第二章波函數(shù)和方程

第二章波函數(shù)和薛定諤方程微觀粒子具有波粒二象性與經(jīng)典物理的粒子概念不同需要不同的描述方式經(jīng)典物理質(zhì)點動力學(xué)：牛頓方程：初始條件主要結(jié)論：位置和動量是狀態(tài)量；軌道概念，因果律微觀粒子具有波粒二象性沒有軌道概念了！量子力學(xué)中需用

波函數(shù)取代位置動量（狀態(tài)量）

薛定諤方程取代牛頓方程第1(3)節(jié)

薛定諤方程-Schr?dingerEquation

怎樣描述這種波動性？從最簡單情況—自由粒子開始微觀粒子具有波動性并滿足德布羅意關(guān)系波動方程需1)線性—能說明干涉衍射現(xiàn)象2)系數(shù)不含狀態(tài)的參量,E,P,等——否則不能被所有可能的態(tài)滿足3)滿足自由粒子的能量-動量關(guān)系=>量子力學(xué)中描述自由粒子波動性的函數(shù)應(yīng)該為后者。自由粒子P,E常數(shù)=>相應(yīng)波動k,ω常數(shù)——平面波。經(jīng)典物理中這種波動可用下列函數(shù)之一描述第1(3)節(jié)

薛定諤方程-Schr?dingerEquation自由粒子情況自由粒子情況一般情況Schr?dingerEq.薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假設(shè)。正確性—由實驗檢驗。1、Ψ稱為波函數(shù)2、它是非相對論性方程3、因果律4、推廣到多粒子系統(tǒng)5、另一種描述方式Heisenberg描述（1925年）。1887年生、1926年提出、1933年獎第2(1)節(jié)

波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（Born1926年，1954年獎）：粒子在空間中某點r附近dτ體積微元中出現(xiàn)的幾率正比于。注：波動性是與一個粒子聯(lián)系，不是多粒子效應(yīng)。幾率波強度決定粒子出現(xiàn)在空間某處的概率，不能決定它何時處于空間某處。沒有軌道的概念了！波函數(shù)它描述系統(tǒng)的狀態(tài)，它是復(fù)函數(shù)幾率密度

Ψ與cΨ（)描述同樣狀態(tài)。可歸一性歸一化波函數(shù)仍然可差一個常相位因子它滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件——單值、有限、連續(xù)（包括一階空間導(dǎo)數(shù)）第3(2)節(jié)

態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理：如果是系統(tǒng)可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加態(tài)也是系統(tǒng)的的一個可能狀態(tài)。其中是復(fù)數(shù)。為了說明干涉、衍射等現(xiàn)象，量子力學(xué)中假定態(tài)疊加原理成立。注意量子力學(xué)的態(tài)疊加原理與經(jīng)典的波疊加原理有差別量子力學(xué)的態(tài)疊加原理可只涉及一個粒子的波動性。例如一個粒子的態(tài)的解釋下面的單光子Mach-Zehnder（馬赫—曾德爾）干涉儀的實驗清楚說明了這一事實！BSBeamSplitter單光子Mach-Zehnder干涉實驗光子計數(shù)器單光子經(jīng)典：2個計數(shù)器都有50%概率計數(shù)量子：只有A計數(shù)器計數(shù)附錄Mach-Zehnder干涉儀BSBeamSplitter第4節(jié)

粒子流密度(矢量)和粒子數(shù)守恒定律Schr?dingerEq.幾率密度隨時間演化由薛定諤方程

幾率守恒方程（連續(xù)性方程）幾率流密度矢量波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件解釋幾率密度和幾率流連續(xù)幾率流有限經(jīng)典對應(yīng)：粒子數(shù)守恒定律質(zhì)量守恒定律、電荷守恒定律第5節(jié)

定態(tài)薛定諤方程習(xí)題p522.1和2.2題加Schr?dingerEq.考慮勢能與時間無關(guān)情況，即此時，薛定諤方程有分離變量型的解由德布羅意關(guān)系知E是系統(tǒng)的能量。t與r是獨立變量=>E是常數(shù)=>定態(tài)波函數(shù)，也稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)——由這種波函數(shù)描述的狀態(tài)，其能量為確定值。定態(tài)薛定諤方程決定—定態(tài)波函數(shù)和E—能量容許值它也稱為能量本征值方程此時的含時薛定諤方程的一般解第5*節(jié)——一維定態(tài)薛定諤方程的幾個定理一維定態(tài)薛定諤方程定理1一維束縛定態(tài)非簡并束縛態(tài)

粒子不能跑到無限遠(yuǎn)去，即簡并、非簡并

以能量本征值方程

為例說明證：定理2若則一維束縛定態(tài)有確定的宇稱證：顯然若是定態(tài)薛定諤方程的束縛定態(tài)解，則也是。因此，由定理1知道逸出功~幾電子伏~幾埃第6節(jié)

一維無限深勢阱—求解定態(tài)薛定諤方程的例子勢能是物理模型：金屬中的電子忽略：1)多維——容易推廣2)多電子效應(yīng)3)周期勢——固體物理內(nèi)容4)室溫時，可認(rèn)為是無限深勢該簡化模型能夠說明若干量子特征并說明了求解薛定諤方程的一般步驟第6節(jié)

一維無限深勢阱—求解定態(tài)薛定諤方程的例子勢能是一維定態(tài)薛定諤方程粒子不能在阱外，所以時特別地在阱內(nèi)（），定態(tài)薛定諤方程為其一般解是邊界條件歸一化條件

時只有零解和第6節(jié)

一維無限深勢阱—求解定態(tài)薛定諤方程的例子勢能是定態(tài)能量是定態(tài)波函數(shù)是1）能量量子化基態(tài)、激發(fā)態(tài)、基態(tài)能量不為零！2）定態(tài)波函數(shù)3）駐波條件4）經(jīng)典對應(yīng)5）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)不滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件第6節(jié)

一維無限深勢阱—多維推廣3維推廣定態(tài)能量是定態(tài)波函數(shù)是在時能態(tài)數(shù)能態(tài)密度第6-1節(jié)

一維有限深勢阱為什么要畫成對稱形式？分區(qū)寫出薛定諤方程是我們現(xiàn)在關(guān)心的束縛態(tài)情況時只有零解時不是束縛態(tài)解波函數(shù)有限條件定理若則一維束縛定態(tài)有確定的宇稱第6-1節(jié)

一維有限深勢阱再注意和滿足在邊界連續(xù)=>偶宇稱情況同理得奇宇稱情況因此能量E決定于奇偶第7節(jié)

一維線性諧振子—求解定態(tài)薛定諤方程的例子諧振子是物理中非常重要的模型1)穩(wěn)定點附近的運動

2)波色場量子化問題諧振子勢能可寫成化簡：定態(tài)薛定諤方程漸近行為波函數(shù)有限令和令第7節(jié)

一維線性諧振子—求解定態(tài)薛定諤方程的例子該方程是標(biāo)準(zhǔn)的方程—結(jié)論定態(tài)薛定諤方程僅當(dāng)存在滿足波函數(shù)為有限的解n次多項式并且若則第7節(jié)

一維線性諧振子—求解定態(tài)薛定諤方程的例子結(jié)果厄米多項式歸一化常數(shù)結(jié)論1、能量量子化2、波函數(shù)與概率分布3、宇稱4、經(jīng)典對應(yīng)—能量、概率分布零點能——量子效應(yīng)概率分布對稱第7*節(jié)

一維線性諧振子—推廣平移注意能量波函數(shù)半壁無限高能量波函數(shù)第7*節(jié)

一維線性諧振子—推廣2維或2自由度能量各向同性、各項異性波函數(shù)分離變量方法描述各向同性情況的能級簡并度3維或3自由度各向同性情況的能級簡并度第7*節(jié)

一維線性諧振子—推廣最普遍情況——多自由度+交叉項+平移能量旋轉(zhuǎn)變換正定條件2維或2自由度有交叉項是正定矩陣其中第7*節(jié)

一維線性諧振子—推廣基態(tài)能量范德瓦爾斯力說明零點能是應(yīng)該存在的！勢能是定態(tài)薛定諤方程經(jīng)典物理結(jié)果全反射全透射第8節(jié)

勢壘貫穿—隧道效應(yīng)—求解定態(tài)薛定諤方程例子定態(tài)薛定諤方程可寫成與前面束縛態(tài)情況的區(qū)別量子物理結(jié)果完全不同壘外：壘內(nèi)：解可寫成為物理條件：x>a無反向波先考慮，設(shè)第8節(jié)

勢壘貫穿—隧道效應(yīng)—求解定態(tài)薛定諤方程例子解定義反射系數(shù)和透射系數(shù)同理可得在邊界連續(xù)隧道效應(yīng)（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象。它是粒子具有波動性的表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。上圖給出了勢壘穿透的波動圖象。0aV(x)xV0入射波+反射波透射波第8節(jié)

勢壘貫穿—隧道效應(yīng)—求解定態(tài)薛定諤方程例子注意這兩種情況都與經(jīng)典質(zhì)點的結(jié)果不同！近似結(jié)果:通常推廣例1:入射粒子為電子。設(shè)E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則T≈0.024，可見透射系數(shù)迅速減小。質(zhì)子與電子質(zhì)量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則T≈2×10-38?？梢娡干湎禂?shù)明顯的依賴于粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度。量子力學(xué)提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功地說明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。例2:入射粒子換成質(zhì)子。(1)掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項技術(shù)上的重大發(fā)明，用于觀察表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。原理：隧道效應(yīng)1986年Nobel：魯斯卡（E.Ruska）

1932發(fā)明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM隧道效應(yīng)的應(yīng)用1991年，恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子拼成了字母IBM，每個字母長5納米！“原子和分子的觀察與操縱”“量子圍欄－掃描隧道顯微術(shù)的又一杰作”

48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。(2）金屬電子的場致發(fā)射（冷發(fā)射）圖（a）欲使金屬發(fā)射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應(yīng)。但是，施加一個外電場，金屬中的電子所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應(yīng)穿過勢壘漏出，從而導(dǎo)致所謂場致電子發(fā)射。圖（b）第2章習(xí)題1、(p522.1題)證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。定態(tài)2、若A是常數(shù)，計算幾率密度和幾率流密度。3、(p522.2題)由下列定態(tài)波函數(shù)計算