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文檔簡介
精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)前言從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說,形象思維是最早出現(xiàn)的,并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象,一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣,一個學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力,要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的:“只要有可能,數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?!币虼?,隨著計算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展,在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時,也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機(jī)輔助教學(xué),改善人們的認(rèn)知環(huán)境變得越來越受到重視。從國外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》,以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點,以及其強大的圖形和圖像功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好,并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。那么,《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢?一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念,它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分。同時,函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫,這又決定了它是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說:“數(shù)缺形少直觀,形缺數(shù)難入微?!焙瘮?shù)的兩種表達(dá)方式——解析式和圖象之間常常需要對照(如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等)。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題,在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖,但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端。而應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端,大大提高課堂效率,進(jìn)而起到事半功倍的效果。二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì),它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ),直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形,從平面觀念過渡到立體觀念,無疑是認(rèn)識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時,大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力,主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的,而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照,平面上繪出的立體圖形受其視角的影響,難于綜觀全局,其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線;正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來,學(xué)生不得不根據(jù)歪曲的圖形去想象真實情況,這便給學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動起來,就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖,使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣,不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識,還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,它研究的主要問題,即它的基本思想和基本方法是:根據(jù)已知條件,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,求出表示平面曲線的方程,把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究;再通過方程,研究平面曲線的性質(zhì),把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化,導(dǎo)致點、線按不同的方式作運動,曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象,學(xué)生不易理解,顯而易見,展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣,《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程(普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程)的曲線;能對動態(tài)的對象進(jìn)行“追蹤”,并顯示該對象的“軌跡”;能通過拖動某一對象(如點、線)觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。綜上所述,使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,通過具體的感性的信息呈現(xiàn),能給學(xué)生留下更為深刻的印象,使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它,而是能夠更有實感的去把握它。這樣,既能激發(fā)學(xué)生的情感,培養(yǎng)學(xué)生的興趣,從而大大提高課堂效率,提高學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的積極性。編者
目錄第一課畫板的世界------------------------------------------------------------------------------1第二課幾何關(guān)系與常見圖形------------------------------------------------------------------8第三課簡單的數(shù)學(xué)實驗(一)----------------------------------------------------------------17第四課簡單的數(shù)學(xué)實驗(二)----------------------------------------------------------------22第五課正多邊形中的圖案設(shè)計--------------------------------------------------------------31第六課錯覺圖-----------------------------------------------------------------------------------39第七課探索三角形全等的條件-------------------------------------------------------------47第八課神奇的π--------------------------------------------------------------------------------54第九課用參數(shù)控制系數(shù)-----------------------------------------------------------------------59第十課分段函數(shù)的圖像----------------------------------------------------------------------61第十一課點的軌跡的構(gòu)造-------------------------------------------------------------------63第十二課迭代與深度迭代-------------------------------------------------------------------68第十三課構(gòu)造法作函數(shù)圖像----------------------------------------------------------------71第十四課作函數(shù)圖像的切線----------------------------------------------------------------74第十五課作函數(shù)的反函數(shù)圖像-------------------------------------------------------------76第十六課橢圓的幾何構(gòu)造―定長橢圓的構(gòu)造-------------------------------------------78第十七課圖形圖像的轉(zhuǎn)動-------------------------------------------------------------------82第十八課圓錐曲線及其相關(guān)圖形的構(gòu)造-------------------------------------------------87第十九課橢圓的幾何構(gòu)造―圓錐曲線的平行弦----------------------------------------92第二十課橢圓的幾何構(gòu)造―圓錐曲線和直線的交點----------------------------------94第二十一課橢圓的幾何構(gòu)造―圓錐曲線的切線----------------------------------------99第二十二課截面的作法---------------------------------------------------------------------103
《幾何畫板》——帶你進(jìn)入奇妙的數(shù)學(xué)世界信息技術(shù)越來越多地影響我們的生活和學(xué)習(xí),同學(xué)們也將從“學(xué)習(xí)計算機(jī)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝嬎銠C(jī)學(xué)習(xí)”,即利用計算機(jī)進(jìn)行更有效地學(xué)習(xí)、探索和創(chuàng)新?!稁缀萎嫲濉肥墙逃炕A(chǔ)教育司向全國中小學(xué)數(shù)學(xué)教師推薦的教學(xué)輔助軟件,它具有能夠準(zhǔn)確地繪制幾何圖形、在運動中保持給定的幾何關(guān)系、使用簡便、易于學(xué)習(xí)及占用內(nèi)存小、運行速度快等諸多優(yōu)點。它操作簡單、功能強大,教師可用其在最短的時間內(nèi)制作出符合教學(xué)需要的課件,學(xué)生則可以利用《幾何畫板》進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)?!稁缀萎嫲濉肥且粋€優(yōu)秀的教育軟件,非常適合用于探索符合數(shù)學(xué)關(guān)系的問題?!稁缀萎嫲濉沸蜗笾庇^、操作簡單、功能強大,能真實地體現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系,是教師課堂教學(xué)和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的好工具。通過本單元的學(xué)習(xí),相信同學(xué)們一定能感受到探索和發(fā)現(xiàn)的樂趣,并讓自己的信息技術(shù)應(yīng)用提高到一個新的層次。本單元以《幾何畫板》4.04漢化版作為學(xué)習(xí)平臺,在其他版本上有所不同。第一課畫板的世界學(xué)習(xí)目標(biāo):1、認(rèn)識幾何畫板;2、熟悉幾何畫板的基本操作。幾何畫板的界面與大多數(shù)軟件類似,所不同的是,幾何畫板中對象之間通常都是通過某種數(shù)學(xué)關(guān)系相互聯(lián)系的,在作圖時,更要注意圖形的數(shù)學(xué)性質(zhì)。一、界面與其它常用軟件一樣,幾何畫板也有菜單欄、狀態(tài)欄和工作區(qū)等,只是在窗口的左邊有幾何畫板獨有的作圖工具,如圖1-1所示。圖1-1二、基本操作(一)畫點A、B操作步驟:1、單擊選擇【點工具】,在工作區(qū)不同位置單擊兩次,得兩點;2、單擊選擇【文本工具】,在畫好的兩個點上單擊,出現(xiàn)標(biāo)簽A、B,再次單擊又會隱藏(是不是有點象一個開關(guān)?)。文本工具可以給對象(點、線、圓等)標(biāo)注標(biāo)簽,默認(rèn)情況下點的標(biāo)簽從大寫字母A開始,其它對象也有默認(rèn)初值。文本工具的另一個功能是在工作區(qū)中建立文本輸入?yún)^(qū)(拖動鼠標(biāo)畫一個矩形,再松開鼠標(biāo)),方便加入文字說明。3、用【選擇工具】或【文本工具】雙擊標(biāo)簽,彈出如圖1-2所示的屬性對話框,可以修改標(biāo)簽。圖1-2(二)畫線段CD操作步驟:1、單擊【直尺工具】,壓住鼠標(biāo)不放,選擇【線段工具】(注意【直尺工具】中有三個選項);2、在工作區(qū)單擊確定一個端點,移動鼠標(biāo)到另一位置單擊,確定另一個端點;3、用【文本工具】單擊端點,可以給端點取名,用【文本工具】單擊線段,看一看出現(xiàn)了什么?以上所畫的圖如下:圖1-3幾何畫板中給線段取名完全遵循數(shù)學(xué)規(guī)范,可以用端點的兩個大寫字母,也可以用一個小寫字母(默認(rèn)情況從j開始),當(dāng)然也可以用上面介紹的方法改為其它的字母?!驹囈辉嚒?、用【線段工具】在點A上單擊,再移動到點B上單擊,看看得到了什么?對點B、C,點A、D做同樣的操作,最后會得到什么?2、直接用【線段工具】,畫一個三角形,三個端點分別取名為M、N、P。3、試選擇【射線工具】,畫一條射線。4、試選擇【直線工具】,畫一條直線。(三)對象的選擇、移位與釋放1、對象的選擇幾何畫板中使用【選擇工具】選定對象:圖1-4圖1-5圖1-6圖1-7選擇工具未感應(yīng)到對象時的狀態(tài)。選擇工具感應(yīng)到對象時,鼠標(biāo)成水平向左。單擊對象,即可選定。如圖選定了線段AB如需選擇多個對象,連續(xù)單擊即可。如圖選定了線段AB、點A、點B?!拘〖记伞浚?)同時選擇多個對象時,不需要按住Shift鍵單擊,這與其它軟件操作不同。(2)選擇多個對象的另一個方法是:選取【選擇工具】,在工作區(qū)的空白處按左鍵不放,移動鼠標(biāo),拉出一個矩形虛線框,框住想選的對象。(3)需要說明的是:幾何畫板中規(guī)定,“選定線段”時不包括端點,請比較圖1-6和圖1-7的區(qū)別?!驹囈辉嚒吭囘x擇你所畫圖形中的一個或多個對象。2、對象的移動用【選擇工具】在選定的對象上按左鍵不放,拖動選定的對象到新的位置。如果是小距離的移動,可以選定后用鍵盤上的方向箭頭移動。【小知識】如果你移動線段的端點,根據(jù)線段的數(shù)學(xué)定義,線段也會隨之改變。對于其它對象的控制也類似。畫出的圖若不滿意,可以用選擇工具進(jìn)行調(diào)整。移動某些選定的對象時,未選定的其它相關(guān)對象也可能會同時移動。【試一試】選擇你所畫的一些對象(例如點、線段),移動它們的位置。3、對象的釋放 當(dāng)我們進(jìn)行某種操作時(例如:過直線外一點畫已知直線的平行線),必須確保選定了符合要求的一個或幾個對象。多選會使菜單命令失效(灰色狀態(tài)),從而操作失敗。一個常用的技巧是,當(dāng)你要選擇一些特定的對象時,先在工作區(qū)空白處單擊,釋放所有選定的對象后,再根據(jù)需要進(jìn)行選取。釋放已選定的部分對象:用【選擇工具】在該對象上單擊;釋放已選定的所有對象:用【選擇工具】在工作區(qū)的空白處單擊?!舅伎寂c練習(xí)】1、在工作區(qū)中畫兩點A、B,用【選擇工具】選定這兩點,進(jìn)入【構(gòu)造】菜單,可以用的命令如圖1-8所示:圖1-8(1)對選定的兩個點分別試用前三個命令(每次操作后,可以用Ctrl+Z撤消剛才的操作,再試用其它命令),看看能得到什么?如果你畫出了射線AB,你會畫射線BA嗎?(2)對于“以圓心和圓周上的點繪圖”,請按下面不同順序選兩點試用,看看有什么區(qū)別?①先A后B;②先B后A。2、用【圓規(guī)工具】在工作區(qū)內(nèi)畫一個圓(如圖1-9)。圖1-9用【選擇工具】分別拖動圓心、圓上的控制點、圓,看能改變些什么?3、畫出一個點和一條線段,再選定這個點和線段,由菜單【構(gòu)造】à【以圓心和半徑畫圓】,看看能得到什么?拖動線段的一個端點,看看哪些對象發(fā)生了變化?4、單擊【文本工具】,按住左鍵不放在工作區(qū)拖出一個文本輸入?yún)^(qū)域,在里面輸入一些中文?!鹃喿x材料】分頁顯示不同的內(nèi)容在本單元的學(xué)習(xí)中,我們將做大量的實例練習(xí),你可以把每一個實例練習(xí)保存為一個文件。這里我們介紹一個更方便的辦法,即使用幾何畫板中的“分頁”顯示功能。我們可以在單個的文件中開設(shè)多個工作區(qū),每個工作區(qū)中放置不同的內(nèi)容,所有的實例練習(xí)都放在同一個文件的不同工作區(qū)中,這與Excel文件中有多個工作表是類似的。操作步驟:1、由菜單【文件】à【文檔選項】,可以打開文檔選項對話框。圖1-102、選擇“增加頁”à“空白頁面”。圖1-11重復(fù)操作可以增加多頁,默認(rèn)的頁名稱是1、2、3……,這里我們先增加到3頁,以后可以根據(jù)需要再增加。3、選取某一頁后,在“頁名稱”下方的輸入框修改名稱,如圖1-12。請自己把“1”改為“實例一”,“3”改為“實例三圖1-124、移動鼠標(biāo)到頁名稱的列表中,按住鼠標(biāo)拖動可以調(diào)整頁的順序(如圖3-13所示)。圖1-135、你也可以從所有打開的幾何畫板文件中復(fù)制頁,只要在第2步時選“復(fù)制”即可。6、完成后在工作區(qū)左下方會顯示“頁標(biāo)簽”,單擊即可進(jìn)入該頁。圖1-147、保存好你的文件,今后的隨堂練習(xí)就可在里面增加新的頁來完成。
第二課幾何關(guān)系與常見圖形學(xué)習(xí)目標(biāo):1、了解根據(jù)幾何關(guān)系作圖的必要性;2、通過運用幾何關(guān)系作圖,感受幾何畫板動態(tài)地反映數(shù)學(xué)關(guān)系的特點;3、學(xué)會根據(jù)幾何關(guān)系作一些基本的圖形。同學(xué)們都知道,在“畫圖”或Word中要畫出符合一定要求的圖形(例如:畫一個直角或畫兩個一樣長的線段)是很難的,而這在幾何畫板中很容易做到。更重要的是,如果你在幾何畫板中依據(jù)了一定的幾何關(guān)系作圖,那么當(dāng)你改變了一些對象的位置時,其它對象會繼續(xù)保持這種關(guān)系,即動態(tài)地保持幾何關(guān)系。沒有根據(jù)垂直關(guān)系畫的圖形根據(jù)垂直關(guān)系畫的圖形圖2-1只憑眼睛觀察,這是一個直角。圖2-2此圖看起來也只是一個直角,與圖2-1相比似乎沒有什么特別之處。圖2-3用【選擇工具】拖動改變點C的位置,看看還是直角嗎?圖2-4用【選擇工具】拖動改變點F的位置,線段DE會自動調(diào)整,保持∠DEF=900.在以后的學(xué)習(xí)中,一定要根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系來作圖,而不能畫那種“看上去”符合要求的圖形。為了保證這一點,我們將使用【構(gòu)造】和【變換】來作圖。一、平行四邊形本例學(xué)習(xí)如何畫一個符合數(shù)學(xué)關(guān)系的平行四邊形。操作步驟:先在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“平行四邊形”。1、用【線段工具】畫出兩邊,如圖2-5所示。圖2-52、用【選擇工具】順序地選取了B、C兩點(先單擊B,后單擊C)。3、選擇菜單【變換】à【標(biāo)記向量】,可以標(biāo)記從B到C的一個向量?!拘≈R】向量是一個同時考慮了方向和大小(大小在這里可理解為距離)的量,當(dāng)我們標(biāo)記了向量,就可以把選取的對象按同樣的方向、同樣的距離進(jìn)行移動。如果我們改變了B、C的位置,按這個向量移動的所有對象都會相應(yīng)的改變。4、用【選擇工具】選取點A、線段AB(不用選點B),由菜單【變換】à【平移】,在彈出的對話框中作如圖2-6的設(shè)置。圖2-65、畫最后一條線段后圍成平行四邊形(如圖2-7所示)。圖2-7其中點由點A變換而來(也可以改為別的字母,比如說D)。【試一試】用【選擇工具】拖動平行四邊形的頂點,看看能否保持平行關(guān)系?!鞠胍幌搿慨嬈叫兴倪呅芜€有別的方法嗎?二、畫一個直角直角是幾何中常用的基本圖形,幾何畫板沒有提供直接畫直角的方法,但我們可以用幾個基本的操作來畫出直角。(一)兩邊長度不等操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“直角”。1、畫線段AB。2、選取點A和線段AB,如圖2-8所示。圖2-83、選擇菜單【構(gòu)造】à【垂線】,結(jié)果如圖2-9所示。圖2-9如果你改變點A或B的位置,比如讓線段AB傾斜一些,這條垂線會自動調(diào)整到與線段AB垂直的位置。4、用【點工具】在垂線上畫一點,如圖2-10所示。圖2-10?!拘≈R】這里畫的點是垂線上的一點,用【選擇工具】也不能把它拖到垂線的外面,這時,我們稱垂線是該點的“父對象”,該點是垂線的“子對象”。類似地,線段AB的端點A、B確定了線段,這時點A、B是線段AB的“父對象”,線段AB是點A、B的“子對象”。5、選取垂線AC(不包括點A、C),由菜單【顯示】à【隱藏垂線】,隱藏垂線AC,再連結(jié)線段AC,如圖2-11所示。圖2-11注意這里是“隱藏”垂線,而不是按Delete鍵刪去它。因為垂線是點C的父對象,如果父對象不存在了,子對象點C也會被刪去。隱藏對象的技巧今后會經(jīng)常使用?!驹囈辉嚒扛淖兏鼽c的位置試試,看看能否保持直角。(二)兩邊長度相等在圖2-11中,若線段AC、AB的長度必須一樣長(這是畫正方形的基礎(chǔ)),那么該怎么畫呢?下面介紹畫法:1、畫線段AB。2、用【選擇工具】雙擊點A,這樣可以標(biāo)記點A為中心(作為旋轉(zhuǎn)或縮放的中心)。3、選取線段AB、點B(不用選取點A),選擇菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,設(shè)置如圖2-12所示。圖2-12【試一試】改變圖2-12中點的位置,看看兩條線段是不是保持一樣長?直角會改變嗎?【思考與練習(xí)】1、通過上面的學(xué)習(xí),你會畫一個直角三角形嗎?2、矩形是有一個角為直角的平行四邊形。在圖2-11的基礎(chǔ)上,你能結(jié)合平行四邊形的畫法畫一個矩形嗎?3、在圖2-12的基礎(chǔ)上,你能畫一個等腰直角三角形嗎?你能結(jié)合平行四邊形的畫法畫一個正方形嗎?請試一試。4、畫這些基本圖形的方法不只一種,你能結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識試一試其它畫法嗎?把你的發(fā)現(xiàn)與同學(xué)們分享。三、等腰三角形我們知道,“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”,“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”,應(yīng)用這些知識就可以畫一個等腰三角形。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“等腰三角形”。1、畫一條線段AB。2、選取線段AB(注意:不包括點A、B)。3、選擇菜單【構(gòu)造】à【中點】,得到線段AB的中點,如圖2-13所示。圖2-13如果改變線段AB的長度或位置,所得的點始終是線段AB的中點,想一想為什么?。4、選取線段AB及中點,由菜單【構(gòu)造】à【垂線】,得到過中點且與線段AB垂直的直線(如圖2-14所示),還記得這是什么線吧?圖2-14【小技巧】如果你得到的不只是中垂線,比如還有過點A(或B)的垂線,那是因為第4步時多選了點A(或B),再次提醒,幾何畫板中,選取某一對象時,不包括上面的點。5、在中垂線上畫一個點,命名為C,畫線段AC、BC,隱藏垂線和底邊上的中點,最后得到圖2-15。圖2-15【試一試】拖動每個頂點試一試,看看是否能保持等腰三角形?【思考與練習(xí)】1、試試以下操作:(1)在圖2-15中,雙擊線段AB,看到一段小動畫,可以把線段AB標(biāo)記為鏡面(即對稱軸)。(2)選取點C、線段CA、CB,由菜單【變換】à【反射】(即軸對稱的變換),如圖2-16所示。圖2-16你知道這是什么圖形嗎?2、在圖2-12中,如果把旋轉(zhuǎn)參數(shù)中的900改為600,連結(jié)兩個端點得到一個三角形,看一看得到的是什么樣的三角形呢?3、畫出圖2-17,可以在這個圖的基礎(chǔ)上作一個菱形,你能做到嗎?圖2-17【閱讀材料】自定義工具的使用幾何畫板中沒有直接畫常用圖形的命令,我們只能根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系來畫。但是,如果每一次都從頭畫起,則重復(fù)勞動、費時費力。幾何畫板提供了“自定義工具”的功能,可以把按一定數(shù)學(xué)關(guān)系畫好的基本圖形定義成工具箱中的一個命令,以后就可以像用工具箱中的按鈕一樣使用了。下面就介紹自定義工具及其用法。(一)建立自定義工具為了管理和使用的方便,應(yīng)將同類工具放在一個獨立的文件中。例如:平行四邊形工具、正方形工具、矩形工具等放在同一個文件中。建立自定義工具的前提是:按照一定的數(shù)學(xué)關(guān)系作好基本圖形。建立一個畫平行四邊形工具的操作步驟如下:1、新建一個幾何畫板文件。按前面的方法畫好平行四邊形,這里不顯示點的標(biāo)簽。2、用【選擇工具】在工作區(qū)空白處拖動畫一個矩形框選中平行四邊形的全部點和邊,如圖2-18所示。圖2-183、單擊工具箱中的【自定義工具】按鈕,并選取【創(chuàng)建新工具】(見圖2-19)。圖2-194、在彈出的新建工具對話框中,改工具名稱為“平行四邊形”(如圖2-20),確定后建立了一個平行四邊形工具。圖2-20你可以根據(jù)需要在同一個文件中繼續(xù)建立其它工具(如正方形等)嗎?(二)自定義工具的使用1、自定義工具的相關(guān)知識當(dāng)你已建立了一些自定義工具后,單擊【自定義工具】按鈕出現(xiàn)如圖2-21所示的選項。圖2-21區(qū)域①中的【創(chuàng)建新工具】已使用過;區(qū)域②是當(dāng)前打開的文件中的所有自定義工具;區(qū)域③是保存在特定的“工具文件夾”中的文件包含的所有工具。其中【工具選項】可以對當(dāng)前打開的文件中的自定義工具進(jìn)行管理,點擊時會彈出前面見過的“文檔選項”對話框,但此時管理的是自定義工具(見圖2-22)。圖2-22如果想讓“自定義工具”永遠(yuǎn)出現(xiàn)在區(qū)域③,則含有自定義工具的文件應(yīng)保存在:C:\ProgramFiles\Sketchpad\ToolFolder內(nèi)。例如:我們可以把含有“平行四邊形”、“正方形”等自定義工具的文件保存在“工具文件夾”中,取名為“平面工具”。只要重新打開幾何畫板,這些工具會自動調(diào)入圖2-21的區(qū)域③。2、自定義工具的使用展開圖2-21中的選項,選中某個工具,然后移動鼠標(biāo)到工作區(qū)中。對于簡單的工具通過幾次單擊就可以畫出相應(yīng)圖形,而復(fù)雜的工具還得參考制作者的說明。
第三課簡單的數(shù)學(xué)實驗(一)學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會通過測量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗;2、體驗“在動態(tài)的變化過程中保持不變的數(shù)學(xué)關(guān)系”;3、掌握數(shù)學(xué)實驗的一般方法。數(shù)學(xué)知識,一般都是人們在社會活動中發(fā)現(xiàn),然后經(jīng)過歸納總結(jié)形成的。事實上,在我們的學(xué)習(xí)過程中,也經(jīng)歷了從實驗數(shù)學(xué)到論證數(shù)學(xué)的過程。隨著信息技術(shù)的發(fā)展,我們可以借助幾何畫板等軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗,以突破傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式,構(gòu)建以學(xué)生自主探究為主線的基于信息技術(shù)的探索性數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式。本課將要學(xué)習(xí)用幾何畫板對三角形的三條角平分線、三條中線和三條高線作相關(guān)實驗。一、三角形的角平分線操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“三角形的角平分線”。1、畫出如圖3-1所示的△ABC。圖3-12、順序選中B、A、C三個點(這樣也就選取了∠BAC)。選擇菜單【構(gòu)造】à【角平分線】,可以作出∠BAC的平分線(見圖3-2)。圖3-2【想一想】為什么要按B、A、C的順序選中點作角平分線?不按這個順序行嗎?點。3、用【選擇工具】單擊角平分線與線段BC的相交處,可以定義出它們的交點,如圖3-3。圖3-3【小知識】用菜單法也可以得到交點,操作方法是:同時選中兩條相交的線,選擇菜單【構(gòu)造】à【交點】,就可以得到它們的交點。4、選中“角的平分線”,由菜單【顯示】à【隱藏平分線】(Ctrl+H),將平分線隱藏。交點取名為D,再連結(jié)AD(見圖3-4)。圖3-45、用同樣的方法作△ABC的角平分線BE、CF,如圖3-5所示。圖3-5【試一試】拖動三角形的頂點改變它的形狀和位置,看看三角形的三條角平分線是不是總是交于一點?!鞠胍幌搿咳切蔚闹芯€、高應(yīng)該怎么作圖?二、角平分線的性質(zhì)在幾何中知道,角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等,下面來驗證這個性質(zhì)。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“角平分線的性質(zhì)”。1、按住【直尺工具】不放,在彈出的選項中選擇【畫射線工具】,在工作區(qū)中畫出射線AB、AC,得一個角(見圖3-6)。圖3-62、用【選擇工具】依次選取點B、A、C,由、選擇菜單【構(gòu)造】à【角平分線】,如圖3-7所示。圖3-73、用【點工具】在角平分線上選一點D,選取點D和射線AC,由菜單【構(gòu)造】à【垂線】,得到過點D垂直于AC的直線。同理,可作過D垂直于AB的直線(見圖3-8)。圖3-84、用【選擇工具】單擊垂足處,構(gòu)造垂足E、F,隱藏兩條垂線,再連結(jié)線段DE、DF,如圖3-9所示。圖3-95、依次選取點E、A、D,由菜單【度量】à【角度】,可得到∠EAD的度數(shù),(注意:幾何畫板中,有的度量值的符號前有一個m),請用同樣的方法,度量∠FAD、∠DEA、∠DFA,這組數(shù)據(jù)可以說明AD是角平分線,線段DE、DF是垂線段,如圖3-10。圖3-106、選擇點D、E,由菜單【度量】à【距離】,得到D、E兩點距離(即垂線段的長度),同樣可度量點D、F的距離,如圖3-11所示。圖3-11【小知識】表示點到直線的距離,還可以選中線段DE、DF,直接測量線段的長度;也可以選取點D和角的一邊,度量出點D到角的這邊的距離,你可以試一試這些方法,看看得到的數(shù)據(jù)是否一樣。【試一試】(1)拖動點D,在變化的過程中,看看點D到角的兩邊的距離是否總是相等,體驗一下什么叫“在動態(tài)中保持?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系”。(2)選取點D,由菜單【編輯】à【從平分線中分離點】,可以斷開點D與角平分線的關(guān)系,這時可拖動點D自由的運動,看一看兩條垂線段的長度還相等嗎?(3)也可以選取點D和角平分線,由菜單【編輯】à【合并點到平分線】,這時點D又只能在角平分線移動了,看看數(shù)據(jù)又是如何變化的?!舅伎寂c練習(xí)】1、前面已學(xué)過如何作一條線段的中點,請作出三角形的三條中線,驗證一下三條中線有何特點。2、請設(shè)計一個實驗,驗證“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”。3、設(shè)計一個實驗,可以驗證“同位角相等,兩直線平行”。4、根據(jù)過一點畫線段(直線、射線)的垂線的方法畫出三角形的高,在實驗過程中,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?如果三角形變成鈍角三角形,你的三條高還在嗎?你能想辦法畫得更好嗎?
第四課簡單的數(shù)學(xué)實驗(二)學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會構(gòu)造符合數(shù)學(xué)關(guān)系的基本圖形并測量有關(guān)數(shù)據(jù);2、掌握幾何畫板中的計算器的使用方法;3、探索“動態(tài)變化的圖形”中不變的數(shù)學(xué)性質(zhì);4、了解參數(shù)與文本模板的應(yīng)用。數(shù)學(xué)中的一些性質(zhì),有時可以通過對相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行運算來驗證。在幾何畫板中,則可以通過用“計算器”對一些數(shù)據(jù)進(jìn)行運算,從而觀察到一些固有的數(shù)學(xué)性質(zhì)。例如:三角形的內(nèi)角和是1800、圓周角與圓心角的關(guān)系等等。一、與圓有關(guān)的線段圓內(nèi)的弦、圓的割線,圓的切線段都有一些特有的性質(zhì),請完成下面的操作,看看有什么發(fā)現(xiàn)。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“與圓有關(guān)的線段”。1、在工作區(qū)中畫一個圓,并在圓上另畫四點A、B、C、D,如圖4-1所示。圖4-1【小技巧】圖4-1中,圓上有5個點,在A、D之間沒有命名的點是圓的控制點,拖動此點可以改變圓的大小。一般情況下,不要再經(jīng)過這點畫其它對象,以免在圖形變化過程中改變圓的大小,影響實驗的效果。2、選取點A、B,由菜單【構(gòu)造】à【直線】得直線AB,同理,可構(gòu)造直線CD。用【選擇工具】單擊兩直線的相交處得交點,命名為P,如圖4-2所示。圖4-2【小知識】這一步畫兩條直線相交,是為了保證點P可以出現(xiàn)在圓內(nèi)、圓外等位置,從而可通過一個實驗揭示較多的數(shù)學(xué)性質(zhì)。3、選取直線AB、CD,選擇菜單【顯示】à【隱藏直線】(快捷方式Ctrl+H),結(jié)果如圖4-3所示。圖4-3注意不要隱藏兩條直線上的點A、B、C、D,這些點是進(jìn)一步作圖的基礎(chǔ)。4、分別作線段PA、PB、PC、PD,如圖4-4所示。圖4-45、選取點P、A,由菜單【度量】à【距離】,可得線段PA的長度,同理,度量線段PB、PC、PD的長度,如圖4-5所示。圖4-5【小技巧】由于每個人練習(xí)時所畫的圖大小不同,度量的結(jié)果不會一樣,只要學(xué)會同樣的操作就行了,數(shù)據(jù)值可以不同。6、由菜單【度量】à【計算】,可以調(diào)出幾何畫板的計算器,依次用鼠標(biāo)單擊工作區(qū)的【PA=……】、計算器中的乘號【*】、工作區(qū)中的【PB=……】、計算器中的【確定】按鈕,就可計算出PA與PB的乘積。見圖4-6。圖4-6同理,計算PC與PD的乘積(見圖4-7)。圖4-7【試一試】拖動點C到圓上不同位置,請注意:(1)交點P在圓的內(nèi)部時,你有什么發(fā)現(xiàn)?(2)交點P在圓的外部時,你有什么發(fā)現(xiàn)?(3)當(dāng)點C與點D重合時,你又有什么發(fā)現(xiàn)?二、勾股定理在幾何中學(xué)習(xí)勾股定理時,只能對幾組特殊的數(shù)值進(jìn)行驗證,下面用幾何畫板來幫助我們進(jìn)一步理解、驗證這個定理。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“勾股定理”。1、用前面學(xué)習(xí)的方法畫出△ABC,將三條邊分別命名為a、b、c,如圖4-8所示。圖4-82、同時選取三邊(不包括頂點),由菜單【度量】à【長度】,可同時量出三邊的長度,如圖4-9。圖4-93、由菜單【度量】à【計算】,調(diào)出計算器,依次單擊:工作區(qū)中的【a=……】、計算器中的【^】、【2】、【+】、工作區(qū)中的【b=……】、計算器中的【^】、【2】、【確定】,可以計算出,的值(見圖4-10)。圖4-10同理,計算出的值(見圖4-11)。圖4-11【小技巧】在幾何畫板的“計算器”中,“^”用來表示乘方運算,剛才是進(jìn)行平方運算?!驹囈辉嚒客蟿尤切蔚捻旤c變化三角形,看看=是否總是成立?!拘≈R】我們也可以對開平方后再和進(jìn)行比較,方法是:1、調(diào)出計算器,并選擇開平方函數(shù)。如圖4-12。圖4-122、單擊工作區(qū)中的【=……】、計算器中的【確定】,如圖4-13所示。圖4-13三、簡單的開平方工具本例應(yīng)用的新功能:(1)參數(shù):參數(shù)是一個變量,在數(shù)學(xué)關(guān)系中,參數(shù)參與某一計算過程或者動態(tài)變化的過程。(2)文本模板:當(dāng)我們需要在文本中使用可“動態(tài)變化的量”時,文本模板能幫我們解決這個問題。下面我們通過一個簡單的小例子,了解參數(shù)和文本模板的應(yīng)用。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“簡單的開平方工具”。1、由菜單【圖表】à【新建參數(shù)】,彈出新建參數(shù)對話框,見圖4-14。圖4-14默認(rèn)的參數(shù)名稱為,默認(rèn)的初如始值為1,這里我們改名稱為,初始值為2,單位選“無”,確定后工作區(qū)會出現(xiàn)參數(shù)。2、參考上節(jié)內(nèi)容,對參數(shù)開平方。工作區(qū)顯示如圖4-15。圖4-15如果認(rèn)為開方結(jié)果的精確度不夠,請在上單擊右鍵,在快捷菜單中選【屬性】,在彈出的面板中作如下修改(見圖4-16)。圖4-163、如果你的“文本工具欄”沒有顯示,可以由菜單【顯示】à【顯示文本工具欄】,調(diào)出如圖4-17所示的文本欄。圖4-17這些功能只有當(dāng)工作區(qū)中有標(biāo)簽被選中或某一文本輸入?yún)^(qū)處于操作狀態(tài)時才能用,單擊【符號欄】按鈕可以彈出【符號工具】面板(如圖4-18所示),可以方便我們輸入數(shù)學(xué)格式的文本和符號。圖4-184、建立一個文本模板(1)用【文本工具】在工作區(qū)中建立一個文本輸入?yún)^(qū);(2)用鍵盤輸入【=】、單擊符號面板中的【根號】按鈕輸入根號;(3)在根號內(nèi)部輸入{1},移動光標(biāo)到根號外,輸入={2},最后工作區(qū)內(nèi)出現(xiàn)模板:
?!拘〖记伞课谋灸0逡缘忍栭_始,后面的部分將是文本的內(nèi)容與格式,這里的第二個等號是文本中正式內(nèi)容,模板中的大括號只能用鍵盤輸入,不能用【符號】面板中的按鈕。5、用【選擇工具】依次選取:、、,由菜單【編輯】à【合并文本】,最后結(jié)果如圖4-19所示。圖4-19【小知識】利用文本模板合并文本時,首先選取文本模板,接著選取的第一部分會替代模板中的{1},第二部分會替代模板中的{2},如此類推。6、只選取參數(shù),按小鍵盤上的【+】,可以改變參數(shù)的值,默認(rèn)是依次加1,按小鍵盤上的【-】依次減少1,也可以在參數(shù)的屬性面板中調(diào)整每次增減的幅度。如果想直接變到一個具體的值,用【選擇工具】雙擊參數(shù),在彈出的編輯參數(shù)面板中修改(見圖4-20)。圖4-20【試一試】請改變參數(shù)使n=5,求出5的算術(shù)平方根?!舅伎寂c練習(xí)】1、請設(shè)計一個實驗,驗證“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”。2、請設(shè)計一個實驗,驗證“三角形的內(nèi)角和是1800。3、請設(shè)計一個實驗,驗證“三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”。4、試建立兩個參數(shù),然后建立一個分?jǐn)?shù)模板,合并得一個分子、分母可以動態(tài)改變的分式。
第五課正多邊形中的圖案設(shè)計學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會根據(jù)標(biāo)記角度旋轉(zhuǎn)對象;2、掌握圓內(nèi)接正多邊形的畫法;3、學(xué)會多邊形內(nèi)部填充,并按需要改變顏色。很多美麗的圖案,實際是一些有規(guī)律的數(shù)學(xué)圖形,以下是一些美觀的圖案。圖5-1圖5-2圖5-3圖5-3是一個正五邊形,它有以下一些性質(zhì):(1)所有的邊相等,AB=BC=CD=DE=EA。(2)所有的內(nèi)角相等,即∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB。(3)每邊所對的圓心角也相等,即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA,一般情況下,正邊形中,相應(yīng)圓心角的度數(shù)是,這個角度在下面的作圖過程中常用到。(4)由于正多邊形的頂點可以看作是圓上一點繞圓心按一定角度多次旋轉(zhuǎn)后得到,所以我們常在圓中處理多邊形問題,這樣做可以同時得到正多邊形的中心,方便我們解決問題。一、畫圓內(nèi)接正多邊形以下是正六邊形的畫法,其它正多邊形的畫法類似。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“正多邊形”。1、用【圓規(guī)工具】畫一個圓(見圖5-4)。圖5-4【小知識】用圓規(guī)工具畫圓可得一個圓、圓心、圓的大小控制點,注意:一般情況下,不要用這個控制點來繼續(xù)畫其它對象。2、用【點工具】在圓上畫一個點(見圖5-5)。圖5-5此步要注意觀察圓是否變?yōu)閳D5-5的顏色,確保所畫的點在圓上。3、由菜單【度量】à【計算】調(diào)出計算器。輸入360à點擊計算器中的【單位】按鈕à選取度為單位à單擊計算器中的【÷】按鈕à輸入6,觀察到如圖5-6的結(jié)果時,單擊【確定】按鈕。圖5-64、確保只選取了,選擇菜單【變換】à【標(biāo)記角度】,這個標(biāo)記的角度,在下面的操作中將作為旋轉(zhuǎn)的依據(jù)。5、用【選擇工具】雙擊圓心,標(biāo)記此點為中心。6、選取第2步所作的圓上的點,由菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,彈出的旋轉(zhuǎn)面板中已默認(rèn)按標(biāo)記的角度旋轉(zhuǎn),單擊【旋轉(zhuǎn)】按鈕即可,如圖5-7。圖5-77、將旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的點再次旋轉(zhuǎn),直到產(chǎn)生了我們需要的六個頂點(見圖5-8)。圖5-88、按頂點的順序選取六個頂點,選擇菜單【構(gòu)造】à【線段】,可得正六邊形。如果覺得位置不正,可以拖動一個頂點調(diào)整(見圖5-9)。圖5-9【小技巧】你也可以隱藏圓,然后選取正六邊形及圓的控制點,制作成自定義工具,以后要用正六邊形,就不用從頭開始了。保留圓的控制點的目的是可以方便地控制正六邊形的大小。【試一試】畫一個正五邊形。二、內(nèi)部的填充與變色1、選取兩個不相鄰的頂點,作正六邊形中不過中心的六條對角線(見圖5-10)。圖5-102、用【選擇工具】單擊每兩條對角線的交點,可作出對角線的交點(見圖5-11)。圖5-113、用【選擇工具】依次單擊六條對角線可選定它們(注意不要多選其他對象),選擇菜單【顯示】à【隱藏線段】,如圖5-12所示。圖5-12【小技巧】如果你經(jīng)常設(shè)計以正六邊形為基礎(chǔ)的圖案,那么就把圖5-12的結(jié)果制作成自定義工具,以后你就可以快速地作出這個結(jié)果了。但要注意的是:上面我們通過計算圓心角作為旋轉(zhuǎn)的依據(jù),如果要制作工具,一開始就直接在旋轉(zhuǎn)對話框中輸入600,而不是用計算值,否則制作自定義工具時會帶來一些不便。使用計算值的目的是為了更具一般性和提供一定的靈活性。4、選取適當(dāng)?shù)膬牲c,作線段。最后得到圖5-13。圖5-135、選取其中一個三角形的三個頂點,由菜單【構(gòu)造】à【三角形內(nèi)部】,可以填充內(nèi)部顏色。6、如果顏色不是你想要的,先選擇菜單【顯示】à【顏色】,選取填充顏色,再進(jìn)行調(diào)整。【小技巧】想得到更多的顏色,由菜單【顯示】à【顏色】à【其它】,在彈出的顏色選擇器中進(jìn)行調(diào)色。7、對其它三角形及中間較小的正六邊形進(jìn)行同樣的操作,填好所有顏色。8、選取圓及所有的點,由菜單【顯示】à【隱藏對象】,可以隱藏選取的對象。最后得到圖5-2的結(jié)果?!舅伎寂c練習(xí)】利用上面做好的圓內(nèi)接正五邊形,你還能設(shè)計出哪些美麗的圖案?以正六邊形為基礎(chǔ)的圖案很多,試畫出如圖5-14中的兩個圖案。圖5-143、試畫出圖5-15所示的圖形,你會把圖5-15變換到圖5-16中的圖形嗎?你能通過隱藏點和線得到一個正八角星嗎?圖5-15圖5-164、在圖5-17中,外面的大三角形是一個正三角形,藍(lán)色小三角形的頂點是大三角形三邊的中點,請畫出這個圖形,并制作成一個自定義工具,命名為“四等分正三角形”。再利用這個工具作出圖5-18。圖5-17圖5-18【閱讀材料】幾何畫板與Flash的協(xié)同工作幾何畫板的優(yōu)勢是能準(zhǔn)確地作出符合數(shù)學(xué)關(guān)系的圖形,但在圖形的美化等方面顯得不足。例如,要制作圖5-19所示的太極圖,由于幾何畫板在填充顏色方面的限制,制作非常困難,下面我們結(jié)合Flash來制作這個圖。圖5-19操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“太極圖”。1、畫兩條線段AB、CD,如圖5-20,其中長的用來控制大圓的大小和方向,短的控制小圓的大小。圖5-202、標(biāo)記向量AB,畫一個點E,將點E按標(biāo)記的向量平移,得E/,重復(fù)平移的操作,最后得到如圖5-21的結(jié)果,一共是5個點。圖5-213、用【選擇工具】順序選取兩點E//、E,由菜單【構(gòu)造】à【以圓心和圓周上的點繪圓】,得外圈大圓。4、依次選取點E/、E//、E,由菜單【構(gòu)造】à【圓上的弧】,這樣可以作出一個半圓;依次選取點E///、E//、E////,用同樣的方法構(gòu)造另一個半圓,結(jié)果如圖5-22所示。圖5-225、用【選擇工具】選取線段CD、點E/、E///,由菜單【構(gòu)造】à【以圓心和半徑繪圓】,可以畫出兩個小圓(見圖5-23)。圖5-236、隱藏圖5-23中的5個點,拖動點B改變外圓的大小和方向,拖動點D改變內(nèi)圓的大?。ㄈ鐖D5-24所示),調(diào)整好后選取太極圖的框架,按Ctrl+C復(fù)制到剪貼板備用。圖5-247、打開Flash程序,按Ctrl+V將剛才復(fù)制的框架粘貼到Flash的工作區(qū),選取復(fù)制的對象,按兩次Ctrl+B打散,然后用工具填充兩個黑色區(qū)域。再將外框線變成黑色即可。8、在Flash中,選擇菜單【文件】à【導(dǎo)出圖像】,在對話框中選好保存位置、輸入文件名、然后根據(jù)需要選擇輸出的文件類型(見圖5-25),保存即可。圖5-25【想一想】上面畫半圓時,選取點的順序不同得到的半圓方向也不同,你領(lǐng)會了嗎?
第六課錯覺圖學(xué)習(xí)目標(biāo):1、通過制作錯覺圖,了解錯覺圖中的數(shù)學(xué)關(guān)系;2、體驗視覺與數(shù)據(jù)之間的矛盾,理解數(shù)學(xué)證明的必要性。3、學(xué)會用按鈕控制對象的顯示和隱藏。常言道:“耳聽為虛,眼見為實”。你有沒有想過,你的眼睛有時也會欺騙你,不信?那就看看下面的圖吧。圖6-1圖6-1中,線段AB和CD誰長一些?圖6-2圖6-2中,線段DE和CE誰長一些?圖6-3在左、右兩個圖中,中間被圍住的圓,哪個大呢?圖6-4這是有名的「爵斯特羅」錯視圖。上面的曲線弧形,視覺上大于下面的圖形圖6-5圖中的橫線平行嗎?在觀察物體時,由于位置的不同或參照物的影響,我們的感覺與常規(guī)經(jīng)驗結(jié)合后,會受到錯誤的刺激,從而產(chǎn)生錯覺。讓我們用幾何畫板來做一下實驗吧。一、真的一樣長嗎?我們來制作圖6-1。要保證當(dāng)圖形發(fā)生變化時,AB=CD這一關(guān)系不變,一個簡單的思路是:將線段AB的中點C按AB的長向上平移。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“錯覺圖1”1、作線段AB,選取線段AB,按快捷鍵【Ctrl+M】,定義出中點C。2、選取點A、B,選擇菜單【度量】à【距離】,得出線段AB的長度(見圖6-6)。圖6-63、選擇點C,由菜單【變換】à【平移】,彈出平移對話框,做如圖6-7到圖6-9中的設(shè)置。圖6-7圖6-8圖6-9單擊【平移】按鈕,把得到的點改為D,連結(jié)CD,完成圖形的制作。3、度量CD,如圖6-10所示。圖6-10【試一試】拖動點B改變線段的長度,可以看到AB=CD,可見有時“眼見是不為實”的。【想一想】你還能用其它方法完成這個實驗嗎?二、Herman方格如圖6-11,看看黑方格中間的白色部份,你看到了黑灰色的點了嗎?其實那是不存在的點!錯覺的原因是眼睛有兩個神經(jīng)結(jié)細(xì)胞的接受區(qū)同時投射在這張圖上。圖6-11我們用幾何畫板來做這個方格吧。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“Herman方格”。1、畫一條較短的線段AB,畫一點C在線段AB上,比較靠近B,如圖6-12所示。圖6-122、用【選擇工具】雙擊點A,標(biāo)記點A為中心,選取線段AB、點C、B,由菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,在彈出的對話框中設(shè)置如圖6-13。圖6-13【小技巧】如果輸入的角度是正數(shù),選取的對象繞標(biāo)記的中心作逆時針方向的旋轉(zhuǎn)。如果輸入的角度是負(fù)數(shù),旋轉(zhuǎn)的方向是順時針。這和數(shù)學(xué)中的定義是一樣的。以上操作得到圖6-14。這是一個可以控制方格大小和間隔的系統(tǒng)。圖6-143、按順序選取點A、C,由菜單【變換】à【標(biāo)記向量】,向量AC將決定正方形的邊長。4、在工作區(qū)中畫一點D,將點D按向量AC平移,如圖6-15。圖6-155、標(biāo)記向量,選取點D、D/,按向量平移,得到圖6-16。圖6-166、順序選取正方形四個頂點,按快捷鍵Ctrl+P填充內(nèi)部,在內(nèi)部上單擊右鍵,由快捷菜單上的【顏色】命令改變顏色為黑色。把正方形的四個頂點隱藏,得到一個黑色方格。7、標(biāo)記向量AB,把黑色方格按向量AB平移,新得到的方格繼續(xù)平移,直到得七個方格(見圖6-17)。圖6-178、標(biāo)記向量,選取整行七個黑方格,按向量平移,得到的第二行繼續(xù)平移,最后得到七行方格,即是本例的最后效果?!驹囈辉嚒客蟿狱cB可以改變方格的大小,拖動點C可以改變相鄰方格的間隔,請試一下吧。【思考與練習(xí)】1、你能根據(jù)下面的步驟作出圖6-2嗎?,(1)作平行四邊形ABCD(見圖6-18);圖6-18(2)作線段CD的中垂線交AB于E;(3)過E作AD的平行線交CD于F;(4)隱藏直線EF、中垂線,連結(jié)線段EF、DE、CE。根據(jù)作圖過程,DE和CE相等嗎?你可以度量一下。也可以選取線段AB、AD、BC、EF,點A、B、F,由菜單【編輯】à【操作類按鈕】à【隱藏/顯示】,制作一個按鈕,單擊可以顯示或隱藏這些干擾觀察的對象,就可以清楚觀察到DE=CE了。2、你能建立一個類似于Herman方格中的控制系統(tǒng),完成圖6-5的制作嗎?3、請完成圖6-3的制作。【閱讀材料】扇環(huán)錯覺圖的制作學(xué)習(xí)下面的關(guān)鍵步驟,完成圖6-4的制作。在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“扇環(huán)”。(1)單擊【畫直線工具】,按住【Shift】鍵不放,在工作區(qū)中畫一條豎直的直線,然后隱藏直線上的兩個控制點;【小技巧】為了使制作的扇環(huán)對稱軸呈豎直,我們要將直線的控制點隱藏,這樣就不能拖動控制點來改變直線的傾斜度了。(2)用【點工具】在直線上畫3個點A、B、C,大致的位置如圖6-19所示。圖6-19(3)用【選擇工具】雙擊點A標(biāo)記為中心。選取點B、C,由菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,在彈出的對話框中設(shè)置旋轉(zhuǎn)參數(shù)為600,結(jié)果如圖6-20所示。圖6-20(4)用【選擇工具】雙擊直線AC,可以標(biāo)記AC為“鏡面”(即對稱軸)。選擇點B/、C/,由菜單【變換】à【反射】(即以AC為對稱軸作軸對稱圖形)。如圖6-21。圖6-21(5)按順序選取點B//、B、B/,由菜單【構(gòu)造】à【過三點的弧】作出內(nèi)弧。同樣作出外弧。連結(jié)線段B//C//,B/C/,如圖6-22。圖6-22(6)下面用根據(jù)向量平移的方法作第二個扇環(huán),我們需要一個簡單的控制系統(tǒng)。在工作區(qū)內(nèi)畫一點D,選取直線AC和點D,由菜單【構(gòu)造】à【平行線】,如圖6-23。圖6-23(7)在平行線上作一點E,隱藏平行線。連結(jié)線段DE,在DE上畫一點F。隱藏直線AC和點A,如圖6-24所示。圖6-24(8)標(biāo)記向量DF,框選扇環(huán)及上面的點,按向量DF平移,如圖6-25所示。圖6-25(9)最后美化一下,可以拖動點F改變扇環(huán)的位置進(jìn)行觀察,看看它們是不是一樣大,如圖6-26所示。圖6-26
第七課探索三角形全等的條件學(xué)習(xí)目標(biāo):1、了解通過實驗探索數(shù)學(xué)知識的一般方法;2、學(xué)會針對實驗?zāi)康暮侠碓O(shè)計實驗;3、通過實驗加深對三角形全等判定方法的理解。在數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)判定三角形全等時,我們經(jīng)歷了先做實驗然后再證明的過程。雖然我們已經(jīng)認(rèn)可了這些結(jié)論。但你還記得分幾種情況來進(jìn)行探索的嗎?你知道遇到這類問題應(yīng)該如何入手嗎?你知道如何設(shè)計一個實驗來驗證自己的結(jié)論嗎?下面就使用幾何畫板來幫助解決這些問題。一、建立“問題清單”我們需要全局地把握問題,對問題進(jìn)行分類。本例大致分為:三角形的三條邊、三個角中,一個條件對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎?兩個條件呢?三個條件呢?具體有多少種情況?我們有必要建立這樣的問題清單。探索三角形全等條件問題表對應(yīng)相等的條件一定全等嗎?一個條件(1)一個角□一定□不一定(2)一條邊□一定□不一定兩個條件(3)兩個角□一定□不一定(4)兩條邊□一定□不一定(5)一邊一角□一定□不一定三個條件(6)三個角□一定□不一定(7)三條邊□一定□不一定(8)兩邊及一邊對角□一定□不一定(9)兩邊及其夾角□一定□不一定(10)兩角及其夾邊□一定□不一定(11)兩角及一角的對邊□一定□不一定二、分析問題,確定實驗方案問題細(xì)分后有11種不同的情況,但并不意味著要設(shè)計11個不同的實驗。通過分析可知:1、如果有實驗表明“三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等”,那么我們可以同時得到問題(6)、(1)、(3)的答案,這3個問題可合用同一個實驗。2、如果有實驗表明“兩邊及一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等”,那么同時解決了問題(8)、(5)、(4)、(2),這4個問題可合用同一個實驗。3、問題(7)單獨用一個實驗。4、問題(9)單獨一個實驗。5、由于三角形的內(nèi)角和是1800,問題(11)可以轉(zhuǎn)化為問題(10),這2個問題合用一個實驗。因此,我們需要設(shè)計5個實驗。三、實驗過程(一)三個角對應(yīng)相等的兩個三角形有多種可以選擇的實驗方案。下面列出其中一種,如圖7-1。1、作△ABC,D是BC上一點;2、過D作AB的平行線交AC于E;3、隱藏直線DE,連結(jié)線段DE;4、度量△ABC和△EDC的三個內(nèi)角。圖7-1a圖7-1b圖7在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“全等探索1”【試一試】拖動三角形的頂點改變形狀或位置,看看能否保持三個角對應(yīng)相等,兩個三角形全等嗎?請完成問題清單中的(1)、(3)、(6)?!鞠胍幌搿磕隳芴岢鲆粋€自己的方案嗎?和同伴交流一下?!拘〖记伞坑^察你度量的角的名稱和圖7-1c在度量值上單擊右鍵,選【屬性】,在彈出的面板中設(shè)置(見圖7-2)。圖7-2其它角的名稱你會改了嗎?(二)兩邊及一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形圖7-3是其中的一種思路,△ABC和△ADC中,∠C是公共角,AC是公共邊。AB、AD成軸對稱,所以AB=AD。圖7-3操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“全等探索2”1、畫一條直線BC和直線外一點A,連結(jié)線段AB、AC。選取點A和直線BC,選擇菜單【構(gòu)造】à【垂線】,如圖7-4所示。圖7-42、用【選擇工具】雙擊垂線,標(biāo)記為鏡面。選取線段AB、點B,由菜單【變換】à【反射】,得它們關(guān)于垂線成軸對稱的圖形,改點B的對稱點的標(biāo)簽為D,如圖7-5所示。圖7-53、隱藏直線和垂線,連結(jié)線段BD、CD。測量有關(guān)數(shù)據(jù),并用【文本工具】加入使用說明(見圖7-6)。圖7-6【想一想】根據(jù)實驗結(jié)果,請回答問題清單中(2)、(4)、(5)、(8)【小技巧】作為一個操作性的軟件作品,加入一定的說明是非常必要的。你還可以加入作者的姓名、聯(lián)系方式、版權(quán)說明等等。(三)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形通過畫圓弧相交確定交點的方法在數(shù)學(xué)上叫“交軌法”。有人稱幾何畫板是計算機(jī)中的“直尺、圓規(guī)”,下面學(xué)習(xí)如何用這個“直尺、圓規(guī)”來完成實驗吧。操作步驟:在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“全等探索3”1、畫△ABC和射線DH,如圖7-7所示。圖7-72、用【選擇工具】選取點D和線段BC,由菜單【構(gòu)造】à【以圓心和半徑繪圓】,定義圓和射線DH的交點,命名為E,如圖7-8。圖7-8【小知識】這樣做的目的是使DE=BC,在紙上作圖時我們畫弧與射線相交就行了。幾何畫板中做的是圓,(為了方便,我們稱這個圓為輔助圓吧),兩種方法的原理是一樣的。選取一個點、一條線段來畫圓時,以選取的點為圓心、選取線段的長為半徑。3、為了不和后面畫的輔助圓混淆,把剛才的輔助圓隱藏。以點D為圓心、AB的長為半徑畫圓,以點E為圓心、AC的長為半徑畫圓,定義兩圓的一個交點,命名為F,如圖7-9所示。圖7-94、隱藏兩圓、射線及點H,連結(jié)DE、EF、DF,如圖7-10所示所示。圖7-10【試一試】(1)改變△ABC的形狀,觀察△DEF的形狀。(2)拖動點D與點B重合,改變了△DEF的位置,看看兩個三角形重合嗎?(3)完成問題清單中的(7)。(四)畫一個角等于已知角上面已經(jīng)學(xué)會如何畫一條線段等于已知線段,這和常規(guī)的直尺圓規(guī)作圖是類似的。再來完成在幾何畫板中畫一個角等于已知角,后面兩個實驗也就不難完成了。問題:已知∠ABC,求作∠D,使∠D=∠ABC。操作步驟:選取角的方法不同,會引起旋轉(zhuǎn)方向的不同,下面的過程可以看出區(qū)別。1、畫∠ABC、射線DE、FG,如圖7-11所示。圖7-112、用【選擇工具】按C、B、A的順序選取三點,這時可看作選取了∠CBA,由菜單【變換】à【標(biāo)記角度】,標(biāo)記成功時可以看到一小段動畫,可以觀察到當(dāng)前標(biāo)記的角是逆時針方向的。3、用【選擇工具】雙擊點D,標(biāo)記為中心。選取射線DE和點E,由菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,默認(rèn)的設(shè)置是按剛才標(biāo)記的角旋轉(zhuǎn),結(jié)果如圖7-12所示。圖7-12無論你怎樣改變∠CBA的大小,這個角都自動變化,永遠(yuǎn)等于∠CBA【試一試】(1)在上面的第2步中,按點A、B、C的順序選擇角,然后標(biāo)記這個角。(2)把射線FG和點G按新標(biāo)記的這個角旋轉(zhuǎn),你發(fā)現(xiàn)結(jié)果和上面的有什么不同嗎?【思考與練習(xí)】1、設(shè)計一個實驗,驗證“兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”。已知:△ABC,求作:△FDE,使∠D=∠B,DE=BC,DF=BA。(提示:可以從圖7-7開始作圖)2、設(shè)計一個實驗,驗證“兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”。(提示:為了保證實驗?zāi)苓m用于所有情況,本例從圖7-13開始,其中DH是直線。此外,在標(biāo)記角時要考慮清楚將直線按什么方向旋轉(zhuǎn))圖7-13
第八課神奇的π學(xué)習(xí)目標(biāo):1、通過對π的探索,了解幾何畫板中“帶參數(shù)的迭代”的運用;2、了解π的歷史,增強民族自豪感。π是一個神奇的數(shù)字,曾有數(shù)學(xué)家說過,“歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度,可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)?!敝袊鴼v史上有名的數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之都曾有過突出的貢獻(xiàn),其中祖沖之的計算得到π的8位有效數(shù)字,這在當(dāng)時的計算條件下是相當(dāng)了不起的,曾經(jīng)保持世界記錄九百多年。π是圓的周長與直徑的比值,也叫圓周率。現(xiàn)在通常以3.14作為π的近似值,計算π有很多方法,其中有一種叫做“割圓術(shù)”,就是以圓內(nèi)接正多邊形的周長去代替圓的周長,通過計算得到π。正多邊形的邊數(shù)越多,結(jié)果就越準(zhǔn)確,但計算量就越大,在古代要完成這樣的計算是相當(dāng)困難的。本課將以幾何畫板為工具,計算出圓周率π。一、建立一些基本數(shù)據(jù)在練習(xí)文件中新建一頁,命名為“圓周率”。1、選擇菜單【圖表】à【新建參數(shù)】,在彈出的對話框中建立參數(shù)n,取初值為3。(見圖8-1)。圖8-12、選擇菜單【度量】à【計算】,彈出計算器,輸入360,并點擊計算器中的【單位】按鈕,取單位為“度”,見圖8-2。圖8-2接著單擊“÷”號à工作區(qū)中的參數(shù)n=3à【確定】,可以計算出,這個值是多邊形的圓心角,將作為旋轉(zhuǎn)的依據(jù)?!拘≈R】當(dāng)參數(shù)n發(fā)生變化時,這個計算值也會發(fā)生變化的。3、用同樣的方法計算n-1的值,得。這個數(shù)將作為迭代的次數(shù),因為n邊形的第一個頂點是開始就有的,所以只需迭代n-1次。關(guān)于迭代,可參考后面的“讀一讀”。二、迭代產(chǎn)生圓內(nèi)接正多邊形1、畫一個圓O,用工具在圓上畫一點A,如圖8-3。圖8-32、雙擊點O,標(biāo)記點O為中心,選取計算值,由菜單【變換】à【標(biāo)記角度】,標(biāo)記這個值作為下一步旋轉(zhuǎn)的依據(jù)。3、選取點A,由菜單【變換】à【旋轉(zhuǎn)】,在彈出的對話框中單擊【旋轉(zhuǎn)】(見圖8-4),得點A′,連結(jié)AA′。如圖8-5所示。圖8-4圖8-54、用【選擇工具】先單擊點A,再單擊計算值n-1=2,(有先后順序)??梢赃x取這兩個對象。5、按住Shift不放,選擇菜單【度量】à【帶參數(shù)的迭代】,可以彈出“迭代”對話框,如圖8-6。圖8-6圖8-76、單擊工作區(qū)中的點A′,當(dāng)圖8-6變成圖8-7時,單擊對話框中的【迭代】按鈕。工作區(qū)的圖像變?yōu)閳D8-8。圖8-8【試一試】用【選擇工具】選取參數(shù)n=3,按小鍵盤上的“+”、“-”鍵,觀察圖形的變化。三、計算與探索1、度量線段AA′的長度和線段OA的長度。2、用計算器計算參數(shù)n=3與線段AA′的長度的積,這是圓內(nèi)接正多邊形的周長;計算2×OA,這是直徑;計算正多邊形的周長除以直徑所得的商,這就是π的近似值。為了研究精確度,在這個商值上單擊鼠標(biāo)右鍵,在彈出的屬性對話框中作如圖8-9的設(shè)置。圖8-93、下面可以按小鍵盤上的“+”鍵增加參數(shù)的值進(jìn)行研究了。【試一試】(1)當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為3時,π的誤差大嗎?(2)當(dāng)π取3時,圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)是多少?(3)要得到我們常用的近似值3.14,圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)是多少?【想一想】從理論上講,無論參數(shù)變得多大,這種方法得到的值比真實的π大還是???【小知識】在古代的計算中,人們是先計算圓內(nèi)接正六邊形的周長,然后是正十二邊形、正二十四邊形等等,這樣比較容易分割和計算,我們只是模仿了古人的方法,并不是真正重走了古人走過的路?!舅伎寂c練習(xí)】1、事實上,也可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積來“逼近”圓的面積,你能結(jié)合前面學(xué)習(xí)的度量三角形面積的方法來制作一個演示嗎,注意:要求制作好的多邊形的內(nèi)部是填充顏色的。如圖8-10所示。圖8-102、利用幾何畫板的度量功能,量出圓的面積,看一看,當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)為多少時,面積最接近這個值?!鹃喿x材料】什么是迭代?迭代就是重復(fù)或循環(huán),在這個過程中遵循一定的規(guī)則。以圖8-10為例,點A稱為原象,A/為初象,規(guī)則被定義為“一個點繞O旋轉(zhuǎn)標(biāo)記好的角度得另一個點”,第一次旋轉(zhuǎn)得A/,然后點A/按同樣的規(guī)則旋轉(zhuǎn)得第三個頂點……,由于迭代的次數(shù)是5次,就可以得到除點A外的其余5個頂點了。如果迭代之前作好了一些線段或填充了內(nèi)部等,迭代過程中也會得同樣的結(jié)果。一個比較有趣的實際例子是:相傳有一位養(yǎng)馬人非常敬佩梁山好漢,帶了自己所有的千里馬到水泊梁山送禮,每遇到一位好漢,他都把自己所有千里馬的一半送給這位好漢,每位好漢也回送他一匹,見完108位好漢后,他還剩兩匹千里馬,問這位養(yǎng)馬人帶了多少匹馬上梁山?這個問題實際就是迭代問題,同學(xué)想一想,應(yīng)該如何求解呢?
第九課用參數(shù)控制系數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會用參數(shù)控制函數(shù)的系數(shù),從而畫出動態(tài)的圖像;2、能繪制各種函數(shù)圖像。例:拖動控制指數(shù)函數(shù)的圖像要點思路:拖動線段的端點,改變線段的長度,從而改變a的值。也就是說以線段的長度作為參數(shù)操作步驟:1、畫一條線段,并度量其長度
2、
把線段的長度的標(biāo)簽改為“a”3、
單擊【圖表】→【繪制新函數(shù)】圖9-14、
單擊度量值后,再單擊計算器面板上的“^”、“x”后,按確定按鈕圖9-2拓展:1、線段最好畫在水平直線上,拖動時線段始終會保持水平、好看。2、
參數(shù)a的值最好用x軸上一點的橫坐標(biāo)來控制,這樣a的取值范圍是實數(shù)R。
第十課分段函數(shù)的圖像學(xué)習(xí)目標(biāo):學(xué)會繪制分段函數(shù)的圖像;能動態(tài)演示分段函數(shù)。例1、
繪制y=x+sinx在[-2π,2π]的圖像要點思路:改變函數(shù)的圖像的屬性,從而得到指定區(qū)域的函數(shù)圖像操作步驟:1、單擊菜單:【圖表】→【繪制新函數(shù)】,畫板區(qū)就出現(xiàn)了一個計算器。2、在計算器編輯好函數(shù)解析式y(tǒng)=x+sinx后,按“確定”按鈕。如下圖(圖10-1)。3、選中函數(shù)圖像后,單擊菜單:【編輯】→【函數(shù)屬性】,就打開了函數(shù)屬性的對話框,如下圖:
圖10-14、改變x的“范圍”,就能得到指定閉區(qū)間上的函數(shù)圖像(在對話框里輸入字母“p”就得到π)拓展:例1、如圖10-1所示,改變圖像的樣本個數(shù),樣本個數(shù)越多,圖像越光滑。其范圍在10和10000之間。(當(dāng)然也可以超過10000,請看進(jìn)階篇“高級參數(shù)的設(shè)置”),如選定“離散”,則函數(shù)圖像為虛線。圖10-2例2、畫在[-2,-1]∪[1、2]的圖像圖10-2要點思路:倘若在繪制函數(shù)圖像后,改變圖像屬性的x的取值范圍是做不到的,只能另想辦法了,如函數(shù)定義域的“0”操作步驟:1、
單擊菜單:【圖表】→【繪制新函數(shù)】2、在函數(shù)計算器里編輯函數(shù)解析式,如下式按“確定”按鈕,畫板的畫圖區(qū)就出現(xiàn)了右圖所示的圖像(圖10-2)。拓展:這種“0”型構(gòu)造法不僅可以構(gòu)造指定的定義域,還可以構(gòu)造值域,如繪制函數(shù)y=sinx且y≥0的圖像,只需繪制函數(shù)的圖像就行了,是不是很巧妙?試一試:繪制y=sinx且-0.5≤y≤0.5的圖像
第十一課點的軌跡的構(gòu)造學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會運用軌跡法作函數(shù)的圖像;2、通過構(gòu)造法領(lǐng)悟函數(shù)的概念。例:如圖:P為圓上任意一點,則線段OP中點M的軌跡是什么?圖11-1步驟:1、選定P點,單擊菜單命令:【顯示】→【生成點的動畫(A)】圖11-22、可以觀察到點P在圓上運動,M也跟著運動圖11-33、要知道M的軌跡,先單擊“運動控制臺”的停止按鈕,讓動畫停下了后,然后選定M點后,按快捷鍵“Ctrl+T”,跟蹤點P。僅選定P點后,再按“運動控制臺”的播放按鈕,就可觀察到點M的軌跡是什么。圖11-4這樣的軌跡按“Esc”就能清除掉,還不能保存。如何才能真真構(gòu)造出點M的軌跡呢?作法:選定點P和點M(沒有先后),單擊菜單命令:【構(gòu)造】→【軌跡(U)】(注意:在作軌跡以前最好按“Esc”清除掉M的暫時軌跡)圖11-5結(jié)果如下:圖11-6你再按“Esc”鍵試試,看能否清除點M的軌跡?M還可以是OP上任意一點,你試試?看它的軌跡是什么?構(gòu)造軌跡的前提條件是:選定兩點,一點是在一條路徑上的自由點和能夠跟隨此點運動的點即被動點。路徑可以是任何線(線段、直線、射線)軌跡、函數(shù)圖像。例2、作橢圓的圖像圖11-7看著左圖,你能分析出作圖步驟嗎?能知道E點的軌跡是橢圓的原因嗎?選定兩條直線以及點E和點B,按快捷鍵“Ctrl+H”,則隱藏選中部分,得到右圖。作法:1、畫一個圓和一條線段
線段的畫法是:在畫線段的狀態(tài)下,把光標(biāo)移到圓內(nèi),單擊一下,松開左鍵,把光標(biāo)移到圓周上,單擊一下,則得線段CD。圖11-82、作線段CD的垂直平分線和直線AD
直線AD的作法是:在直線狀態(tài)下,對準(zhǔn)A點單擊,松開左鍵,移動到點D單擊。3、交點
在選擇狀態(tài)下,單擊兩直線的交點處,得交點E。圖11-94、構(gòu)造軌跡
選定E點和D點,單擊菜單命令:【構(gòu)造】→【軌跡(U)】圖11-105、隱藏不必要對象
選定圓、兩直線、點E、D、B試一試:把C點拖到圓外,看軌跡有什么變化?
第十二課迭代與深度迭代學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會運用迭代與深度迭代作函數(shù)的圖像;2、通過運用迭代與深度迭代作函數(shù)圖像體會函數(shù)的奧秘。問題:我們用旋轉(zhuǎn)變換不難畫出正多邊形,但邊數(shù)太多,如要畫正十七邊型,如圖所示,你不嫌繁的話,得用旋轉(zhuǎn)變換16次,那么有沒有簡單的方法呢,有,那就是“迭代”圖12-1例1、正十七邊形的畫法操作步驟:1、畫兩個點,讓B點圍繞點A旋轉(zhuǎn)得,連接。2、選定B點,單擊菜單“變換”→“迭代”,出現(xiàn)下面對話框圖12-23、單擊,對話框變?yōu)樯蠄D,注意到“迭代規(guī)則數(shù):3”,圖形在原有的基礎(chǔ)上,增加了3條線段。(想一想,應(yīng)讓計算機(jī)重復(fù)畫幾條線段?)4、重復(fù)按小鍵盤上的“+”鍵,直到迭代規(guī)則數(shù)變?yōu)?6(也就是要讓計算機(jī)重復(fù)畫16條),注意工作區(qū)中圖形的變化圖12-35、單擊“迭代”按鈕,正十七邊形構(gòu)造完畢,如圖12-3:迭代變換使用的前提條件:1)選定一個(或幾個)自由的點,即平面上任一點,或線(直線、線段、射線、圓、軌跡)上的任一點,如上例的B點。2)由選定的點產(chǎn)生的目標(biāo)點(不要選定,出現(xiàn)迭代對話框后,再選),如線段的中點,或由選定點經(jīng)過變換產(chǎn)生的點。迭代的深度(即重復(fù)的次數(shù)),可用參數(shù)控制,即深度迭代。
第十三課構(gòu)造法作函數(shù)圖像學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會運用構(gòu)造法作函數(shù)的圖像;2、通過運用構(gòu)造法作函數(shù)的圖像深入理解函數(shù)的概念與性質(zhì)。1、
幾何構(gòu)造(軌跡)例1:已知:一點和一條直線,求作:以已知點為焦點,已知直線為準(zhǔn)線的拋物線。
圖13-1要點思路:1)
如上圖所示:作已知直線CD和點E2)
在直線CD上作一點F;連接FE3)
過F點作直線CD的垂線和線段EF的中垂線交于G點4)
選定F、G點,作G點的軌跡。5)
隱藏不必要對象2、
代數(shù)構(gòu)造(軌跡)圖13-2已知:拋物線的解析式為求作:在坐標(biāo)系內(nèi)畫出它的圖像要點思路:1)
作直線BC及直線上任意一點A2)
度量A點的橫坐標(biāo)(此時畫板取自動出現(xiàn)坐標(biāo)系)并計算的值3)
作點D
選中和(注意:有順序)單擊菜單:【圖表】→【繪制(x,y)】4)
作G點的軌跡。選定A、D點,單擊菜單:【構(gòu)造】→【軌跡】5)
隱藏不必要對象
圖13-3還有沒有更簡單的方法畫函數(shù)圖像呢?如輸入函數(shù)解析式或根據(jù)函數(shù)的解析式就能直接畫出函數(shù)的圖像?請自己認(rèn)真思考。
第十四課作函數(shù)圖像的切線學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會用導(dǎo)函數(shù)作函數(shù)的圖像;2、通過作函數(shù)的切線理解切線的意義。例、作函數(shù)f(x)=x3-3x-1圖像上任意一點的切線要點思路:操作步驟:1、繪制新函數(shù)“f(x)=x3-3x-1”,并在圖像上任取一點B,度量B圖14-12、選定“f(x)=x3-3x-1”,它單擊【圖表】→f`(x)=3x2-33、繪制過點B的切線:單擊【圖表】→【繪制新函數(shù)】。調(diào)出函數(shù)計算器后,順序單擊“f(x)=x3-3x-1”、“XB”、“f`(x)=3x2-3”、“XB”、“*”、“(”、“x”、“-”、“XB”、“)圖14-2
4、按“確定”按鈕后,如下圖所示:圖14-3拓展:知道切線方程的表達(dá)式,您可以繪制任何函數(shù)圖像上任意一點的切線。
第十五課作函數(shù)的反函數(shù)圖像學(xué)習(xí)目標(biāo):1、學(xué)會作函數(shù)反函數(shù)的圖像;2、通過作反函數(shù)的圖像理解反函數(shù)的意義。例:函數(shù)的反函數(shù)要點思路:如要求出g(x)的反函數(shù)再繪制,有些夠嗆!看看《幾何畫板》有什么好辦法?操作步驟:1、單擊【圖表】→【新建函數(shù)】。調(diào)出函數(shù)計算器后,編輯函數(shù)如下:2、單擊【圖表】→【繪制新函數(shù)】圖15-13、
單擊計算器上的“方程”按鈕后,在單擊“x=f(y)”(注意計算器的變化)圖15-24、單擊畫板區(qū)的函數(shù)解析式,在單擊計算器的“y”再按“確定”按鈕圖15-3拓展:幾何畫
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