矩形的性質(zhì)解答download

菁優(yōu)網(wǎng) ?2010-2015 說(shuō)明：試題左側(cè)二維碼為該題目對(duì)應(yīng)解析；請(qǐng)同學(xué)們?cè)讵?dú)立解答無(wú)法完成題目后再掃描二維碼查看解析，杜絕抄襲；查看解析還是無(wú)法掌握題目的，可按下方“向老師求助”按鈕；組卷老師可在試卷下載頁(yè)面查看學(xué)生掃描二維碼查看解析情況統(tǒng)計(jì)，了解班級(jí)整體學(xué)習(xí)情況，確定講解重點(diǎn)；公測(cè)期間二維碼查看解析免扣優(yōu)點(diǎn)，對(duì)試卷的使用方面的意見(jiàn)和建議，歡迎通過(guò)“意見(jiàn)反饋”告之。

【考點(diǎn)訓(xùn)練】矩形的性質(zhì)-4一、解答題（共30小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）1．如圖，矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，△ABO與△ADO的周長(zhǎng)的差為2cm，和為34cm，兩對(duì)角線長(zhǎng)的和為20cm，求矩形的周長(zhǎng)和面積．2．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接PC，設(shè)BP=x，相應(yīng)的△PBC的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．3．如圖，在矩形ADBC中，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離．4．已知矩形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為2cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)夾角為60°，求矩形的各邊長(zhǎng)．5．如圖，一塊長(zhǎng)方形菜地屬于小王、小李、小趙和小孫家，已知前三家菜地面積依次為0.8畝、0.4畝、1.2畝，你能根據(jù)所提供的信息求出小孫家的菜地面積嗎？6．如圖，在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MA⊥MD，垂足為M，矩形的面積為128cm2，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．7．矩形對(duì)角線組成的對(duì)頂角中，有一組是兩個(gè)50°的角，對(duì)角線和各邊組成的角是多少度？8．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上方，△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，求△PAC的面積．9．如圖，E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則cos∠EAC的值為多少？10．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，OF=2，過(guò)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE：BD=1：4，求AC的長(zhǎng)．11．如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為30，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若△DOC的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少3，求矩形ABCD的面積．12．如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，其中AB=10，AE=8，ED=4，且F是線段BE的中點(diǎn)，G是線段FC的中點(diǎn)，求△DFG的面積．13．如圖，矩形AOBC中，AO=4，OB=6，且∠XOB=60°，求直線AB的解析式．14．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)P在BC下方，△PBC的面積為2，△PCD的面積為5，求△PAC的面積．15．點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)O任作直線l，并過(guò)點(diǎn)B作BE⊥直線l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥直線l于點(diǎn)F．求證：BE=DF．16．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形EFGC為全等的矩形，B、C、E在一條直線上，試判斷△ACF的形狀．17．矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，若∠1=∠2=∠3=∠4．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；（2）若AB=6，BC=8，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)．18．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，求△PAC的面積．19．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC中點(diǎn)，求證：EA⊥ED．20．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BC于點(diǎn)F，若AB=2cm，BC=4cm，求四邊形AECF的面積．21．在矩形ABCD中，PA=4，PB=5，PC=6，求PD的長(zhǎng)度．22．如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OF⊥AD于點(diǎn)F，OF=3cm，AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE：ED=1：3，求AC的長(zhǎng)．23．已知在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，ED=5，EC=3，求證矩形的周長(zhǎng)及對(duì)角線的長(zhǎng)．24．如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE=2∠BAE，求證：DE=3BE．25．矩形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AB、CD與y軸的交點(diǎn)分別為E、F，點(diǎn)O是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=8，BC=6．求矩形頂點(diǎn)A，B，C，D和E，F(xiàn)的坐標(biāo)．26．如圖，AB是半圓O的直徑，矩形EJOM、KOGF、HOQD的頂點(diǎn)E、F、D均在圓上，比較JM、KG、HQ的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．27．如圖所示，直線EF過(guò)長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)稱中心，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若BE=2CE，求證：BF=EF．28．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA、OB的中點(diǎn)．（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的長(zhǎng)．29．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8cm，BC=15cm，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，BD、AE、AF把長(zhǎng)方形分成了六塊，陰影部分總面積是多少？30．如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，DE⊥AE，求證：AD=2AB．

【考點(diǎn)訓(xùn)練】矩形的性質(zhì)-4參考答案與試題解析一、解答題（共30小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）1．如圖，矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，△ABO與△ADO的周長(zhǎng)的差為2cm，和為34cm，兩對(duì)角線長(zhǎng)的和為20cm，求矩形的周長(zhǎng)和面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)條件：△ABO與△ADO的周長(zhǎng)的差為2cm，可得AB﹣AD=2cm，和為34cm可得AB+AD+BO+DO+2AO=34，又因?yàn)閮蓪?duì)角線長(zhǎng)的和為20cm，所以AD和AB長(zhǎng)可求，進(jìn)而求矩形的周長(zhǎng)和面積．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=DO=BO，∵△ABO與△ADO的周長(zhǎng)的差為2cm，∴AB﹣AD=2cm，∵和為34cm，∴AB+AD+BO+DO+2AO=34，∵兩對(duì)角線長(zhǎng)的和為20cm，∴AB+AD=14，∴AB=8cm，AD=6cm，∴矩形的周長(zhǎng)=（6+8）×2=28cm，面積=6×8=48cm2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等以及面積公式和周長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)性題目．2．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接PC，設(shè)BP=x，相應(yīng)的△PBC的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式求出△BCD底邊BD的高h(yuǎn)，進(jìn)而求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，∴BD==10，∴△BCD底邊BD的高h(yuǎn)==，∵BP=x，相應(yīng)的△PBC的面積為S，∴S=×x=x（0＜x＜10）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出△BCD底邊BD的高，此題難度一般，是中考的?？荚囶}．3．如圖，在矩形ADBC中，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．分析：取AC的中點(diǎn)E，連接OE、BE、OB，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)，兩者相加即可得解．解答：解：如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接OE、BE、OB，∵OB＜OE+BE，∴當(dāng)O、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離最大，∵AC=4，BC=2，∴OE=AE=AC=2，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==2，即點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是OE+BE=2+2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)O、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離最大是解題的關(guān)鍵．4．已知矩形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為2cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)夾角為60°，求矩形的各邊長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，AC=BD=2cm，AO=OC=1cm，OB=OD=1cm，得出等邊三角形AOB，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出AD和CD．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，AC=BD=2cm，AO=OC=AC=1cm，OB=OD=BD=1cm，∴AO=OB=1cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=4cm=CD，∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==（cm），∴AD=cm，點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．5．如圖，一塊長(zhǎng)方形菜地屬于小王、小李、小趙和小孫家，已知前三家菜地面積依次為0.8畝、0.4畝、1.2畝，你能根據(jù)所提供的信息求出小孫家的菜地面積嗎？考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：此題可以借助方程來(lái)解決問(wèn)題：如圖，設(shè)BG=a，BF=b．則由矩形的面積公式易求AG=2a，AE=b，所以KH=ED=b，所以小孫家的地面積為ab=×0.4．=0.6．解答：解：如圖，設(shè)BG=a，BF=b．所以ab=0.4．∵矩形AGKE的面積為0.8畝，∴AG?AE=AG?b=0.8，則AG=2a，∴EK=2a．又∵矩形EKHD的面積為1.2畝，∴EK?KH=1.2，即2a?KH=1.2，∴2a?KH=3ab，∴KH=b，∴矩形KFCH的面積為a?b=×0.4=0.6（畝）．答：小孫家的菜地面積為0.6畝．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的面積．此題主要根據(jù)矩形的面積公式來(lái)求相關(guān)線段的長(zhǎng)度的．6．如圖，在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MA⊥MD，垂足為M，矩形的面積為128cm2，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：易證△ABM≌△DCM，所以AM=DM，所以∠MAD=∠MDC=45°，利用矩形的性質(zhì)可知AB=BM，所以AB=BC，再根據(jù)矩形的面積即可求出AB和BC長(zhǎng)，進(jìn)而求矩形ABCD的周長(zhǎng)．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=CM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴AM=DM，∵M(jìn)A⊥MD，∴∠MAD=∠MDC=45°，∴AB=BM=BC，∵矩形的面積為128cm2，∴AB?2AB=128，∴AB=8，∴BC=16，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（8+16）=48．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)和矩形面積公式的運(yùn)用，題目難度不大．7．矩形對(duì)角線組成的對(duì)頂角中，有一組是兩個(gè)50°的角，對(duì)角線和各邊組成的角是多少度？考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：因?yàn)樗倪呅螢橐粋€(gè)矩形，所以兩條對(duì)角線相等．因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，所以的對(duì)角線相等，此三角形為等腰三角形，即對(duì)角線與寬形成的角相等．因?yàn)轫斀菫?0°，所以這兩個(gè)角度數(shù)為（180﹣50）=65°，則另兩角度數(shù)為90﹣65=25°．解答：解：如圖，若∠AOB=50°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=CO，∴△AOB為等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OBA=180°﹣50°，∴∠OAB=∠OBA=65°，∴∠DAC∠ACB=90°﹣65°=25°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分以及等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，題目比較簡(jiǎn)單．8．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上方，△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，求△PAC的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：過(guò)點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式求出△PBC的面積，求出△PAC和△PCD的面積和，即可得出S△PBC=S△PAC+S△PCD，代入求出即可．解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，∵S△PBC=BC?PE+BC?EF=AD?PE+BC?EF=S△PAD+S矩形ABCD∵S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD，∵△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，∴△PAC的面積為5﹣2=3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和三角形面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出出S△PBC=S△PAC+S△PCD．9．如圖，E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則cos∠EAC的值為多少？考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：利用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)N作NE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB=3，BC=4，E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，∴BE=EC=2，AC=5，∴AE==，∵NE∥AB，∴△CEN∽△CBA，∴==，∴NE=，∵EF⊥AE，∴∠BEA+∠CEF=90°，∵∠CFE+∠CEF=90°，∴∠CFE=∠AEB，又∵∠B=∠ECF，∴△ABE∽△ECF，∴=，∴=，∴FC=，∵NE∥FC，∴△MNE∽△MFC，∴===，∴設(shè)MN=9x，則MC=8x，∴9x+8x=，解得：x=，∴MN=×9=，∴AM=+=，∴cos∠EAC===．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出MN的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．10．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，OF=2，過(guò)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE：BD=1：4，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得OA=OB，根據(jù)比例設(shè)BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，從而判斷出△ABO是等邊三角形，然后判斷出OE是△AOD的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出AB，再求解即可．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB，∵BE：BD=1：4，∴設(shè)BE=x，則BD=4x，∴OE=4x﹣2x﹣x=x，∴BE=OE，又∵AE⊥BD，∴△ABO是等邊三角形，∴OA=AB，∵OF⊥AD，OF=2，∴OF是△ABD的中位線，∴AB=2OF=2×2=4，∴AC=2OA=2AB=2×4=8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出△ABO是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為30，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，若△DOC的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少3，求矩形ABCD的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：由矩形的性質(zhì)和條件若△DOC的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少3，可知BC﹣DC=3，再根據(jù)條件矩形ABCD的周長(zhǎng)為30，可得CD+BC=15，進(jìn)而求出AD和BC的長(zhǎng)，利用矩形的面積公式即可求出矩形ABCD的面積．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO，∵△DOC的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少3，∴BC﹣CD=3，∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為30，∴CD+BC=15，∴BC=9，C=6，∴矩形ABCD的面積=9×6=54．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分以及矩形面積公式的運(yùn)用，題目難度不大．12．如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，其中AB=10，AE=8，ED=4，且F是線段BE的中點(diǎn)，G是線段FC的中點(diǎn)，求△DFG的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：欲求△DFG的面積，由G是FC的中點(diǎn)，可以得到S△DFG=S△DFC，由F是BE的中點(diǎn)，AB=10．AE=6．ED=2可以求得相應(yīng)的△DEF，△DGC，△BCF的面積，繼而求得答案．解答：解：如圖，在矩形ABCD中，∠A=90°．過(guò)F作FH垂直AD于H．∵F是BE的中點(diǎn)，∴BF=FE，F(xiàn)H∥AB，所以FH=FM，∵AB=10，AE=8，∴S△ABE=AE?AB=×8×10=40，S△BCF=，△DFH的面積=，△DFC的面積是80﹣30﹣20﹣5=25，G是FC的中點(diǎn)，△DFG的面積是△DFC的面積的一半，△DFG的面積是12.5；答選：D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，高一定時(shí)、三角形的面積與底成正比例的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是利用輔助線進(jìn)行等積變形．13．如圖，矩形AOBC中，AO=4，OB=6，且∠XOB=60°，求直線AB的解析式．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∵矩形AOBC中，AO=4，OB=6，且∠XOB=60°，∴∠AOE=30°，∴在Rt△AEO中AE==2，EO==2，∴A（﹣2，2），在Rt△BOF中FO=BO=3，BF==3，∴B（3，3），∴設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b∴，解得：，∴直線AB的解析式為：y=x+16﹣24．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及矩形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)P在BC下方，△PBC的面積為2，△PCD的面積為5，求△PAC的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：過(guò)點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式求出△PAD的面積﹣△PBC的面積差，求出△PAD的面積等于S△PAD﹣S△PBC﹣S△PCD，即可得出S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，代入求出即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)P作PF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，∵S△PAD﹣S△PBC=AD×PE﹣BC×PF=AD×EF=S矩形ABCD=S△ABC，∴S△PAD=S△PAB+S△PAC，∵S△PAB=S矩形ABCD+S△PBC﹣S△PAD﹣S△PCD=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD﹣S△PCD=S矩形ABCD﹣S△PCD=S△PAD﹣S△PBC﹣S△PCD，∴S△PAD=S△PAD﹣S△PBC﹣S△PCD+S△PAC，∴S△PAC=S△PBC+S△PCD，∵△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，∴△PAC的面積為5+2=5．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和三角形面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出出S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．此題比較好，但是有一定的難度．15．點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)O任作直線l，并過(guò)點(diǎn)B作BE⊥直線l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥直線l于點(diǎn)F．求證：BE=DF．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：連接BD，則BO=DO，根據(jù)AAS推出△DFO≌△BEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．解答：證明：連接BD，∵O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴BD過(guò)O，BO=DO，∵BE⊥直線l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥直線l于F，∴∠DFO=∠BEO=90°，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（AAS），∴BE=DF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂直定義，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，此題是一道中等題目，主要考查了學(xué)生的推理能力．16．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形EFGC為全等的矩形，B、C、E在一條直線上，試判斷△ACF的形狀．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：根據(jù)四邊形ABCD，EFGC為全等的矩形，得到AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，即可得到△ABC≌△CEF，根據(jù)全等的性質(zhì)得到∠ACB=∠CFE，AC=CF，再根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠ACF=90°，于是判斷出△ACF的形狀．解答：解：△ACF是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD，EFGC為全等的矩形，∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，∴△ABC≌△CEF，∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，∵點(diǎn)B、C、E共線，∴∠ABC+∠ACF+∠FCE=180°，∴∠ACF=180°﹣（∠ECF+∠EFC）=90°，∴△ACF是等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定，此題難度不大．17．矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，若∠1=∠2=∠3=∠4．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；（2）若AB=6，BC=8，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．分析：（1）先求出∠HEF=∠FGH，再求出∠EFG=∠EHG，然后判定四邊形EFGH是平行四邊形；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得EF=HG，F(xiàn)G=EH，然后得到△BEF和△DGH全等，△AEH和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HD=BF，BE=DG，再根據(jù)△AEH和△BEF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出其比值，設(shè)AE、AH分別為6k、8k，根據(jù)勾股定理求出EH，再表示出BE、BF，根據(jù)勾股定理表示出EF，然后EF+EH正好消掉k，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．解答：（1）證明：∵∠1=∠2=∠3=∠4，∴∠HEF=180°﹣∠3﹣∠4，∠FGH=180°﹣∠1﹣∠2，∴∠HEF=∠FGH，又∵∠EFG=180°﹣（90°﹣∠4）﹣（90°﹣∠2）=∠2+∠4，∠EHG=180°﹣（90°﹣∠3）﹣（90°﹣∠1）=∠1+∠2，∴∠EFG=∠EHG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，∴HD=BF，BE=DG，∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，∴△AEH∽△BEF，∴，即，整理得，=設(shè)AE、AH分別為6k、8k，在Rt△AEH中，EH=10k，在Rt△BEF中，EF=10（1﹣k），∴EF+EH=10（1﹣k）+10k=10，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（EF+EH）=2×10=20．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．18．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知△PBC的面積為5，△PCD的面積為2，求△PAC的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：首先證明出S△APD+S△BPC=S△ABP+S△CPD=S矩形ABCD，然后得到S△PAB=S矩形ABCD﹣S△PCD=S矩形ABCD﹣2，最后得到S△PAC=S△ABP+S△BPC﹣S△ABC=S△ABP+S△BPC﹣S矩形ABCD，于是即可求出△PAC的面積．解答：解：∵S△APD+S△BPC=S矩形ABCD，S△ABP+S△CPD=S矩形ABCD，∴S△APD+S△BPC=S△ABP+S△CPD=S矩形ABCD，∴S△PAB=S矩形ABCD﹣S△PCD=S矩形ABCD﹣2，∴S△PAC=S△ABP+S△BPC﹣S△ABC=S△ABP+S△BPC﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD﹣2+5﹣S矩形ABCD=3．故△PAC的面積為3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是用S△PAC=S△ABP+S△BPC﹣S△ABC=S△ABP+S△BPC﹣S矩形ABCD，此題有一定的難度．19．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC中點(diǎn)，求證：EA⊥ED．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：首先證明AB=BE，DC=EC，進(jìn)而證明∠AEB=∠DEC=45°，問(wèn)題即可解決．解答：解：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且BC=2AB，∴AB=BE，DC=EC；又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=180°﹣45°﹣45°=90°，即AE⊥DE．點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷或解答．20．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BC于點(diǎn)F，若AB=2cm，BC=4cm，求四邊形AECF的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：如圖，連接AF、EC．由矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則由直角三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．解答：解：如圖，連接AF、EC．∵四邊形ABCD是矩形，且點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴AD∥BC，AB⊥BC，DC⊥BC，點(diǎn)O是AC或BD的中點(diǎn)，又∵過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BC于點(diǎn)F，∴EF∥AB∥CD，∴點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB=2cm，BC=4cm，∴S四邊形AECF=AE?EF=BC?AB=×4×2=4（cm2）即四邊形AECF的面積是4cm2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，主要分兩步進(jìn)行，先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后利用矩形的性質(zhì)求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度并代入平行四邊形的面積公式進(jìn)行解答即可．21．在矩形ABCD中，PA=4，PB=5，PC=6，求PD的長(zhǎng)度．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；勾股定理．分析：作輔助線：過(guò)點(diǎn)P作EF⊥AD交AD于點(diǎn)E，BC于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB交AB于點(diǎn)G，CD于點(diǎn)H，可得PA2+PC2=EA2+EP2+CH2+HP2=BF2+EP2+PF2+DE2=PB2+PD2．解答：證明：過(guò)點(diǎn)P作EF⊥AD交AD于點(diǎn)E，BC于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB交AB于點(diǎn)G，CD于點(diǎn)H，則EA=BF，CH=PF，HP=DE，∴PA2+PC2=EA2+EP2+CH2+HP2=BF2+EP2+PF2+DE2=PB2+PD2，所以PA2+PC2=PB2+PD2，∵PA=4，PB=5，PC=6，∴PD=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)和勾股定理在解題中的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出PA2+PC2=PB2+PD2．22．如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OF⊥AD于點(diǎn)F，OF=3cm，AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE：ED=1：3，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OB，再求出E是OD的中點(diǎn)，然后判斷出△OCD是等邊三角形；再根據(jù)矩形的軸對(duì)稱性得到CD=2OF，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．解答：解：由矩形的性質(zhì)可知OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴E是OD的中點(diǎn)．又∵CE⊥OD，∴OC=CD，∴OC=CD=OD，由矩形是軸對(duì)稱圖形得CD=2OF=6cm，所以，AC=2OC=2CD=12cm．即AC=12cm．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)，矩形的軸對(duì)稱性．23．已知在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，ED=5，EC=3，求證矩形的周長(zhǎng)及對(duì)角線的長(zhǎng)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：如圖，根據(jù)勾股定理求出DC=4；證明BE=AB=4，即可求出矩形的周長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理即可求出對(duì)角線BD的長(zhǎng)．解答：解：如圖，連接BD；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB=CD；AD∥BC；∵ED=5，EC=3，∴DC2=DE2﹣CE2=25﹣9，∴DC=4，AB=4；∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=4，矩形的周長(zhǎng)=2（4+3+4）=22．由勾股定理得：BD2=42+72，∴BD=．即矩形的周長(zhǎng)及對(duì)角線的長(zhǎng)分別為22、．點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．24．如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE=2∠BAE，求證：DE=3BE．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：如圖，先求出∠DAE=60°，∠ADE=30°，得到BD=2AB，進(jìn)而證明AB=2BE，即可解決問(wèn)題．解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，而∠DAE=2∠BAE，∴∠BAE=30°，∠DAE=60°；∴∠DAE=60°，∠ADE=30°，∴BD=2AB；而AE⊥BD，∴AB=2BE，BD=4BE，∴DE=3BE．點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、推理或解答．25．矩形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AB、CD與y軸的交點(diǎn)分別為E、F，點(diǎn)O是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=8，BC=6．求矩形頂點(diǎn)A，B，C，D和E，F(xiàn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．分析：根據(jù)O是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)且對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的中心所以O(shè)是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，且為EF的中點(diǎn)AB=8，BC=6勾股定理可得AC=10由于O是中點(diǎn)，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別得出各點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：∵AB=8，BC=6∴AC=10，由于O是中點(diǎn)所以A（5，0），C（﹣5，0）∵∠EAO=∠BAC，∠AOE=∠ABC，∴△AOE∽△ABC∴=，∴=，∴OE=，所以O(shè)F=，E（0，），F(xiàn)（0，﹣）過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，∵∠GCD=∠ACD，∠CGD=∠CDA，∴△CDG∽△ACD∴=∴=，解得：DG=，同理可得：△ADG∽△ACD=，=，解得：AG=，所以O(shè)G=5﹣=，所以點(diǎn)D（，﹣）B和D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B（﹣，）所以A（5，0），B（﹣，），C（﹣5，0），D（，﹣），E（0，），F(xiàn)（0，﹣）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出DG，AG的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．26．如圖，AB是半圓O的直徑，矩形EJOM、KOGF、HOQD的頂點(diǎn)E、F、D均在圓上，比較JM、KG、HQ的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；圓的認(rèn)識(shí)．分析：連接OD、OE、OF，根據(jù)圓的半徑判斷出OD=OE=OF，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得JM=OE，KG=OF，HQ=OD，然后等量代換即可得解．解答：解：JM=KG=HQ．理由如下：如圖，連接OD、OE、OF，∵AB是半圓O的直徑，∴OD=OE=OF=OA，∵四邊形EJOM、KOGF、HOQD都是矩形，∴JM=OE，KG=OF，HQ=OD，∴JM=KG=HQ．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，圓的認(rèn)識(shí)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．如圖所示，直線EF過(guò)長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)稱中心，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若BE=2CE，求證：BF=EF．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．分析：如圖，作輔助線，證明△DOF≌△BOE，借助矩形的性質(zhì)證明AF=GF；進(jìn)而證明△ABF≌△GEF，問(wèn)題即可解決．解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G；連接BD，交EF于點(diǎn)O．則點(diǎn)O為長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)稱中心，四邊形ECDG為矩形，∴BO=DO，DG=EC；∵四邊形ABCD為矩形，∴DF∥BC，∴∠FDO=∠EBO，在△DOF與△BOE中，∵，∴△DOF≌△BOE，∴DF=BE=2CE，而DG=CE，∴DF=2DG，∴GF=DG；∵AD=BC=3EC=3DG，∴AF=