高三數學高考基礎復習：第九章第5課時 線線角與線面角

要點·疑點·考點課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第5課時線線角與線面角.要點·疑點·考點1.線線角(2)范圍：(1)定義：設a、b是異面直線，過空間任一點O引

，則

所成的銳角(或直角)，叫做異面直線a、b所成的角..2.線面角(3)范圍：(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條斜線和這個平面所成的角(2)若直線l⊥平面α，則l與α所成角為直角若直線l∥平面α，或直線l平面α，則l與α所成角為0°.(4)射影定理：從平面α外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；③垂線段比任何一條斜線段都短(5)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內過斜足的直線所成的一切角中的最小的角.返回.2.相交成90°的兩條直線與一個平面所成的角分別是30°與45°，則這兩條直線在該平面內的射影所成角的正弦值為()(A)(B)(C)(D)1.平面α的斜線與α所成的角為30°，則此斜線和α內所有不過斜足的直線中所成的角的最大值是()(A)30°(B)60°(C)90°(D)150°課前熱身CC.3.如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所

成角的余弦值是___________..4.異面直線a、b成80°角，P為a、b外一定點，若過P有且僅有2條直線與a、b所成角都為θ，則θ的范圍是()(A)(B)(C)(D)B.返回A5.如圖，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D).能力·思維·方法1.如圖所示，ABCD是一個正四面體，E、F分別為BC和AD的中點.求：(1)AE與CF所成的角；(2)CF與平面BCD所成的角..【解題回顧】本題解法是求異面直線所成角常采

用的“平移轉化法”：把異面直線轉化為求兩相交

直線所成的角，需要通過引平行直線作出平面圖

形，化歸為平面幾何問題來解決..2.如圖，在正方體AC1中，(1)求BC1與平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1與平面A1C1B所成的角..【解題回顧】“線線角抓平移，線面角定射影”.也

就是說要求直線與平面所成的角，關鍵是找到直

線在此平面上的射影，為此，必須在這條直線上

的某一點處作一條(或找一條)平面的垂線，本題

①中BO就是平面的垂線，②垂足H的位置也必須

利用圖形的性質來確定..3.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分別是A1B1和BB1的中點.求：(1)EH與AD1所成的角；(2)AC1與B1C所成的角..【解題回顧】(2)中為了找到異面直線AC1與B1C

所成的角，需將AC1平移出長方體外，實際上是

在原長方體外，再拼接一個完全相同的長方體，

這是立體幾何中常見的方法之一..4.在120°的二面角α-l-β的兩個面α、β內分別有A、B兩點，這兩點到棱的距離分別為2和4，AB=10，求：(1)AB與l所成的角；(2)AB與平面β所成的角..返回【解題回顧】本例是綜合題，解題過程常常是作

圖(包括添輔助線或輔助面)、論證、計算三個階

段，這樣就綜合考查了空間想象能力、邏輯推理

能力和運算能力..延伸·拓展5.在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；(2)求直線A′C與DE所成的角；(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角...【解題回顧】對于第(1)小題，若僅由B′E=ED=DF=FB′就斷定B′EDF是菱形，那是不對的，因存在四邊相等的空間四邊形，所以必須證B′、E、D、F四點共面.第(3)小題應用了課本一道習題的結論，才證明了AD在平面B′EDF內的射影在B′D上返回.誤解分析返回2.凡立體幾何求角或距離的解答題，一定要注意“作、證、指、求”四個環(huán)節(jié)缺一不可.1.求異面直線所成的角，要注意角的范圍是，如能力·思維·方法