專題24 動態(tài)幾何之雙動點形成的函數(shù)關(guān)系問題

一、選擇題1.〔2022年山東臨沂3分〕如圖，正方形ABCD中，AB=8cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC，CD運動，到點C，D時停止運動，設(shè)運動時間為t〔s〕，△OEF的面積為s〔cm2〕，那么s〔cm2〕與t〔s〕的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為【】A．B．C．D，2.〔2022年山東煙臺3分〕如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．假設(shè)P，Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t〔s〕，△BPQ的面積為y〔cm2〕．y與t的函數(shù)圖象如圖2，那么以下結(jié)論錯誤的選項是【】A．AE=6cmB．C．當0＜t≤10時，D．當t=12s時，△PBQ是等腰三角形設(shè)為N，如圖，連接NB，NC。此時AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=?！連C=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形。應選D。3.〔2022年四川南充3分〕如圖1，點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P，點Q同時從點B出發(fā)，點P沿BE→ED→DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm，y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖2〔曲線OM為拋物線的一局部〕，那么以下結(jié)論：①AD=BE=5cm；②當0＜t≤5時，；③直線NH的解析式為；④假設(shè)△ABE與△QBP相似，那么t=秒。其中正確的結(jié)論個數(shù)為【】A.4B.3 C.2 D.1∴PF=PBsin∠PBF=t。4.〔2022年福建三明4分〕如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，動點P從點C出發(fā)，沿DC方向勻速運動到終點C．P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，連接OP，OQ．設(shè)運動時間為t，四邊形OPCQ的面積為S，那么以下圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c】動點問題的函數(shù)圖象?！痉治觥咳鐖D，作OE⊥BC于E點，OF⊥CD于F點，設(shè)BC=a，AB=b，點P的速度為x，點F的速度為y，5.〔2022浙江溫州4分〕如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動到終點C,動點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動到終點B.P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點.連結(jié)MP，MQ，PQ.在整個運動過程中，△MPQ的面積大小變化情況是【】A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減小△MPQ的面積大小變化情況是：先減小后增大。應選C。6.〔2022四川攀枝花3分〕如圖，直角梯形AOCD的邊OC在x軸上，O為坐標原點，CD垂直于x軸，D〔5，4〕，AD=2．假設(shè)動點E、F同時從點O出發(fā)，E點沿折線OA→AD→DC運動，到達C點時停止；F點沿OC運動，到達C點是停止，它們運動的速度都是每秒1個單位長度．設(shè)E運動秒x時，△EOF的面積為y〔平方單位〕，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為【】A．B．C．D．應選項A．B選項錯誤。7.〔2022山東臨沂3分〕如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點P、Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動，設(shè)運動時間為x〔單位：s〕，四邊形PBDQ的面積為y〔單位：cm2〕，那么y與x〔0≤x≤8〕之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為【】A．B．C．D．8.〔2022廣西桂林3分〕如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，那么S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是【】9.〔2022年山東臨沂3分〕甲、乙兩同學同時從400m環(huán)形跑道上的同一點出犮，同向而行．甲的速度為6m/s，乙的速度為4m/s．設(shè)經(jīng)過〔單位：s〕后，跑道上此兩人間的較短局部的長度為〔單位：m〕．那么與〔0≤≤300〕之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為【】A、 B、 C、 D、【答案】C?！究键c】函數(shù)的圖象。【分析】由于相向而行，且二人速度差為6﹣4=2m/s，二人間最長距離為200米，最短距離為0，據(jù)此即可進行推理：二人速度差為6﹣4=2m/s，100秒時，二人相距2×100=200米，200秒時，二人相距2×200=400米，較短局部的長度為0，300秒時，二人相距2×300=600米，即甲超過乙600﹣400=200米．由于=2或=400﹣2，函數(shù)圖象為直線〔線段〕。應選C10.〔2022年山東威海3分〕如圖，在正方形ABCD中，AB=3㎝，動點M自A點出發(fā)沿AB方向以每秒1㎝的速度運動，同時動點N自A點出發(fā)沿折線AD－DC－CB以每秒3㎝的速度運動，到達B點時運動同時停止。設(shè)△AMN的面積為〔㎝2〕。運動時間為〔秒〕，那么以下圖象中能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是【】二、填空題1.〔2022年廣西河池3分〕如圖，正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是BC、CD上的兩個動點，且AE⊥EF。那么AF的最小值是▲?！敬鸢浮??！究键c】雙動點問題，正方形的性質(zhì)，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)最值，勾股定理。【分析】根據(jù)題意，要求AF的最小值，只要CF最大即可。設(shè)BE=x，CF=y，那么由正方形ABCD的邊長為4，得CE=?！逜BCD是正方形，∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°。三、解答題1.〔2022年湖北黃岡15分〕如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，其中A〔6，0〕，B〔3，〕，C〔1，〕，動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設(shè)點P、Q運動的時間為t〔秒〕.〔1〕求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；〔2〕當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕以O(shè)、P、Q為頂點的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？假設(shè)能，請求出t的值，假設(shè)不能，請說明理由；〔4〕經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？假設(shè)能，請求出此時t的值〔或范圍〕，假設(shè)不能，請說明理由.【答案】解：〔1〕設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為：，把A〔6，0〕，B〔3，〕，C〔1，〕代入得：，解得：?！嘟?jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為：?！?〕根據(jù)題意可知，0≤t≤3。當0≤t≤2時，點Q在BC邊上運動，此時，OP=2t，?！逴D=1，CD=，∴?！??！?，∴假設(shè)△OPQ為直角三角形，只能是或。假設(shè)，那么，即，解得，或〔舍去〕。假設(shè)，那么，即，解得，。當2＜t≤3時，點Q在CO邊上運動，此時，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，∴此時，△OPQ不可能為直角三角形。綜上所述，當或時，△OPQ為直角三角形。綜上所述，經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點，此時0≤t≤2?！究键c】二次函數(shù)綜合題，雙動點問題，待定系數(shù)法的應用，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，分式的化簡，分類思想的應用。2.〔2022年湖北荊州12分〕如圖，：如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，兩動點D、E分別從A、B兩點同時出發(fā)向O點運動〔運動到O點停止〕；對稱軸過點A且頂點為M的拋物線〔a＜0〕始終經(jīng)過點E，過E作EG∥OA交拋物線于點G，交AB于點F，連結(jié)DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，運動時間為t秒．〔1〕用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；〔2〕當t為何值時，四邊形ADEF是菱形？判斷此時△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；〔3〕當△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點M恰好在BG上時，求拋物線的解析式．【答案】解：〔1〕在直線解析式中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1?！郃〔1，0〕，B〔0，〕，OA=1，OB=?！鄑an∠OAB=?！唷螼AB=60°?！郃B=2OA=2?！逧G∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°?！?，BF=2EF=2t?！郃F=AB﹣BF=2﹣2t?！?〕當△ADF是直角三角形時，①假設(shè)∠ADF=90°，如答圖2所示，此時AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=?！郆E=t=，OE=OB﹣BE=?！郋〔0，〕，G〔2，〕。設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，將B〔0，〕，G〔2，〕代入得：，解得?！嘀本€BG的解析式為。令x=1，得，∴M〔1，〕。設(shè)拋物線解析式為，∵點E〔0，〕在拋物線上，∴，解得?！鄴佄锞€解析式為，即。②假設(shè)∠AFD=90°，如答圖3所示，此時AD=2AF，即：t=2〔2﹣2t〕，解得：t=?！郆E=t=，OE=OB﹣BE=?！郋〔0，〕，G〔2，〕。設(shè)直線BG的解析式為y=k1x+b1，將B〔0，〕，G〔2，〕代入得：，解得?！嘀本€BG的解析式為。令x=1，得y=，∴M〔1，〕。設(shè)拋物線解析式為，∵點E〔0，〕在拋物線上，∴，解得?！鄴佄锞€解析式為，即。綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：或。3.〔2022年山東濟寧12分〕如圖，直線與坐標軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．假設(shè)運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形〔點P、Q重合除外〕．〔1〕求點P運動的速度是多少？〔2〕當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？〔3〕當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．【答案】解：〔1〕∵直線與坐標軸分別交于點A、B，∴x=0時，y=4；y=0時，x=8?！郆O=4，AO=8?！?。當t秒時，QO=FQ=t，那么EP=t，∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP?！?，即?！郃P=2t?！邉狱cQ以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，∴點P運動的速度是每秒2個單位長度?！?〕∵當OP=OQ時，PE與QF重合，此時t=，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動，∴分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：如圖1，當0＜t＜。即點P在點Q右側(cè)時，假設(shè)PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t?！?－3t=t。解得：t=2。如圖2，當＜t≤4，即點P在點Q左側(cè)時，假設(shè)PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t?！??！?。解得：t=4?！喈攖為2秒或4秒時，矩形PEFQ為正方形。4.〔2022年山東青島12分〕，如圖，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運動時間為t〔s〕〔0＜t＜1〕，解答以下問題：〔1〕當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？〔2〕設(shè)四邊形ANPM的面積為y〔cm2〕，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半，假設(shè)存在，求出相應的t值，假設(shè)不存在，說明理由〔4〕連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩局部？假設(shè)存在，求出相應的t值，假設(shè)不存在，說明理由∴?！鄖與t之間的函數(shù)關(guān)系式為〔0＜t＜1〕?！?〕存在。假設(shè)存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半，那么，即，解得〔舍去〕?！喈敃r，四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半?！究键c】雙動點問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)換思想和分類思想的應用。5.〔2022年江蘇淮安12分〕如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，假設(shè)P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設(shè)運動時間為t秒．〔1〕當t=▲時，點P與點Q相遇；〔2〕在點P從點B到點C的運動過程中，當ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？〔3〕在點Q從點B返回點A的運動過程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式；②當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊局部的面積．【答案】解：〔1〕7。〔2〕點P從B到C的時間是3秒，此時點Q在AB上，那么當時，點P在BC上，點Q在CA上，假設(shè)△PCQ為等腰三角形，那么一定為等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。當時，點P在BC上，點Q在AB上，假設(shè)△PCQ為等腰三角形，那么一定有PQ=PC〔如圖1〕，那么點Q在PC的中垂線上。作QH⊥AC，那么QH=PC，△AQH∽△ABC，在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，那么?！逷C=BC﹣BP=3﹣t，∴，解得：。綜上所述，在點P從點B到點C的運動過程中，當t=1或時，△PCQ為等腰三角形?！?〕在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，那么PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。同〔2〕可得：△PCQ中，PC邊上的高是：，∴。∴當t=5時，s有最大值，此時，P是AC的中點〔如圖2〕?！哐刂本€PD折疊，使點A落在直線PC上，∴PD一定是AC的中垂線?！郃P=CP=AC=2，PD=BC=?！郃Q=14﹣2t=14﹣2×5=4。如圖2，連接DC〔即AD的折疊線〕交PQ于點O，過Q作QE⊥CA于點E，過O作OF⊥CA于點F，那么△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊局部的面積。那么QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=?！郋P=，CE=。設(shè)FP=x，F(xiàn)O=y，那么CF=。由△CFO∽△CPD得，即，∴。由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：?！唷鱌CO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊局部的面積。6.〔2022年江蘇連云港12分〕如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為〔8，0〕、〔0，6〕．動點Q從點O、動點P從點A同時出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t〔秒〕〔0＜t≤5〕．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為點C、D，連結(jié)CD、QC．〔1〕求當t為何值時，點Q與點D重合？〔2〕設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值？〔3〕假設(shè)⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．〔2〕，即，解得。①點Q、D重合前，即時，，∴△QCD的面積為?！?，∴當t=時，S有最大值為。②點Q、D重合后，即時，，∴△QCD的面積為?！?，∴當時，S隨t的增大而增大?！喈攖=5時，S有最大值為：。綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為?！?5＞，∴S的最大值為15?！?〕或。7.〔2022年江蘇無錫10分〕如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發(fā)，沿邊AD勻速運動到D終止，設(shè)點P運動的時間為t〔s〕．△APQ的面積S〔cm2〕與t〔s〕之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．〔1〕求點Q運動的速度；〔2〕求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩局部？假設(shè)存在，求出這樣的t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．∴FG段的函數(shù)表達式為：〔6≤t≤9〕?！?〕存在。8.〔2022年貴州遵義12分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設(shè)移動時間為t〔單位：秒，0＜t＜〕．〔1〕當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？〔2〕是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？假設(shè)存在，求S的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．【考點】多動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例的性質(zhì)，勾股定理，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的最值，分類思想的應用?！痉治觥扛鶕?jù)勾股定理求得AB=5cm?！?〕分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況討論：利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值?！?〕如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=S△ABC﹣S△BPH〞列出S與t的關(guān)系式，那么由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值。9.〔2022年四川攀枝花12分〕如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B〔10，0〕，C〔7，4〕．直線l經(jīng)過A，D兩點，且sin∠DAB=．動點P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)點P，Q運動的時間為t秒〔t＞0〕，△MPQ的面積為S．〔1〕點A的坐標為▲，直線l的解析式為▲；〔2〕試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍；〔3〕試求〔2〕中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；〔4〕隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．【答案】解：〔1〕〔﹣4，0〕；y=x+4。〔2〕在點P、Q運動的過程中：①當0＜t≤1時，如圖1，過點C作CF⊥x軸于點F，那么CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。過點Q作QE⊥x軸于點E，那么BE=BQ?cos∠CBF=5t?=3t?！郟E=PB﹣BE=〔14﹣2t〕﹣3t=14﹣5t，S=PM?PE=×2t×〔14﹣5t〕=﹣5t2+14t。②當1＜t≤2時，如圖2，過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，那么CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣〔5t﹣5〕=16﹣7t。S=PM?PE=×2t×〔16﹣7t〕=﹣7t2+16t。③當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，即〔2t﹣4〕+〔5t﹣5〕=7，解得t=。當2＜t＜時，如圖3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣〔2t﹣4〕﹣〔5t﹣5〕=16﹣7t，S=PM?MQ=×4×〔16﹣7t〕=﹣14t+32。綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為?！?〕①當0＜t≤1時，，∵a=﹣5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，∴當0＜t≤1時，S隨t的增大而增大?！喈攖=1時，S有最大值，最大值為9。②當1＜t≤2時，，∵a=﹣7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，∴當t=時，S有最大值，最大值為。③當2＜t＜時，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S隨t的增大而減小。又∵當t=2時，S=4；當t=時，S=0，∴0＜S＜4。綜上所述，當t=時，S有最大值，最大值為。〔4〕t=或t=時，△QMN為等腰三角形。②如圖5，當點M運動到C點，同時當Q剛好運動至終點D，此時△QMN為等腰三角形，t=?！喈攖=或t=時，△QMN為等腰三角形。10.〔2022福建龍巖14分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運動，當點N到達點A時，M、N同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．〔1〕求菱形ABCD的周長；〔2〕記△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；〔3〕當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO=∠DON？假設(shè)存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴?！嗔庑蜛BCD的周長為200。〔2〕過點M作MP⊥AD，垂足為點P．①當0＜t≤40時，如答圖1，∵，∴MP=AM?sin∠OAD=t。〔3〕存在2個點P，使得∠DPO=∠DON。如答圖3所示，過點N作NF⊥OD于點F，那么NF=ND?sin∠ODA=30×=24，DF=ND?cos∠ODA=30×=18?！郞F=12?！?。作∠NOD的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H，那么FG=GH。∴S△ONF=OF?NF=S△OGF+S△OGN=OF?FG+ON?GH=〔OF+ON〕?FG?！唷！唷ＴO(shè)OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，∴?！郟K=。根據(jù)菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關(guān)于OD軸對稱的點P′。∴存在兩個點P到OD的距離都是。由①、②可得：?！郟E=PI+IE=。根據(jù)對稱性可得，在BD下方還存在一個點P′也滿足條件。∴存在兩個點P，到OD的距離都是。11.〔2022年青海西寧12分〕．〔1〕求反比例函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．假設(shè)運動時間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當運動時間t取何值時，△BEF的面積最大？〔3〕當運動時間為秒時，在坐標軸上是否存在點P，使△PEF的周長最??？假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．〔2〕∵運動時間為t，動點E的速度為每秒1個單位，點F的速度為每秒2個單位，∴AE=t，BF。∵AB=4，∴BE=。∴。∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；當時，△BEF的面積最大。12.〔2022年內(nèi)蒙古呼和浩特12分〕如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A〔6，0〕、B〔﹣2，0〕和點C〔0，﹣8〕．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式；〔2〕設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為M，假設(shè)點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為▲；〔3〕連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè)P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？假設(shè)存在，請求出此時t的值；假設(shè)不存在，請說明理由；②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值．【答案】解：〔1〕∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A〔6，0〕、B〔﹣2，0〕，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a〔x+2〕〔x﹣6〕?！邎D象過點〔0，﹣8〕，∴﹣8=a〔0+2〕〔0﹣6〕，解得a=?！喽魏瘮?shù)的解析式為y=〔x+2〕〔x﹣6〕，即?！?〕〔，0〕。〔3〕①不存在PQ∥OC，假設(shè)PQ∥OC，那么點P，Q分別在線段OA，CA上，此時，1＜t＜2。∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC。∴?！逜P=6﹣3t，AQ=18﹣8t，∴，解得t=?！遲=＞2不滿足1＜t＜2，∴不存在PQ∥OC。②分三種情況討論如下，情況1：當0≤t≤1時，如圖1，∴點K的坐標為〔，0〕。13.〔2022年吉林長春12分〕如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發(fā)，沿B﹣A﹣D﹣A運動，沿B﹣A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t〔秒〕．連結(jié)PQ．〔1〕當點P沿A﹣D﹣A運動時，求AP的長〔用含t的代數(shù)式表示〕．〔2〕連結(jié)AQ，在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．〔3〕過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結(jié)BR，如圖②．在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形〔陰影局部〕被線段BR分成面積相等的兩局部時t的值．〔4〕設(shè)點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．〔3〕當點P與點R重合時，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。當0＜t≤1時，如圖③，∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM?！逜B∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。在△BPM和△RQM中，，∴△BPM≌△RQM〔AAS〕?！郆P=RQ?！逺Q=AB，∴BP=AB?！?3t=13，解得：t=1。當1＜t≤時，如圖④，∵BR平分陰影局部面積，∴P與點R重合?！鄑=。當＜t≤時，如圖⑤，∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四邊形BQPR?！郆R不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩局部。綜上所述，當t=1或時，線段PQ掃過的圖形〔陰影局部〕被線段BR分成面積相等的兩局部?！?〕當t=7，t=，t=時，點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC?！摺鰿′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。14.〔2022廣東梅州11分〕如圖，矩形OABC中，A〔6，0〕、C〔0，2〕、D〔0，3〕，射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．〔1〕①點B的坐標是；②∠CAO=度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為；〔直接寫出答案〕〔2〕設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？假設(shè)存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕設(shè)點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊局部的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應的自變量x的取值范圍．【答案】解：〔1〕①〔6，2〕。②30。③〔3，3〕?！?〕存在。m=0或m=3﹣或m=2?！?〕當0≤x≤3時，如圖1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線l∥BC∥OA，可得，∴EF=〔3+x〕，此時重疊局部是梯形，其面積為：當3＜x≤5時，如圖2，當5＜x≤9時，如圖3，當x＞9時，如圖4，。綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：?！究键c】矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥俊?〕①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點B的坐標：∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A〔6，0〕、C〔0，2〕，∴點B的坐標為：〔6，2〕。②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D〔0，3〕，∴PE=3?！??！郞E=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為〔3，3〕?！?〕分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：情況①：MN=AN=3，那么∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°?！摺螾QO=60°，即∠MQO=60°，∴點N與Q重合?！帱cP與D重合?！啻藭rm=0。情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600又，∴，解得：m=3﹣。情況③AM=NM，此時M的橫坐標是，過點P作PK⊥OA于K，過點M作MG⊥OA于G，∴MG=?！??！郖G=3﹣=，AG=AN=?！郞K=2?！鄊=2。綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3﹣或m=2?！?〕分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。15.〔2022廣東湛江12分〕如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為〔6，0〕，點B的坐標為〔0，8〕．動點M從點O出發(fā)．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發(fā)，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)動點M、N運動的時間為t秒〔t＞0〕．〔1〕當t=3秒時．直接寫出點N的坐標，并求出經(jīng)過O、A、N三點的拋物線的解析式；〔2〕在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？假設(shè)存在，請求出最大值；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？〔3〕在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN?sin∠BAO=，AC=AN?cos∠BAO=t?！郞C=OA﹣AC=6﹣t?！郚〔6﹣t，〕。16.〔2022江蘇連云港12分〕如圖，甲、乙兩人分別從A(1，)、B(6，0)兩點同時出發(fā)，點O為坐標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．(1)請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行．(2)當t為何值時，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s＝MN2，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．(2)由〔1〕知，當t≤時，△OMN不相似△OBA。當t＞時，OM＝4t－2，ON＝4t－6，由解得t＝2＞，∴當t＝2時，△OMN∽△OBA。(3)①當t≤時，如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為H，在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t?！鄐＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。17.〔2022福建漳州14分〕如圖，在OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．動點P從點O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)填空：點C的坐標是(______，______)，對角線OB的長度是_______cm；(2)當a=1時，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大?(3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.假設(shè)以O(shè)、M、P為頂點的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．∵①②中S隨t的增加而增加，③中，S隨t的增加而減小，∴當t=8時，S最大。18.〔2022湖南衡陽10分〕如圖，A、B兩點的坐標分別是〔8，0〕、〔0，6〕，點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO〔O為坐標原點〕方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，假設(shè)設(shè)運動時間為t〔0＜t＜〕秒．解答如下問題：〔1〕當t為何值時，PQ∥BO？〔2〕設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；②假設(shè)我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，那么新坐標〔x2﹣x1，y2﹣y1〕稱為“向量PQ〞的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ〞的坐標．②如圖②所示，當S取最大值時，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。又PD∥BO，∴此時PD為△OAB的中位線，那么OD=OA=4?！郟〔4，3〕。又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q〔，0〕。依題意，“向量PQ〞的坐標為〔﹣4，0﹣3〕，即〔，﹣3〕．∴當S取最大值時，“向量PQ〞的坐標為〔，﹣3〕。19.〔2022貴州安順14分〕如下圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B，且18a+c=0．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．①移動開始后第t秒時，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．綜上所述，點R坐標為〔3，﹣18〕。20.〔2022山東青島12分〕如圖，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設(shè)運動時間為t(0＜t＜4)s．解答以下問題：(1)當t為何值時，PQ⊥AB？(2)當點Q在B、E之間運動時，設(shè)五邊形PQBCD的面積為ycm2，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩局部的面積之比為＝1∶29？假設(shè)存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴?！唿cD、E分別是AC、AB的中點，∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4?！逷Q⊥AB，∴∠PQB=∠C=900。又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B?！唷鱌QE∽△ABC?！?。由題意，得PE=4－t，QE=2t－5，∴，解得?！喈敃r，PQ⊥AB?！?〕過點P作PM⊥AB于點M。由△PME∽△ABC，得，∴，即?！?，?！?。當時，PQ分四邊形BCDE所成的兩局部的面積之比為＝1∶29，此時點E到PQ的距離h?！究键c】動點問題，勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，求二次函數(shù)關(guān)系式?！痉治觥俊?〕由△PQE∽△ABC可列式求解?！?〕由△PME∽△ABC可求得，根據(jù)可求關(guān)系式?！?〕假設(shè)存在，由＝1∶29可得，即可求出，進一步由求出。21.〔2022廣西桂林12分〕如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為BC的中點．(1)假設(shè)E、F分別是AB、AC上的點，且AE＝CF，求證：△AED≌△CFD；(2)當點F、E分別從C、A兩點同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CA、AB運動，到點A、B時停止；設(shè)△DEF的面積為y，F(xiàn)點運動的時間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的條件下，點F、E分別沿CA、AB的延長線繼續(xù)運動，求此時y與x的函數(shù)關(guān)系式．【考點】動點問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等積變換?！痉治觥俊?〕由推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS證得結(jié)果?！?〕由△AED≌△CFD，根據(jù)等積變換由可得結(jié)果?！?〕由△AED≌△CFD，根據(jù)等積變換由可得結(jié)果。22.〔2022吉林省10分〕如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設(shè)點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合局部的面積為Scm2．〔1〕當t=s時，點P與點Q重合；〔2〕當t=s時，點D在QF上；〔3〕當點P在Q，B兩點之間〔不包括Q，B兩點〕時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】解：〔1〕1?！?〕?！?〕當P、Q重合時，由〔1〕知，此時t=1；當D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。進一步分析可知此時點E與點F重合。當點P到達B點時，此時t=2。因此當P點在Q，B兩點之間〔不包括Q，B兩點〕時，其運動過程可分析如下：①當1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合局部為梯形PDGQ。此時AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。②當＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合局部為一個多邊形．面積S由關(guān)系式“〞求出。23.〔2022年重慶市12分〕如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2QUOTE3，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運動的時間為t秒〔t≥0〕．〔1〕當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；〔2〕在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應的自變量t的取值范圍；〔3〕設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？假設(shè)存大，求出對應的t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．當4≤t＜6時，S=QUOTE3t2﹣12QUOTE3t+36QUOTE3。綜上所述，存在5個這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣QUOTE3，t=3+QUOTE3，t=2，t=4，t=0。24.〔2022年山西省14分〕如圖，在平面直角坐標系中．四邊形OABC是平行四邊形．直線l經(jīng)過O、C兩點．點A的坐標為〔8，0〕，點B的坐標為〔11，4〕，動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O－C－B相交于點M．當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒〔t＞0〕．△MPQ的面積為S．〔1〕點C的坐標為，直線l的解析式為．〔2〕試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍．〔3〕試求題〔2〕中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值．〔4〕隨著P、Q兩點的運動，當點M在線段CB上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N．試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．【考點】動點問題，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，一、二次函數(shù)的增減性和最值，等腰三角形的判定。25.〔2022年江蘇淮安12分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P在AB上，AP＝2。.點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)E、F運動的時間為秒〔＞0〕，正方形EFGH與△ABC重疊局部面積為S.〔1〕當＝1時，正方形EFGH的邊長是；當＝3時，正方形EFGH的邊長是；〔2〕當0＜≤2時，求S與的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕直接答出：在整個運動過程中，當為何值時，S最大？最大面積是多少？又∵AP＝2，∴AF＝AP＋PF＝2＋。仿上有，△ABC∽△AGF?！?，∴。因此，0＜≤2分為三局部討論：=1\*GB3①當0＜≤時〔如圖3〕，S與的函數(shù)關(guān)系式是：＝(2)2＝42；=2\*GB3②當＜≤時〔如圖4〕，S與的函數(shù)關(guān)系式是：＝4t2－··[2-(2－)]2＝2＋－；=3\*GB3③當＜≤2時〔如圖5〕，求S與t的函數(shù)關(guān)系式是：∵AE＝－2，TE＝，HT＝,HS＝，∴?！逨B＝8－，YF＝，GY＝，XG＝，26.〔2022年江蘇揚州12分〕在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運動．同時，動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運動，且始終保持MQ⊥MP，設(shè)運動時間為秒〔〕．〔1〕△PBM與△QNM相似嗎？以圖１為例說明理由；〔2〕假設(shè)∠ABC＝600，AB＝4厘米①求動點Q的運動速度；②設(shè)△APQ的面積為S〔平方厘米〕，求S與的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕探求三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖１為例說明理由．【答案】解：〔1〕△PBM∽△QNM。理由如下：如圖1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC，∴?！??！?，∴?！唷鱌BM∽△QNM?！?〕∵，∴cm。又∵MN垂直平分BC，∴cm?！?，∴＝4cm。①設(shè)Q點的運動速度為cm/s，當時，如圖１，由〔1〕知△PBM∽△QNM，∴，即?！唷．敃r，如圖2，同樣可證△PBM∽△QNM，得到。綜上所述，Q點運動速度為1cm/s．②∵AB＝4cm，cm，∴由勾股定理可得，AC＝12cm?！郃N＝AC－NC＝12－8＝4cm∴當時，如圖1，AP＝，AQ＝?！?。當時，如圖2，AP＝,AQ＝,∴。綜上所述，?！?〕。理由如下：如圖3，延長QM至D，使MD＝MQ，連結(jié)BD、PD?！進Q⊥MP，MD＝MQ，∴PQ＝PD。又∵MD＝MQ，∠BMD＝∠CMQ，BM＝CM，∴△BDM≌△CQM〔SAS〕?！郆D＝CQ，∠MBD＝∠C?！郆D∥AC。又∵，∴?！嘣谥?，，即?！究键c】動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，列函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥俊?〕可以證明兩個三角形中的兩個角對應相等，那么兩個三角形一定相似?！?〕①由于∠ABC＝600，AB＝4厘米，點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運動，故點P從點B出發(fā)沿射線BA到達點A的時間為4秒，從而應分兩種情況和分別討論。②分兩種情況和，把AP和BP分別用的關(guān)系式表示，求出面積即可。〔3〕要探求三者之間的數(shù)量關(guān)系就要把放到一個三角形中，故作輔助線延長QM至D，使MD＝MQ，連結(jié)BD、PD得到PQ＝PD，BD＝CQ，從而在中，，從而得證。27.〔2022年甘肅蘭州12分〕如下圖，在平面直角坐標系XOY中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過點A、B和D〔4，〕.〔1〕求拋物線的表達式.〔2〕如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)S=PQ2().①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；②當S取時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由.〔3〕在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標.【答案】解：〔1〕∵正方形的邊長2，∴點A的坐標是〔0，﹣2〕，點B的坐標〔2，﹣2〕，把A〔0，﹣2〕，B〔2，﹣2〕，D〔4，〕代入得：，解得?！鄴佄锞€的解析式為：?！?〕①由圖象知：PB=2﹣2t，BQ=t，∴S=PQ2=PB2+BQ2，=〔2﹣2t〕2+t2，即S=5t2﹣8t+4〔0≤t≤1〕?！?〕∵拋物線QUOTEy=16x2﹣13x﹣2∴由軸對稱的性質(zhì)，M′B=M′A?！逜關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M。設(shè)直線BD的解析式為，把B、D的坐標代入得，，解得QUOTE&2k+b=﹣2&4k+b=﹣23?！嘀本€BD的解析式為。把=1代入得，?！郙的坐標為〔1，〕。28.〔2022年廣西北海12分〕如圖，拋物線：與軸交于點A(－2，0)和B(4，0)、與軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)T是拋物線對稱軸上的一點，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標；(3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿軸同時出發(fā)相向而行．當點M到原點時，點Q立刻掉頭并以每秒EQ\F(3,2)個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動．過點M的直線l⊥軸，交AC或BC于點P．求點M的運動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．〔3〕解：〔Ⅰ〕當時，△AMP∽△AOC，∴，?！唷弋敃r，S隨的增加而增加，∴當時，S的最大值為8?！并颉钞敃r，作PF⊥y軸于F，有△COB∽△CFP，又CO＝OB，∴FP＝FC＝，∴∴當時，S的最大值為。綜上所述，S的最大值為。29.〔2022年廣西梧州12分〕如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm.動點P、Q都從點C出發(fā)，點P沿C→B方向做勻速運動，點Q沿C→D→A方向做勻速運動，當P、Q其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．〔1〕求CD的長；〔2〕假設(shè)點P以1cm/s速度運動，點Q以2eq\r(,2)cm/s的速度運動，連接BQ、PQ，設(shè)△BQP面積為S〔cm2〕，點P、Q運動的時間為t〔s〕，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t〔3〕假設(shè)點P的速度仍是1cm/s，點Q的速度為cm/s，要使在運動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，請你直接寫出的取值范圍．【答案】解：〔1〕過D點作DH⊥BC，垂足為點H，那么有DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝6cm?！郈H＝BC－BH＝14－6＝8cm。在Rt△DCH中，CD＝eq\r(,DH2+CH2)＝8eq\r(,2)cm．〔2〕當點P、Q運動的時間為t〔s〕，那么PC＝t。①當Q在CD上時，過Q點作QG⊥BC，垂足為點G，〔3〕要使運動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，的取值范圍是≥1＋eq\f(4,3)eq\r(,2)。30.〔2022年吉林省10分〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于點E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。從初始時刻開始，動點P,Q分別從點A,B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s,動點P沿A--B--C--E的方向運動，到點E停止；動點Q沿B--C--E--D的方向運動，到點D停止，設(shè)運動時間為s，PAQ的面積為ycm2，〔這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形)解答以下問題：(1)當x=2s時，y=_____cm2;當=s時，y=_______cm2

(2〕當5≤x≤14時，求y與之間的函數(shù)關(guān)系式。(3〕當動點P在線段BC上運動時，求出S梯形ABCD時的值?！?〕直接寫出在整個運動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．【答案】解：〔1〕2，9?！?〕分三種情況：①當5≤≤9時〔如圖〕，y=S梯形ABCQ–S△ABP–S△PCQ。②當9＜≤13時〔如圖〕，③當13＜≤14時〔如圖〕，〔3〕當動點P在線段BC上運動時，

∵，∴，即2－14+49=0。解得1=2=7?！喈?7時，?！?〕。31.〔2022年黑龍江省綏化、齊齊哈爾、黑河、大興安嶺、雞西10分〕直線與軸、軸分別交于A、B兩點，∠ABC=60°，BC與軸交于點C．〔1〕試確定直線BC的解析式．〔2〕假設(shè)動點P從A點出發(fā)沿AC向點C運動〔不與A、C重合〕，同時動點Q從C點出發(fā)沿CBA向點A運動〔不與C、A重合〕，動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．設(shè)△APQ的面積為S，P點的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．〔3〕在〔2〕的條件下，當△APQ的面積最大時，軸上有一點M，平面內(nèi)是否存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形？假設(shè)存在，請直接寫出N點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．∵BO=4，CB=8，CQ=2t，∴?！郠H=t。又∵AP=t，∴S△APQ=AP?QH=t?t=t2﹙0＜t≤4﹚。當P點在OC之間運動時，4＜t＜8，Q點在BA之間運動。同理可得，BO=4，AB=8，AQ=16－2t，∴QH=8－t，AP=t?！郤△APQ=AP?QH=t?﹙8－t﹚=﹙4＜t＜8﹚。綜上所述，S=?！?〕存在。N點的坐標為〔4，0〕，〔－4，8〕〔－4，－8〕〔－4，〕。32.〔2022年湖北恩施12分〕如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：QUOTEy=43x+8與軸交于點A，與軸交于點C，拋物線過點A、點C，且與軸的另一交點為B〔0，0〕，其中0＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．〔1〕求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P0，使P0到點A與點C的距離之和最??；〔2〕假設(shè)△PAC周長的最小值為QUOTE10+241，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；〔3〕如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動〔M不與端點C、O重合〕，過點M作MH∥CB交軸于點H，設(shè)M移動的時間為t秒，試把△P0HM的面積S表示成時間t的函數(shù)，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；〔4〕在〔3〕的條件下，當S=QUOTES=7532時，過M作軸的平行線交拋物線于E、F兩點，問：過E、F、C三點的圓與直線CN能否相切于點C？請證明你的結(jié)論．〔備用圖圖3〕【答案】解：〔1〕在中，令=0得，=-6,即(－6，0)如圖，連接CB與直線交于點為所作?！?〕由〔1〕知，△的周長最小，〔3〕如圖，連接CH,由題設(shè)得，又由△OBC∽三△CMN，得，得，∴?=-，0<<4?！喈攖=2時，面積的最大值為10?！?〕當時，過E、F、C三點的圓與直線CN能相切于點C.此時圓心坐標為。證明如下：如圖3①，由〔3〕知-，解得或。①當時，如圖，M的坐標為。因此，得△ECF是直角三角形，故過E、F、C三點的圓的圓心是EF的中點，求得的坐標為。此時，，,,那么有。即⊥，過E、F、C三點的圓與直線CN相切于點C。綜上可知，當時，過E、F、C三點的圓與直線CN相切于點C，圓心坐標為。33.〔2022年湖南郴州10分〕如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，點Q在線段BC上從B向C運動，點P在線段BA上從B向A運動．Q、P兩點同時出發(fā)，運動的速度相同，當點Q到達點C時，兩點都停止運動．作PM⊥PQ交CA于點M，過點P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F．〔1〕求證：△PQE∽△PMF；〔2〕當點P、Q運動時，請猜測線段PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜測；〔3〕設(shè)BP=，△PEM的面積為，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當為何值時，有最大值，并將這個值求出來．34.(2022年湖南湘西20分)如圖.拋物線與軸相交于點A和點B,與軸交于點C.(1)求點A、點B和點C的坐標.(2)求直線AC的解析式.(3)設(shè)點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一點,且S△MAB=6求點M的坐標.(4)假設(shè)點P在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從A運動(不與B,A重合),同時,點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運動.設(shè)運動的時間為t秒,請求出△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出當t為何值時,△APQ的面積最大,最大面積是多少?(4)由題意，得AB=4，PB=4－t,AQ=2t，∵AO=3，CO=3，∴△ABC是等腰直角三角形。由AQ=2t和Q點在上，得Q點的縱坐標為t。 ∴S=。又∵S=∴當t=2時△APQ最大，最大面積是2。35.〔2022年新疆烏魯木齊12分〕如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒得速度從A點出發(fā)，沿AC向C移動，同時，動點Q以1米/秒得速度從C點出發(fā)，沿CB向B〔1〕①當t=秒時，求△CPQ的面積；②求△CPQ的面積S〔平方米〕關(guān)于時間t〔秒〕的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕在P、Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，寫出t的值；〔3〕以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值。【答案】解：〔1〕①過點P作PD⊥BC于D。在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8∴由勾股定理，得AC=10由題意得：AP=2t，CP=10－2t?！遲=，∴AP=2×=5，QC=?！啻藭r，點P是AC的中點，∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=〔平方米〕。②過點P作PF⊥BC于點F，那么有△PCF∽△ACB?！??！逜P=2t，∴PC=10－2t。又AB=6，AC=10，∴，即∴S=。【考點】動點問題，勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩圓相切的條件，解一元二次方程?！痉治觥俊?〕①由勾股定理求得AC，求出AP，得點P為AC中點，過點P作PD⊥BC，由三角形中位線定理求出PD，即可求出當t=秒時，△CPQ的面積。②過點P作PF⊥BC，由相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求出△CPQ的面積S〔平方米〕關(guān)于時間t〔秒〕的函數(shù)關(guān)系式?！?〕根據(jù)PC=QC，PQ=QC，PQ=PC三種情況分別求出?！?〕根據(jù)兩圓相切的條件，兩圓外切時，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；兩圓內(nèi)切時，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之差。分外切，內(nèi)切兩種情況討論。36.〔2022年遼寧本溪14分〕如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，點A〔10，0〕和點B〔2，2〕，在線段OA上，點P從點O向點A運動，同時點Q從點A向點O運動，運動過程中保持AQ=2OP，當P、Q重合時同時停止運動，過點Q作軸的垂線，交直線AB于點M，延長QM到點D，使MD=MQ，以QD為對角線作正方形QCDE〔正方形QCDE隨點Q運動〕．〔1〕求這條拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點坐標〔m，0〕求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕過點P作軸的垂線，交拋物線于點N，延長PN到點G，使NG=PN，以PG為對角線作正方形PFGH〔正方形PFGH隨點P運動〕，當點P運動到點〔2，0〕時，如圖2，正方形PFGH的邊GP和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．①那么此時兩個正方形中在直線AB下方的陰影局部面積的和是多少？②假設(shè)點P繼續(xù)向點A運動，還存在兩個正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請直接寫出每種情況下點P的坐標，不必說明理由．37.〔2022年云南昆明12分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．〔1〕求AC、BC的長；〔2〕設(shè)點P的運動時間為x〔秒〕，△PBQ的面積為y〔cm2〕，當△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；〔3〕當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；〔4〕當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小，假設(shè)存在，求出最小周長，假設(shè)不存在，請說明理由．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=QUOTE&﹣45x2+8x（38.〔2022年山東濟南9分〕如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為(0，8)，點C的坐標為(6，0)．拋物線經(jīng)過點A、C，與AB交于點