新高考二輪復(fù)習(xí)真題源講義第13講 破解離心率問題之第二、三定義及雙曲線交點個數(shù)類（解析版）

第13講破解離心率問題之第二、三定義及雙曲線交點個數(shù)類參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．已知橢圓的左、右頂點分別為和，是橢圓上不同于，的一點．設(shè)直線，的斜率分別為，，則當(dāng)取最小值時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可得，，設(shè)，則，而，，所以，又，令，則，所以，所以當(dāng)時，最小，即，所以，故選：．2．已知橢圓的左、右頂點分別為和，是橢圓上不同于，的一點．設(shè)直線，的斜率分別為，，則當(dāng)取最小值時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，設(shè)，，則，則，，，則．令，，，故時，取最小值，橢圓的離心率為．故選：．3．已知橢圓的左，右頂點分別為，，點是橢圓上與，不重合的動點，若直線，斜率之積為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則由在橢圓上可得，①直線與的斜率之積為，，②把①代入②化簡可得，，故選：．4．設(shè)，為橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于，的點，直線，的斜率分別為，，若，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則由在橢圓上可得，①直線與的斜率之積為，，②把①代入②化簡可得，，離心率．故選：．5．已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，直線，的斜率分別為，，若的最小值為2，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，，，兩式相減，得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又當(dāng)時，，，三點共線不符合條件，當(dāng)時取等號，的最小值為2，，，離心率．故選：．6．雙曲線，為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，為雙曲線上的點，且直線，斜率分別為，，若，則雙曲線離心率為A． B．2 C． D．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，，兩式相減可得，即，，，，．故選：．7．雙曲線，、為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，為雙曲線上的點，且直線、斜率分別為、，若，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，，兩式相減可得，，，，．故選：．8．設(shè)直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線是坐標(biāo)原點）的斜率的乘積等于2，則此雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．【解答】解：設(shè)，，，，是線段的中點，，，把，，，分別代入雙曲線，得，，直線的斜率，，，，的斜率，與的斜率的乘積等于2，，，此雙曲線的離心率．故選：．9．過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線右支于，兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，連結(jié)，，設(shè)，則，所以，．在△中，由余弦定理得，，化簡消去，可得，解得．故選：．10．已知雙曲線的右焦點為，若存在過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，與雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是A．， B． C．， D．【解答】解：設(shè)，根據(jù)雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點，且，，，若存在過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，需保證．，則，．根據(jù)雙曲線的漸近線為，則，根據(jù)雙曲線的離心率，根據(jù)雙曲線的離心率，．故選：．11．已知斜率為的直線分別交雙曲線的左、右支于點，，線段的中點為，若（點為坐標(biāo)原點）的斜率為2，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，，，，，，則，，因為（點為坐標(biāo)原點）的斜率為2，所以，所以，因為，，，在雙曲線上，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，所以離心率為，故選：．12．已知橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點為，，點為橢圓上異于，的一點，直線和直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)，，，，，，，，兩式相減得：，即．直線，斜率之積為，，．橢圓的離心率．故選：．13．如圖，已知，，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點為雙曲線上異于，且不與，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的任意一點，若直線，的斜率之積為，且雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為A．2 B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，則，，則，，由題意知，所以，故選：．14．已知，分別為橢圓的左、右頂點，，是橢圓上的不同兩點且關(guān)于軸對稱，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，設(shè)，，則，，因為在橢圓上，所以，所以由題意，所以可得，所以橢圓的離心率，故選：．15．已知、分別是橢圓的左、右頂點，、是橢圓上兩點關(guān)于軸對稱，若、的斜率之積為，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：由已知、兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)，，則，，且，即．又，，故、的斜率之積為，故，所以橢圓離心率是．故選：．二．填空題（共10小題）16．橢圓的右焦點，其右準(zhǔn)線與軸的交點為，在橢圓上存在點滿足線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是．【解答】解：由題意，橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線過點，即點到點與點的距離相等，而，，于，，即，，又，故故答案為：17．已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由，得，，解得，故答案為：．18．如圖，已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點，則由得：，所以，，即，由橢圓的第二定義得，又由，得，，解得，故答案為：19．已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由，得，，解得，故答案為：．20．設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，，點在橢圓上且異于，兩點，為坐標(biāo)原點．若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，．由題意，有，①由，，得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，橢圓的離心率．故答案為：．21．已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，直線，的斜率分別為，，若的最小值為1，則雙曲線的離心率為．【解答】解：由題意，可設(shè)點，，．，且．兩式相減得．再由斜率公式得：．根據(jù)的最小值為1，可知，，故答案為：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是雙曲線上的異于頂點的任意一點，過點作雙曲線的切線，若，則雙曲線離心率等于．【解答】解：設(shè)，，則，由于雙曲線在點的切線方程為：，即在點切線的斜率，因為，所以，所以，又，所以，可得離心率，故答案為：23．過雙曲線右頂點且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點，則此雙曲線離心率的取值范圍為．【解答】解：由題意過雙曲線，右頂點且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點，可得雙曲線的漸近線斜率，，，雙曲線離心率的取值范圍為．故答案為：．24．經(jīng)過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線與雙曲線有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率為2．【解答】解：經(jīng)過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線與雙曲線有且只有一個交