？圖2.16〔2.13題圖答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中,單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明,則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為其角譜為若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大,應(yīng)選擇使得因而有設(shè)為矩形函數(shù),試編寫程序求,,時,其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,并繪制出相應(yīng)的曲線。答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式<2.62>以及式<2.79>即可編程計算,,時的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。第三章習(xí)題參看圖3.5,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)〔3.35式時,對于積分號前的相位因子試問物平面上半徑多大時,相位因子相對于它在原點之值正好改變π弧度？設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓,那么在物平面上相應(yīng)h的第一個零點的半徑是多少？由這些結(jié)果,設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進行,那么a,λ和do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子一個余弦型振幅光柵,復(fù)振幅透過率為放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上,用單色平面波傾斜照明,平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi),與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f,孔徑為D。求物體透射光場的頻譜；使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時像面強度分布；<3>若θ采用上述極大值,使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時的截止頻率比較,結(jié)論如何？3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在fx=fy=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像,這時的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)hI〔xi,yi成點對稱時,則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實函數(shù)。3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a,出瞳到像面的距離為di,光波長為λ,這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？3.6 試用場的觀點證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面,是與共軛的像平面,即有式中f為透鏡的焦距,設(shè)透鏡無像差,成像過程分兩步進行：射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射,結(jié)果形成入射到透鏡上的光場；這個入射到透鏡上的光場經(jīng)透鏡作位相變換后,在透鏡的后表面上形成衍射場,這個場傳到像面上形成物體的像。為了計算光場,我們用菲涅耳近似,透鏡前表面的場為這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零,所以積分限變?yōu)?此積分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換,記為,其中在緊靠透鏡后表面處這個被透鏡孔徑所限制的場,在孔徑上發(fā)生衍射,在用菲涅耳近似,便可得到像面上的光場由題設(shè)知,并且假定透鏡孔徑外的場等于零,且忽略透鏡孔徑的限制,所以將上式中的積分限寫成無窮,于是上述積分為注意于是得再考慮到和之間的關(guān)系得到即得到像平面上倒立的,放大倍的像。3.7 試寫出平移模糊系統(tǒng),大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在照相系統(tǒng)的曝光期間,因線性平移使點變成小線段而造成圖像模糊,這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng),它的線擴散函數(shù)為一矩形函數(shù)其傳遞函數(shù)為對于大氣擾動系統(tǒng),設(shè)目標(biāo)物為一細線,若沒有大氣擾動,則理想成像為一條細線。由于大氣擾動,使在爆光期間內(nèi)細線的像作隨機晃動,按照概率理論,可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動擺幅的均方根