隨機(jī)數(shù)學(xué)課件：3-4節(jié) 條件分布

第四節(jié)

條件分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量

(X,Y)的分布若則稱為在X=xi

的條件下,隨機(jī)變量Y的條件分布律4.1

離散隨機(jī)變量的條件分布律

若則稱為在Y=yj

的條件下隨機(jī)變量X的條件分布律類似乘法公式類似于全概率公式例1

把三個(gè)球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,每盒可容球數(shù)無(wú)限.記X為落入1號(hào)盒的球數(shù),Y為落入2號(hào)盒的球數(shù)，求(1)在Y=0的條件下，X的分布律；(2)在X=2的條件下，Y的分布律.解先求聯(lián)合分布，XYpij01230123000000pi?1p?j

X

0123將表中第一行數(shù)據(jù)代入得條件分布(1)

Y

01(2)當(dāng)X=2時(shí)，Y只可能取0與1.將表中第三列數(shù)據(jù)代入下式得Y的條件分布解例2

已知一射手每次擊中目標(biāo)概率為p(0<p<1),射擊進(jìn)行到擊中兩次為止.令X

表示首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù),Y

表示總共射擊次數(shù).求

的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊緣分布律.由題設(shè)知故X與Y的邊緣分布律分別為的聯(lián)合分布律為律為當(dāng)

時(shí),X的條件分布律為當(dāng)時(shí),Y的條件分布

4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布當(dāng)X連續(xù)時(shí),條件分布不能用來(lái)定義,因?yàn)?來(lái)定義.而應(yīng)該用xy-yyy設(shè)xy-yy若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù),fY(y)在點(diǎn)y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱為Y=y

時(shí)，X

的條件分布函數(shù),記作定義類似地,稱為X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù);為X=x

的條件下Y

的條件概率密度稱為Y=y

的條件下X

的條件概率密度稱注意y是常數(shù),對(duì)每一fY

(y)>0的y處,只要相仿論述.僅是x的函數(shù),

類似于乘法公式：符合定義的條件,都能定義相應(yīng)的函數(shù).類似于全概率公式類似于Bayes公式二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立例3

已知(X,Y)服從圓域x2+y2r2

上的均勻分布,求r解x-r=同理，邊緣分布不是均勻分布！當(dāng)

–r<y<r

時(shí)，y—這里y

是常數(shù)，當(dāng)Y=y時(shí)，當(dāng)

–r<x<r

時(shí)，—這里x

是常數(shù)，當(dāng)X=x時(shí)，x條件分布是均勻分布！例4

設(shè)求解y=x11y=x11當(dāng)0<y<1時(shí)，y當(dāng)0<x<1時(shí)，y=x11x例5

已知求解y=x11當(dāng)fX(x)>0時(shí)，即0<x<1時(shí)，當(dāng)fX(x)=0時(shí)，f(x,y)=0故x+y=11y=x10.5y=x110.5y=x110.5

例6

設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間(0，x)上隨機(jī)地取值.求Y的概率密度.（書(shū)P83例4.3-（2））解：依題意，X具有概率密度對(duì)