北京交通大學(xué)高等巖石力學(xué)課件相似模型試驗

6相似模型試驗

緒論相似理論相似條件分析相似模擬試驗設(shè)計主要內(nèi)容：6相似模型試驗緒論主要內(nèi)容：6.1緒論

相似模型試驗是以相似理論為基礎(chǔ)的模型試驗技術(shù)，是利用事物之間存在的相似和類似研究自然規(guī)律的一種方法。

17世紀之前人們主要考慮幾何相似；從17世紀初開始，由之前主要考慮幾何相似發(fā)展到同時考慮幾何和內(nèi)在規(guī)律相似；19世紀中期到20世紀30年代，形成了較完善的相似理論，以此理論為指導(dǎo)的相似模型試驗也就成為一種相對成熟的研究方法?，F(xiàn)代模擬技術(shù)主要有：物理模擬，數(shù)學(xué)模擬，數(shù)值模擬和信息模擬。相似材料模型試驗屬于物理模擬。6.1緒論相似模型試驗是以相似理論為基礎(chǔ)6.2相似理論6.2.1相似準則

彼此相似的兩個系統(tǒng)中，存在著數(shù)值不變的組合量，該組合量稱為相似準則。AB6.2相似理論6.2.1相似準則彼此軌道幾何相似；軌道上任意點運動速度成比例：從某對應(yīng)點運動到另一對應(yīng)點所需時間成比例：則A、B兩個物體走過的路程也必定成比例：滿足上述條件稱A與B物體運動相似。軌道幾何相似；從某對應(yīng)點運動到另一對應(yīng)點所需時間成比例：則A根據(jù)：及以上比例關(guān)系式得：稱之為運動學(xué)相似指標(biāo)，其值等于1。

對于任何其他的相似系統(tǒng)存在著同樣的規(guī)律，即系統(tǒng)物理量之間的相似常數(shù)之間的某種組合等于1。根據(jù)：由于則

該不變量即為運動相似系統(tǒng)的相似準則。

特別注意：不變量不等于常數(shù)，它反映了兩個相似系統(tǒng)對應(yīng)點的對應(yīng)時刻準則值相等，而在同一系統(tǒng)不同點是不同的。由于則該不變量即為運動相似系統(tǒng)的相似準則。6.2.2相似理論的三個定理1相似第一定理

相似第一定理闡述的是相似現(xiàn)象具有的性質(zhì)，即：相似現(xiàn)象的相似準則相等，相似指標(biāo)等于1，且單值條件相似。

單值條件包括：幾何條件，物理條件、邊界條件、初始條件2相似第二定理

相似第二定理也稱之為π定理，即：如果現(xiàn)象相似，則描述現(xiàn)象各種參量之間關(guān)系式可轉(zhuǎn)換為相似準則之間的函數(shù)關(guān)系，且相似準則函數(shù)關(guān)系式相同。6.2.2相似理論的三個定理1相似第一定理相設(shè)描述相似現(xiàn)象的物理方程為：其中：為基本量；為導(dǎo)出量；轉(zhuǎn)換成無因次的準則方程為：上式表明：相似準則共有n-k個。

相似第二定理為將模型試驗結(jié)果推廣到原型提供了理論依據(jù)。設(shè)描述相似現(xiàn)象的物理方程為：其中：為基本量；為導(dǎo)出量；轉(zhuǎn)換成3相似第三定理

相似第三定理闡述了相似現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件。即：若兩個現(xiàn)象能用相同文字的關(guān)系式描述，且單值條件相似，同時由此單值條件組成的相似準則相等，則此兩個現(xiàn)象相似。3相似第三定理相似第三定理闡述了相似現(xiàn)象應(yīng)滿足的6.2.3相似準則的推導(dǎo)1相似轉(zhuǎn)換法列出描述現(xiàn)象的基本微分方程及全部單值條件；給出相似常數(shù)表達式；把相似常數(shù)表達式代入方程組求得相似指標(biāo)；把相似常數(shù)代入相似指標(biāo)式求得相似準則；對單值條件采用上述③、④兩個步驟求得相似準則?！纠浚阂痪S導(dǎo)熱問題導(dǎo)熱基本方程：6.2.3相似準則的推導(dǎo)1相似轉(zhuǎn)換法列出描述現(xiàn)象的基本列出模型導(dǎo)熱方程給出相似常數(shù)表達式將相似常數(shù)代入導(dǎo)熱方程求相似指標(biāo)對比原型導(dǎo)熱方程：得列出模型導(dǎo)熱方程給出相似常數(shù)表達式將相似常數(shù)代入導(dǎo)熱方程求相得相似指標(biāo)：將相似常數(shù)代入相似指標(biāo)整理，得相似準則得相似指標(biāo)：將相似常數(shù)代入相似指標(biāo)整理，得相似準則2因次分析法

對于某些系統(tǒng)，無法寫出基本方程，因此也無法采用相似轉(zhuǎn)換法求得相似準則。（1）因次概念

因次也稱之為量綱，是表示物理量性質(zhì)的符號。與物理量的單位既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

例如：[L]表示長度的因次，而長度的單位可以是米、厘米、毫米等

因次分為基本因次和導(dǎo)出因次。

工程中常用的基本因次系統(tǒng)：MLT系統(tǒng)；FLT系統(tǒng)。2因次分析法對于某些系統(tǒng)，無法寫出基本方程，因（2）因次分析原理

因次分析法的理論依據(jù)就是π定理，即：若描述某一現(xiàn)象的變量有n個，其中k個變量的因次為基本因次，且這些變量構(gòu)成一個因次齊次的方程，則齊次方程可以轉(zhuǎn)化為n-k個無因次乘積所組成的方程組。（3）因次分析法步驟找出與現(xiàn)象有關(guān)的變量和因次，得出現(xiàn)象的函數(shù)表達式；寫出相似準則的一般表達式；將變量因次代入準則一般方程得到因次式；列出變量指數(shù)之間的關(guān)系式；求解得到各變量的指數(shù)。（2）因次分析原理因次分析法的理論依據(jù)就是π定【例】：電風(fēng)扇的運動規(guī)律影響因素（變量）及因次（1）扭矩t：（2）電風(fēng)扇半徑r：（3）空氣密度ρ：（4）風(fēng)扇轉(zhuǎn)速n：電風(fēng)扇的運動規(guī)律：寫出準則函數(shù)一般表達式【例】：電風(fēng)扇的運動規(guī)律影響因素（變量）及因次（1）扭矩t將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式列出變量指數(shù)之間關(guān)系式求解得各變量指數(shù)令：得：將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式列出變量指數(shù)之間關(guān)系式求解得得相似準則：令：均得：或

本例中變量數(shù)為4個，基本因次為3個，故相似準則為1個。得相似準則：令：均得：或本例中變量數(shù)為4個，基本因3矩陣分析法

將矩陣理論引入因次分析法中來求相似準則。對于含有較多變量的系統(tǒng)，可使分析過程得到簡化?！纠浚合荡⊥蚕到y(tǒng)，分析系統(tǒng)的相似準則。影響因素（變量）及因次（1）水的密度：（2）空氣的密度：3矩陣分析法將矩陣理論引入因次分析法中來求相似（3）風(fēng)速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度：（6）系桿長度l：（7）系桿轉(zhuǎn)角：系統(tǒng)基本方程

系統(tǒng)變量共有7個，基本因次為3個，故相似準則有4個，其中是無因次量，因此：（3）風(fēng)速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度寫出相似準則一般表達式將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式寫出因次矩陣abcdef寫出相似準則一般表達式將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式寫出因求矩陣的秩

矩陣的秩為3，相似準則的個數(shù)等于矩陣列數(shù)減去矩陣的秩，為6-3=3。為簡化分析，將不為零的行列式排在矩陣右側(cè)。由因次表達式得求解上述方程：求矩陣的秩矩陣的秩為3，相似準則的個數(shù)等于矩陣列變換矩陣

將d、e、f各行的系數(shù)作為π矩陣中對應(yīng)各列的元素，在a、b、c位置上為單位矩陣。abcdef則：三個相似準則為變換矩陣將d、e、f各行的系數(shù)作為π矩陣中對應(yīng)各6.3相似條件分析

相似條件即模型與原型有關(guān)參數(shù)之間應(yīng)滿足的條件。包括：幾何相似、物理相似、力學(xué)相似、過程相似、破壞相似、邊界條件相似、初始條件相似等。

對于具體研究的問題，首先是要明確研究的目的，然后找出影響問題的主要因素（變量、參數(shù)），最后針對主要因素確定相似準則、相似指標(biāo)和相似比。

以巖石地下工程為例，需要考慮幾何條件、地應(yīng)力、巖體的物理力學(xué)參數(shù)、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、破壞條件、邊界條件、開挖過程的相似。6.3相似條件分析相似條件即模型與原型有6.3.1幾何相似條件幾何相似常數(shù)6.3.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相似模型原型在任意應(yīng)變點應(yīng)力要滿足

幾何相似條件是相似模擬試驗中原型和模型應(yīng)滿足的基本條件之一。即表征原型的幾何尺寸特征參數(shù)和表征模型幾何尺寸的特征參數(shù)必須滿足下式：6.3.1幾何相似條件幾何相似常數(shù)6.3.2應(yīng)力應(yīng)變6.3.3應(yīng)力平衡關(guān)系相似原型模型只考慮重力：6.3.3應(yīng)力平衡關(guān)系相似原型模型只考慮重力：將應(yīng)力相似常數(shù)和幾何相似常數(shù)代入原型方程得：將應(yīng)力相似常數(shù)和幾何相似常數(shù)代入原型方程得：與模型平衡方程對比可得：6.3.4變形相似條件

由于應(yīng)變是無量綱的量，根據(jù)相似第二定理，應(yīng)變本身就是一個相似準則，故：假設(shè)原型和模型均滿足：與模型平衡方程對比可得：6.3.4變形相似條件

由于泊松比也是一個無量綱的量，故：

則，不難得到：6.3.5破壞相似條件模型原型

原型強度曲線與模型完全相似，要滿足：由于泊松比也是一個無量綱的量，故：

嚴格滿足比較困難，可簡化為：6.3.6時間相似條件

時間相似性比較復(fù)雜，取決于研究問題中時間因素所起的作用，需要根據(jù)具體問題采用因次分析法來確定其相似常數(shù)。運動學(xué)相似：一維導(dǎo)熱相似：嚴格滿足比較困難，可簡化為：6.3.6時間相似6.4相似模擬試驗設(shè)計6.4.1相似準則的選擇和調(diào)整相似準則要獨立；盡可能使相似準則具有明確物理意義；將原始準則盡量轉(zhuǎn)換為常用準則形式；

如雷諾準則：

傅魯?shù)聹蕜t：

傅里葉準則：

牛頓準則：6.4相似模擬試驗設(shè)計6.4.1相似準則的選擇和調(diào)整每個相似準則中最好只安排一個待求量；選取準則要考慮變量易量測；準則較多時，以主要準則為主。6.4.2相似常數(shù)的選取

相似常數(shù)指原型參數(shù)與模型參數(shù)的比值。

相似常數(shù)包括：基本相似常數(shù)和導(dǎo)出相似常數(shù)，基本相似常數(shù)是基本量的相似常數(shù)，主要有長度、時間、質(zhì)量、溫度、電流；導(dǎo)出相似常數(shù)是導(dǎo)出量的相似常數(shù)。模型試驗設(shè)計中只選擇基本相似常數(shù)即可。每個相似準則中最好只安排一個待求量；6.4.2相似常數(shù)的研究領(lǐng)域基本相似常數(shù)幾何尺寸時間質(zhì)量溫度電流幾何學(xué)√運動學(xué)√√靜力學(xué)√√動力學(xué)√√√熱力學(xué)√√√熱傳導(dǎo)√√√√靜電學(xué)√√√電動力學(xué)和電磁學(xué)√√√√磁流體動力學(xué)√√√√√

常見研究領(lǐng)域涉及的基本相似常數(shù)研究領(lǐng)域基本相似常數(shù)幾何尺寸時間質(zhì)量溫度電流幾何學(xué)√運動學(xué)√1幾何相似常數(shù)

幾何相似常數(shù)選取的原則：在保證試驗參數(shù)量測精度的前提下，盡量使模型便于操作。需要根據(jù)原型尺寸、模型試驗臺架尺寸及研究問題的目的綜合考慮確定。

對巖土工程、地下工程問題一般取10～

50；對于大壩模擬一般取80～120。2時間相似常數(shù)

時間相似常數(shù)選取主要應(yīng)考慮完成一種現(xiàn)象所需的時間長短和相似指標(biāo)的制約綜合考慮確定。通常完成一種現(xiàn)象時間很長時，應(yīng)選取大的時間常數(shù)，以縮短模型試驗時間，但有時受相似指標(biāo)的約束會出現(xiàn)矛盾，此時需要綜合考慮確定合適的時間相似常數(shù)。1幾何相似常數(shù)幾何相似常數(shù)選取的原則：在3質(zhì)量相似常數(shù)

質(zhì)量相似常數(shù)通常用密度相似常數(shù)來表達。

對模擬由地心引力引起的應(yīng)力場問題，存在以下相似指標(biāo)

在進行模型設(shè)計時，一般要求，另外模型和原型同受地心引力作用，，則：

若幾何相似常數(shù)為20，則意味著相似材料密度需是原型材料密度的20倍，這一般是做不到的。3質(zhì)量相似常數(shù)質(zhì)量相似常數(shù)通常用密度相似

兩種解決方法：一是提高應(yīng)力相似常數(shù)，使得下式滿足，在巖體地下工程模擬中，若實際模擬深度大，還需要在模型頂面加面力進行補償，所加面力大小應(yīng)為：

二是保持，進行離心模型試驗，加大模型的重力加速度，在情況下，使得下式滿足：

在此情況下可以用原型材料塑造模型進行試驗，這一點對于原型本身為土體的情況是非常適宜的。兩種解決方法：一是提高應(yīng)力相似常數(shù)，使得下式6.4.3相似材料原料與配比1相似材料原料

常用的有：石英砂、重晶粉、石膏、石灰、水泥、碳酸鈣、黑云母、煤粉、木屑、硼酸等2相似材料配比

即相似材料原料之間的重量比例關(guān)系。確定合適的配比不是一件容易做到的事。一般根據(jù)前人研究成果，或者經(jīng)過大量配比試驗來確定出合適的配比。6.4.3相似材料原料與配比1相似材料原料常配比號抗壓強度（kPa）彈性模量（MPa）泊松比備注537372093000.16配比號第一位數(shù)字為砂膠比，第二、三位數(shù)字為一份膠結(jié)物中的水泥與石膏比。拌合相似材料用水量為材料重量的1/10，水中硼砂濃度為1%，500號礦渣水泥，二級建筑石膏，石英細砂。637279865000.18737211851000.20855176023000.22937123015600.26部分配比成果6.4.4相似材料模型制作1整體模型2層狀模型3含節(jié)理或斷層帶模型配比號抗壓強度（kPa）彈性模量（MPa）泊松比備注5原料準備按配比將原料混合將混合料放入專門容器加適量水?dāng)嚢杈鶆驅(qū)嚢韬玫南嗨撇牧暇鶆蜾佋O(shè)在臺架中振搗密實干燥養(yǎng)護相似材料模型制作流程原料準備按配比將原料混合將混合料放入專門容器加適量水?dāng)嚢杈鶆?.4.5相似材料模型試驗臺架北京交通大學(xué)新設(shè)計制作模型臺架效果圖8.7m4.6m4.2m4.0m2.4m2.0m加載橫梁伺服電機導(dǎo)軌驅(qū)動電機導(dǎo)軌加載鋼板側(cè)開門平面試驗框架操作平臺導(dǎo)軌支撐立柱上料斜坡道上操作平臺加載縱梁有機玻璃擋板控制臺伺服控制柜6.4.5相似材料模型試驗臺架北京交通大學(xué)新設(shè)計制作模型北京交通大學(xué)北京交通大學(xué)北京交通大學(xué)北京交通大學(xué)西安科技大學(xué)西安科技大學(xué)重慶公路設(shè)計規(guī)劃研究院重慶公路設(shè)計規(guī)劃研究院山東科技大學(xué)（立體臺架）山東科技大學(xué)（立體臺架）山東科技大學(xué)（平面臺架）山東科技大學(xué)（平面臺架）6.4.6相似材料模型試驗量測光纖光柵分析儀微型壓力盒光纖光柵應(yīng)變片動態(tài)數(shù)據(jù)采集儀

Datataker數(shù)據(jù)采集器

6.4.6相似材料模型試驗量測光纖光柵分析儀微型壓力盒6.4.7試驗結(jié)果分析6.4.7試驗結(jié)果分析6相似模型試驗

緒論相似理論相似條件分析相似模擬試驗設(shè)計主要內(nèi)容：6相似模型試驗緒論主要內(nèi)容：6.1緒論

相似模型試驗是以相似理論為基礎(chǔ)的模型試驗技術(shù)，是利用事物之間存在的相似和類似研究自然規(guī)律的一種方法。

17世紀之前人們主要考慮幾何相似；從17世紀初開始，由之前主要考慮幾何相似發(fā)展到同時考慮幾何和內(nèi)在規(guī)律相似；19世紀中期到20世紀30年代，形成了較完善的相似理論，以此理論為指導(dǎo)的相似模型試驗也就成為一種相對成熟的研究方法。現(xiàn)代模擬技術(shù)主要有：物理模擬，數(shù)學(xué)模擬，數(shù)值模擬和信息模擬。相似材料模型試驗屬于物理模擬。6.1緒論相似模型試驗是以相似理論為基礎(chǔ)6.2相似理論6.2.1相似準則

彼此相似的兩個系統(tǒng)中，存在著數(shù)值不變的組合量，該組合量稱為相似準則。AB6.2相似理論6.2.1相似準則彼此軌道幾何相似；軌道上任意點運動速度成比例：從某對應(yīng)點運動到另一對應(yīng)點所需時間成比例：則A、B兩個物體走過的路程也必定成比例：滿足上述條件稱A與B物體運動相似。軌道幾何相似；從某對應(yīng)點運動到另一對應(yīng)點所需時間成比例：則A根據(jù)：及以上比例關(guān)系式得：稱之為運動學(xué)相似指標(biāo)，其值等于1。

對于任何其他的相似系統(tǒng)存在著同樣的規(guī)律，即系統(tǒng)物理量之間的相似常數(shù)之間的某種組合等于1。根據(jù)：由于則

該不變量即為運動相似系統(tǒng)的相似準則。

特別注意：不變量不等于常數(shù)，它反映了兩個相似系統(tǒng)對應(yīng)點的對應(yīng)時刻準則值相等，而在同一系統(tǒng)不同點是不同的。由于則該不變量即為運動相似系統(tǒng)的相似準則。6.2.2相似理論的三個定理1相似第一定理

相似第一定理闡述的是相似現(xiàn)象具有的性質(zhì)，即：相似現(xiàn)象的相似準則相等，相似指標(biāo)等于1，且單值條件相似。

單值條件包括：幾何條件，物理條件、邊界條件、初始條件2相似第二定理

相似第二定理也稱之為π定理，即：如果現(xiàn)象相似，則描述現(xiàn)象各種參量之間關(guān)系式可轉(zhuǎn)換為相似準則之間的函數(shù)關(guān)系，且相似準則函數(shù)關(guān)系式相同。6.2.2相似理論的三個定理1相似第一定理相設(shè)描述相似現(xiàn)象的物理方程為：其中：為基本量；為導(dǎo)出量；轉(zhuǎn)換成無因次的準則方程為：上式表明：相似準則共有n-k個。

相似第二定理為將模型試驗結(jié)果推廣到原型提供了理論依據(jù)。設(shè)描述相似現(xiàn)象的物理方程為：其中：為基本量；為導(dǎo)出量；轉(zhuǎn)換成3相似第三定理

相似第三定理闡述了相似現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件。即：若兩個現(xiàn)象能用相同文字的關(guān)系式描述，且單值條件相似，同時由此單值條件組成的相似準則相等，則此兩個現(xiàn)象相似。3相似第三定理相似第三定理闡述了相似現(xiàn)象應(yīng)滿足的6.2.3相似準則的推導(dǎo)1相似轉(zhuǎn)換法列出描述現(xiàn)象的基本微分方程及全部單值條件；給出相似常數(shù)表達式；把相似常數(shù)表達式代入方程組求得相似指標(biāo)；把相似常數(shù)代入相似指標(biāo)式求得相似準則；對單值條件采用上述③、④兩個步驟求得相似準則?！纠浚阂痪S導(dǎo)熱問題導(dǎo)熱基本方程：6.2.3相似準則的推導(dǎo)1相似轉(zhuǎn)換法列出描述現(xiàn)象的基本列出模型導(dǎo)熱方程給出相似常數(shù)表達式將相似常數(shù)代入導(dǎo)熱方程求相似指標(biāo)對比原型導(dǎo)熱方程：得列出模型導(dǎo)熱方程給出相似常數(shù)表達式將相似常數(shù)代入導(dǎo)熱方程求相得相似指標(biāo)：將相似常數(shù)代入相似指標(biāo)整理，得相似準則得相似指標(biāo)：將相似常數(shù)代入相似指標(biāo)整理，得相似準則2因次分析法

對于某些系統(tǒng)，無法寫出基本方程，因此也無法采用相似轉(zhuǎn)換法求得相似準則。（1）因次概念

因次也稱之為量綱，是表示物理量性質(zhì)的符號。與物理量的單位既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

例如：[L]表示長度的因次，而長度的單位可以是米、厘米、毫米等

因次分為基本因次和導(dǎo)出因次。

工程中常用的基本因次系統(tǒng)：MLT系統(tǒng)；FLT系統(tǒng)。2因次分析法對于某些系統(tǒng)，無法寫出基本方程，因（2）因次分析原理

因次分析法的理論依據(jù)就是π定理，即：若描述某一現(xiàn)象的變量有n個，其中k個變量的因次為基本因次，且這些變量構(gòu)成一個因次齊次的方程，則齊次方程可以轉(zhuǎn)化為n-k個無因次乘積所組成的方程組。（3）因次分析法步驟找出與現(xiàn)象有關(guān)的變量和因次，得出現(xiàn)象的函數(shù)表達式；寫出相似準則的一般表達式；將變量因次代入準則一般方程得到因次式；列出變量指數(shù)之間的關(guān)系式；求解得到各變量的指數(shù)。（2）因次分析原理因次分析法的理論依據(jù)就是π定【例】：電風(fēng)扇的運動規(guī)律影響因素（變量）及因次（1）扭矩t：（2）電風(fēng)扇半徑r：（3）空氣密度ρ：（4）風(fēng)扇轉(zhuǎn)速n：電風(fēng)扇的運動規(guī)律：寫出準則函數(shù)一般表達式【例】：電風(fēng)扇的運動規(guī)律影響因素（變量）及因次（1）扭矩t將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式列出變量指數(shù)之間關(guān)系式求解得各變量指數(shù)令：得：將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式列出變量指數(shù)之間關(guān)系式求解得得相似準則：令：均得：或

本例中變量數(shù)為4個，基本因次為3個，故相似準則為1個。得相似準則：令：均得：或本例中變量數(shù)為4個，基本因3矩陣分析法

將矩陣理論引入因次分析法中來求相似準則。對于含有較多變量的系統(tǒng)，可使分析過程得到簡化。【例】：系船浮筒系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的相似準則。影響因素（變量）及因次（1）水的密度：（2）空氣的密度：3矩陣分析法將矩陣理論引入因次分析法中來求相似（3）風(fēng)速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度：（6）系桿長度l：（7）系桿轉(zhuǎn)角：系統(tǒng)基本方程

系統(tǒng)變量共有7個，基本因次為3個，故相似準則有4個，其中是無因次量，因此：（3）風(fēng)速v：（4）重力加速度g：（5）浮筒的密度寫出相似準則一般表達式將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式寫出因次矩陣abcdef寫出相似準則一般表達式將變量因次代入準則函數(shù)一般表達式寫出因求矩陣的秩

矩陣的秩為3，相似準則的個數(shù)等于矩陣列數(shù)減去矩陣的秩，為6-3=3。為簡化分析，將不為零的行列式排在矩陣右側(cè)。由因次表達式得求解上述方程：求矩陣的秩矩陣的秩為3，相似準則的個數(shù)等于矩陣列變換矩陣

將d、e、f各行的系數(shù)作為π矩陣中對應(yīng)各列的元素，在a、b、c位置上為單位矩陣。abcdef則：三個相似準則為變換矩陣將d、e、f各行的系數(shù)作為π矩陣中對應(yīng)各6.3相似條件分析

相似條件即模型與原型有關(guān)參數(shù)之間應(yīng)滿足的條件。包括：幾何相似、物理相似、力學(xué)相似、過程相似、破壞相似、邊界條件相似、初始條件相似等。

對于具體研究的問題，首先是要明確研究的目的，然后找出影響問題的主要因素（變量、參數(shù)），最后針對主要因素確定相似準則、相似指標(biāo)和相似比。

以巖石地下工程為例，需要考慮幾何條件、地應(yīng)力、巖體的物理力學(xué)參數(shù)、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、破壞條件、邊界條件、開挖過程的相似。6.3相似條件分析相似條件即模型與原型有6.3.1幾何相似條件幾何相似常數(shù)6.3.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相似模型原型在任意應(yīng)變點應(yīng)力要滿足

幾何相似條件是相似模擬試驗中原型和模型應(yīng)滿足的基本條件之一。即表征原型的幾何尺寸特征參數(shù)和表征模型幾何尺寸的特征參數(shù)必須滿足下式：6.3.1幾何相似條件幾何相似常數(shù)6.3.2應(yīng)力應(yīng)變6.3.3應(yīng)力平衡關(guān)系相似原型模型只考慮重力：6.3.3應(yīng)力平衡關(guān)系相似原型模型只考慮重力：將應(yīng)力相似常數(shù)和幾何相似常數(shù)代入原型方程得：將應(yīng)力相似常數(shù)和幾何相似常數(shù)代入原型方程得：與模型平衡方程對比可得：6.3.4變形相似條件

由于應(yīng)變是無量綱的量，根據(jù)相似第二定理，應(yīng)變本身就是一個相似準則，故：假設(shè)原型和模型均滿足：與模型平衡方程對比可得：6.3.4變形相似條件

由于泊松比也是一個無量綱的量，故：

則，不難得到：6.3.5破壞相似條件模型原型

原型強度曲線與模型完全相似，要滿足：由于泊松比也是一個無量綱的量，故：

嚴格滿足比較困難，可簡化為：6.3.6時間相似條件

時間相似性比較復(fù)雜，取決于研究問題中時間因素所起的作用，需要根據(jù)具體問題采用因次分析法來確定其相似常數(shù)。運動學(xué)相似：一維導(dǎo)熱相似：嚴格滿足比較困難，可簡化為：6.3.6時間相似6.4相似模擬試驗設(shè)計6.4.1相似準則的選擇和調(diào)整相似準則要獨立；盡可能使相似準則具有明確物理意義；將原始準則盡量轉(zhuǎn)換為常用準則形式；

如雷諾準則：

傅魯?shù)聹蕜t：

傅里葉準則：

牛頓準則：6.4相似模擬試驗設(shè)計6.4.1相似準則的選擇和調(diào)整每個相似準則中最好只安排一個待求量；選取準則要考慮變量易量測；準則較多時，以主要準則為主。6.4.2相似常數(shù)的選取

相似常數(shù)指原型參數(shù)與模型參數(shù)的比值。

相似常數(shù)包括：基本相似常數(shù)和導(dǎo)出相似常數(shù)，基本相似常數(shù)是基本量的相似常數(shù)，主要有長度、時間、質(zhì)量、溫度、電流；導(dǎo)出相似常數(shù)是導(dǎo)出量的相似常數(shù)。模型試驗設(shè)計中只選擇基本相似常數(shù)即可。每個相似準則中最好只安排一個待求量；6.4.2相似常數(shù)的研究領(lǐng)域基本相似常數(shù)幾何尺寸時間質(zhì)量溫度電流幾何學(xué)√運動學(xué)√√靜力學(xué)√√動力學(xué)√√√熱力學(xué)√√√熱傳導(dǎo)√√√√靜電學(xué)√√√電動力學(xué)和電磁學(xué)√√√√磁流體動力學(xué)√√√√√

常見研究領(lǐng)域涉及的基本相似常數(shù)研究領(lǐng)域基本相似常數(shù)幾何尺寸時間質(zhì)量溫度電流幾何學(xué)√運動學(xué)√1幾何相似常數(shù)

幾何相似常數(shù)選取的原則：在保證試驗參數(shù)量測精度的前提下，盡量使模型便于操作。需要根據(jù)原型尺寸、模型試驗臺架尺寸及研究問題的目的綜合考慮確定。

對巖土工程、地下工程問題一般取10～

50；對于大壩模擬一般取80～120。2時間相似常數(shù)

時間相似常數(shù)選取主要應(yīng)考慮完成一種現(xiàn)象所需的時間長短和相似指標(biāo)的制約綜合考慮確定。通常完成一種現(xiàn)象時間很長時，應(yīng)選取大的時間常數(shù)，以縮短模型試驗時間，但有時受相似指標(biāo)的約束會出現(xiàn)矛盾，此時需要綜合考慮確定合適的時間相似常數(shù)。1幾何相似常數(shù)幾何相似常數(shù)選取的原則：在3質(zhì)量相似常數(shù)

質(zhì)量相似常數(shù)通常用密度相似常數(shù)來表達。

對模擬由地心引力引起的應(yīng)力場問題，存在以下相似指標(biāo)

在進行模型設(shè)計時，一般要求，另外模型和原型同受地心引力作用，，則：

若幾何相似常數(shù)為20，則意味著相似材料密度需是原型材料密度的20倍，這一般是做不到的。3質(zhì)量相似常數(shù)質(zhì)量相似常數(shù)通常