第1節(jié)課復(fù)習(xí)函數(shù)-新課極限

課時(shí)目標(biāo)1、復(fù)習(xí)六類基本初等函數(shù)：2、函數(shù)極限的概念：3、函數(shù)極限的分類：4、極限的四則運(yùn)算：3、兩個(gè)重要的極限。（四）初等函數(shù)1、基本初等函數(shù)以上六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).

A.常函數(shù)

yOxB.冪函數(shù)yOx1

21yOxB.冪函數(shù)

yxOoxC.指數(shù)函數(shù)D.對(duì)數(shù)函數(shù)xay=xOE.三角函數(shù)y1o-1y1o-1E.三角函數(shù)E.三角函數(shù)F.反三角函數(shù)F.反三角函數(shù)2、初等函數(shù)例如：是初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)?！镒⒁?/p>

分段函數(shù)：

有些函數(shù)，對(duì)于其定義域內(nèi)自變量不同的值，不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式表示，而要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？★問(wèn)題二、極限（一）極限的概念yxO

1、x→∞時(shí)函數(shù)的極限x→∞時(shí)函數(shù)的極限定義★說(shuō)明★說(shuō)明比如：對(duì)于函數(shù)，因?yàn)椋?，所以只有時(shí)的極限。對(duì)于函數(shù)，要求時(shí)的極限，需分別討論和的情況。ox從而yxO

2、x→x0時(shí)函數(shù)的極限x→x0時(shí)函數(shù)的極限定義★說(shuō)明yxO

★說(shuō)明也可以從函數(shù)的圖像上明確地看出該函數(shù)的極限不存在xy討論：求和的極限。結(jié)論：二者定義域不同，但是極限相等，都為2。所以，函數(shù)在無(wú)定義的點(diǎn)的極限值可能存在，要區(qū)別求極限與求函數(shù)值。結(jié)論1、函數(shù)在X0處有極限，并不代表函數(shù)在X0處有定義2、函數(shù)在X0處有極限，并不代表函數(shù)在X0處的函數(shù)值等于極限值。

例12討論函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解:(1)在x=0點(diǎn)處(2)在x=1點(diǎn)處

例12討論函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導(dǎo)性(3)在點(diǎn)x=2處

例12討論函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導(dǎo)性X-12xX2+1X/2+1xy12-1

例12討論函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導(dǎo)性（二）極限的四則運(yùn)算★說(shuō)明例7

求解：例8

求

時(shí)解：因?yàn)榉帜傅臉O限為零，所以不能直接用定理1.1的結(jié)論。注意到分子分母都有公因式，可以約去這個(gè)不為零的公因式，而所以例9

求即極限都不存在，因此，不能直接用定理1.1的結(jié)論。將分子分母都除以解：當(dāng)，得時(shí)，分子分母都趨近于無(wú)窮大，例10

求

，得解：將分之分母同除以因?yàn)樗?/p>

例11

求

解：

當(dāng)時(shí)，、的極限都不存在，所以不能直接用定理1.1來(lái)求解。將被求極限的函數(shù)作恒等變形：解：分段函數(shù)分段點(diǎn)左、右的函數(shù)解析表達(dá)式不同，因此在求分段函數(shù)分段點(diǎn)極限的時(shí)候一定要考慮其左、右極限。

例12

設(shè)為常數(shù))，求(的值，使存在。（三）兩個(gè)重要極限（1）（2）或其中是一個(gè)無(wú)理數(shù)。例13求(為非零常數(shù))。例14

求

解：

例15

求

為不為零的常數(shù))。例16

求(

例17

求

解：

（四）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1、定義★注意討論：對(duì)比無(wú)窮小量與無(wú)窮小的量，二者是一個(gè)概念嗎？結(jié)論：無(wú)窮小量是絕對(duì)值可以任意小的量；而無(wú)窮小的量是其值可以任意小，但實(shí)際上是絕對(duì)值可以任意大的負(fù)值，比如：當(dāng)時(shí)就是可以任意小的一個(gè)負(fù)值。2、相關(guān)定理★說(shuō)明★說(shuō)明3、無(wú)窮小的比較與階無(wú)窮小的比較與階三、函數(shù)的連續(xù)性微積分學(xué)所研究的函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)。我們現(xiàn)在要研究的就是用極限來(lái)描述函數(shù)連續(xù)的定義。當(dāng)我們把函數(shù)y=f(x)用它的圖像來(lái)表示時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有的函數(shù)曲線的大部分是連續(xù)不斷的，只是在某些地方是斷開的。例如：-110yx函數(shù)在x=0是斷開的，在[-1，1]的其它地方是連續(xù)不斷的。因此，我們可以認(rèn)為，如果一個(gè)函數(shù)的圖像在某一區(qū)間上是連續(xù)不斷的，那么就稱這個(gè)函數(shù)在這一區(qū)間上是連續(xù)的。為了精確地描述函數(shù)連續(xù)的概念，先引進(jìn)函數(shù)增量的概念。又如：在實(shí)數(shù)域內(nèi)都是連續(xù)不斷的。1、函數(shù)的增量★說(shuō)明（一）函數(shù)的連續(xù)性2、函數(shù)連續(xù)性的概念因?yàn)榭偝闪?，因此有：上式表明：連續(xù)函數(shù)求極限時(shí)，極限符號(hào)可以和函數(shù)符號(hào)交換次序。

（式3）

（式1）

（式2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)（）右端點(diǎn)左連續(xù)（），則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。幾何意義：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)為一條沒(méi)有任何間斷的曲線。（三）函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)包括三種情況：以上兩種情況稱為可去間斷點(diǎn)(令