《固體物理》課件：ssp701

第七章晶體中電子在電場和磁場中的運動如果晶體中存在電場、磁場或雜質(zhì)勢場，一般這些外場要比周期性勢場弱得多，這種情況下，如何處理電子的運動問題？有兩種處理方法：一、解含有外場的薛定諤方程二、把電子看成經(jīng)典粒子，用準經(jīng)典方法處理

經(jīng)典粒子具有確定的位置和動量，但是微觀粒子由于受到測不準關(guān)系的限制，不可能同時具有確定的位置和動量。可以用波包表示晶體中電子的狀態(tài)，此時，電子的位置和動量都具有近似的數(shù)值，其精確度由測不準關(guān)系所限制。7.1準經(jīng)典運動一、波包和電子速度波包是指粒子空間分布在r0

附近的r范圍內(nèi)，動量取值為?k0附近?k范圍內(nèi)，r和?k滿足測不準關(guān)系，把波包中心r0稱為該粒子的位置，中心?k0稱為該粒子的動量。在晶體內(nèi)，可以用布洛赫函數(shù)組成波包，（由于波包包含能量不同的本征態(tài)，必須考慮時間因子）把與k0相鄰近的各狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對應的波包，必須很接近于k0

，寫成必須很小組成波包時必須限制在下列范圍內(nèi)說明波函數(shù)主要集中在線度為1/范圍內(nèi)，中心在U=v=w=0,u即若把波包看成一個準粒子，則該粒子的速度為

如果有外力F作用在電子上，在dt時間內(nèi)，外力對電子所做的功為電子的能量決定于狀態(tài)k，在外力作用下，狀態(tài)必須有相應的變化dk二、在外力作用下狀態(tài)的變化和準動量三、加速度和有效質(zhì)量與牛頓第二定律具有相同的形式，只是用一個二階張量代替了1/m，稱其為倒有效質(zhì)量張量。若選擇kxkykz沿張量的主軸方向，則例1.簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶的有效質(zhì)量。7.2恒定電場作用下電子的運動以一維緊束縛近似的結(jié)果為例，討論晶體中電子在恒定電場作用下的運動E(k)v(k)m*(k)設電場力F=-qE沿x軸正方向（電場E沿x軸反方向），由知電子在k空間做勻速運動（為k空間的速度），使得電子的能量、速度和有效質(zhì)量都周期性的變化－－電子在K空間做循環(huán)運動。表現(xiàn)在電子速度上是v隨時間做振蕩的變化。電子速度v隨時間做振蕩的變化意味著電子在實空間的振蕩。E-qVE能帶的傾斜xxxABC電子在實空間的振蕩Eg電子在實空間的振蕩實際上很難觀察到，其原因是電子在運動中將要不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。相鄰兩次散射之間的平均時間間隔稱為電子平均自由運動時間，用τ表示，如果τ很小，電子來不及完成振蕩就被散射破壞掉了。觀察到上述振蕩的條件為電場越強，振蕩的頻率越高，周期越短，如果遠小于τ，就可觀察到電子的振蕩如果a=0.3nm,τ=10-13sE>2×105V/cm7.3導體、絕緣體和半導體的能帶論解釋一、滿帶電子不導電在一個完全為電子充滿的能帶中，盡管每一個電子都荷帶一定的電流-qv，但是k與-k的電子電流正好相互抵消，有一個k，必有一個-k，因而總電流為０。即使用外電場也改變不了這種情況，由于所有電子所處的狀態(tài)都按上式變化，k軸上的點都以相同的速度移動，并不改變均勻填充各k態(tài)的情況。二、導體和非導體模型部分填充的能帶，在外電場作用下可以產(chǎn)生電流。

在非導體中，電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各個能帶全部都是空的，因而并不導電。在導體中，除去完全填滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導電作用，稱為導帶。

半導體的能帶屬于非導體，但禁帶寬度要比絕緣體小，在溫度不是很低的情況下，價帶中的電子可以通過熱激發(fā)而進入導帶，使導帶中有少數(shù)電子同時價帶中又缺少了少數(shù)電子，從而導致了一定的導電性。另外，半導體可以通過摻雜改變能帶中電子的填充狀況而使半導體具有導電性。

半金屬：在金屬和半導體之間存在一種中間情況，導帶底和價帶頂或發(fā)生交疊或具有相同的能量（具有負帶隙寬度或零帶隙寬度），在這種情況下，在導帶中存在一定數(shù)量的電子，在價帶中存在一定數(shù)量的空狀態(tài)，其導帶電子的密度比普通金屬少幾個數(shù)量級，稱為半金屬。三、近滿帶和空穴為了方便，假設滿帶上只有在一個狀態(tài)k沒有電子，設I(k)表示此時整個近滿帶的總電流，假設在空的k態(tài)中放入一個電子，該電子所形成的電流為-qv(k)，但是放入該電子后，能帶被完全填滿，因此，總的電流為零。近滿帶的總電流就如同一個帶正電荷的粒子，它的速度為空狀態(tài)k的電子速度?？諣顟B(tài)都在滿帶頂附近，m*<0近滿帶的電流變化就如同一個帶正電荷q和具有正有效質(zhì)量的粒子。結(jié)論：當滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流以及電流在外電磁場中的變化完全如同存在一個帶正電荷q和正有效質(zhì)量，速度為v(k)的粒子一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴。7.4在恒定磁場中電子的運動在恒定磁場中電子的運動理論是分析回旋共振，德．哈斯－范．阿爾芬效應的理論基礎。兩種方法討論１準經(jīng)典運動近似；２量子理論，解含有磁場時系統(tǒng)的波動方程。一、恒定磁場中的準經(jīng)典運動以自由電子為例Kz保持不變，在kx，ky平面內(nèi)做勻速圓周運動。電子在實空間做螺旋運動，vz不變，在垂直與磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動。二、自由電子情況的量子理論沒有磁場時，若磁場沿z軸方向，則矢勢取為（-By,0,0）哈密頓量不顯含x,z，對易，相應的波函數(shù)可選為Px,Pz的本征態(tài)。表明為中心在y0，振動頻率ω0為的諧振子波函數(shù)表明：在xy平面的運動對應一種簡諧運動，能量是量子化的，這些量子化的能級稱為朗道能級。三、晶體中電子的有效質(zhì)量近似晶體中電子在磁場中的運動，只要把哈密頓量中的P換為P+qA有解薛定諤方程就可得到能量本征值等，但求解更困難。但在有些情況下，哈密頓量可近似寫為把周期性勢場的影響概括成有效質(zhì)量的變化，稱為有效質(zhì)量近似，一般半導體導帶底和價帶頂附近?？梢圆捎糜行з|(zhì)量近似，此時，只要用m*代替原來的m，就可以求出如回旋頻率等。7.5回旋共振回旋共振:在恒定的外磁場作用下，晶體中的電子（或空穴）將做螺旋運動，回轉(zhuǎn)頻率為，若在樣品上通以電磁波(ω)，當ω=ω0，將出現(xiàn)共振吸收，這個現(xiàn)象稱為回旋共振。從量子力學的觀點來看，回旋共振相當于實現(xiàn)了電子在朗道能級之間的躍遷。利用回旋共振可以研究Si，Ge等半導體材料導帶底和價帶頂附近的有效質(zhì)量。對n型Si的回旋共振實驗結(jié)果是：（１）當B沿[111]晶軸方向時，只能觀察到１個吸收峰；（２）當B沿[110]晶軸方向時，可以觀察到２個吸收峰；（３）當B沿[100]晶軸方向時，可以觀察到2個吸收峰；（４）當B沿任意方向時，可以觀察到3個吸收峰。只有假設硅的導帶底在[100]方向，等能面是旋轉(zhuǎn)橢球面，才能解釋上面的實驗結(jié)果。7.5德.哈斯－范.阿爾芬效應1930年德.哈斯和范.阿爾芬在低溫下強磁場中研究鉍單晶的的磁化率，發(fā)現(xiàn)了磁化率隨磁場變化而呈現(xiàn)出振蕩，而且發(fā)現(xiàn)如果不是對磁場而是對磁場的倒數(shù)作圖，則可以清晰的看到磁化率的變化呈周期性結(jié)構(gòu)，有時還可能有兩個以至更多的周期。

磁化率隨磁場的倒數(shù)周期性振蕩的現(xiàn)象稱為德.哈斯－范.阿爾芬效應。后來發(fā)現(xiàn)，電導率、比熱容等物理量也有類似的振蕩現(xiàn)象，這些現(xiàn)象同金屬費米面附近電子在強磁場中的行為有關(guān)。一、二維自由電子氣模型沒有外磁場時，對自由電子氣有k取值在一個平面內(nèi)（設為kx-ky面），當加有恒定外磁場時，能量本征值為一系列朗道能級

朗道能級是高度簡并的，每一朗道能級包含量子態(tài)的數(shù)目等于原來連續(xù)譜中能量間隔內(nèi)的態(tài)的數(shù)目。朗道能級的簡并度加磁場前加磁場后１．二維電子氣的能態(tài)密度能量小于等于E的電子所占的相體積單位能量間隔的相體積為每相格體積為能態(tài)密度為間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為計入自旋，則量子態(tài)數(shù)為即一個朗道能級所包含的量子態(tài)數(shù)目朗道能級的簡并度與B有關(guān)，由于總的量子態(tài)的數(shù)目是一定的，因此，隨著B的變化，電子填充的能級將發(fā)生變化，系統(tǒng)的能量將隨B發(fā)生變化。這就是德.哈斯－范.阿爾芬效應產(chǎn)生的物理機制。λλ+1λ+1λ+1λ+1λλλ甲乙丙丁

B逐漸減小2．變化的周期設磁感應強度為B1時，第λ能級恰好完全填滿磁感應強度為B2時，第λ+1能級恰好完全填滿上述兩種情況都對應系統(tǒng)能量的極小值，周期為二、三維自由電子氣模型沒有外磁場時，當加有恒定外磁場時，能量本征值為在磁場方向kz取值是準連續(xù)的，在與磁場垂直的平面內(nèi)能量是量子化的，在